普通物理4.3麦克斯韦速率分布律

1、整理课件 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 最概然速率最概然速率 平均速率和方均根速率平均速率和方均根速率 4.3.4 例题分析例题分析整理课件 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 对于单个分子而言，其对于单个分子而言，其运动方向，大小都具有运动方向，大小都具有偶然偶然性性；对于大量分子而言，其；对于大量分子而言，其速率的分布却有其速率的分布却有其规律性规律性；偶然性偶然性 规律性规律性定义定义 1859 1859年，麦克斯韦从理论上导出了气体分子年，麦克斯韦从理论上导出了气体分子的速率分布规律，的速率分布规律，麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律整

2、理课件研究方法研究方法 把速率分成若相等的区间，然后求出各区把速率分成若相等的区间，然后求出各区间的分子数是多少，即在间的分子数是多少，即在v v+dv区间内的分子区间内的分子数数dN是多少，或者是多少，或者dN 占分子总数占分子总数N的百分比的百分比dN/N是多少是多少在速率区间在速率区间 dv 足够小的情况下足够小的情况下NdvdNvfordvvfNdN )()()(vf速率分布函数速率分布函数 整理课件 速率在速率在 v 附近的单位速率区间的分子数占附近的单位速率区间的分子数占分子总数的百分比分子总数的百分比物理意义物理意义麦克斯韦速率分布律的数学表达式为麦克斯韦速率分布律的数学表达式为

3、22232)2(4)(vekTmvfkTmv 热热力力学学温温度度分分子子的的质质量量玻玻耳耳兹兹曼曼常常数数Tmk 整理课件 以以v为横坐标，为横坐标，f (v)为纵坐标画出的曲线叫为纵坐标画出的曲线叫做气体分子的做气体分子的速率分布曲线速率分布曲线pv)v(fvodvv vdv)v(fNdN 麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线整理课件曲线曲线f(v)0 v vp v1 v2 vv+ vNdNdf vv)(意义：分布在区间意义：分布在区间v v+ v 内的分子数的百分率内的分子数的百分率面积面积： 21d)(vvvvf意义：分布在区间意义：分布在区间 v1 v2 内的分子数的百分率内的

4、分子数的百分率面积：面积：整个曲线下的面积整个曲线下的面积 01d)(vvf归一化条件归一化条件意义：分布在意义：分布在0 区区间内的分子数的百分率间内的分子数的百分率整理课件 从图中可以看出，速率很大和很小的分子所从图中可以看出，速率很大和很小的分子所占的分子数很少，大部分分子具有中等速率；占的分子数很少，大部分分子具有中等速率；dvvfNNvv)(21 速率在速率在 区间的分子数区间的分子数 占分子总数占分子总数的百分比为的百分比为1v2vN 它对应于曲线下阴影部分的面积它对应于曲线下阴影部分的面积 速率分布函数的速率分布函数的归一化归一化1)(0dvvf 整理课件*由由麦克斯韦麦克斯韦速

5、率分布函数表示一些平均值速率分布函数表示一些平均值 000d)(vvvvfNdNvNvdN 00202d)(vvvv22fNdNvNdNv整理课件试说明下列各式的物理意义：试说明下列各式的物理意义：dvvf)(dvvNf)( 21)(VVdvvf 21)(VVdvvNf1)(0 dvvf 2121)(VVVVdNdvvNf整理课件 2121)()(212vvvvdvvfdvvfmv例：例：说明说明 的物理意义。的物理意义。 212121212221)()(21VVvvvvvvdNdNmvdvvfdvvfmv解解: :分子速率在分子速率在v v11v v2 2区间内的分子的平均平动动能。区间内的

6、分子的平均平动动能。整理课件 最概然速率最概然速率 平均速率和方均根速率平均速率和方均根速率 1最概然速率最概然速率 定义定义 速率分布曲线上，速率分布函数速率分布曲线上，速率分布函数f (v)的的最大值对应的速率叫做最大值对应的速率叫做最概然速率最概然速率由数学知由数学知 0212)2(4)(22232 ppvvkTmvvvkTmvvekTmdvvdf 整理课件0212 kTmvp所以所以 即即mkTvp2 RTmkTvp22 物理意义物理意义 单位速率间隔比较，它表示在最概单位速率间隔比较，它表示在最概然速率附近的单位速率间隔内的分子数占总分然速率附近的单位速率间隔内的分子数占总分子数的百

7、分比最大子数的百分比最大整理课件 不同温度下的不同温度下的麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布曲线曲线同一种气体，若同一种气体，若T1M2，则，则vp1vp2MRTmkT22p v利用最概然速率利用最概然速率讨论讨论整理课件2平均速率平均速率 定义定义 气体分子速率的算术平均值叫做气体气体分子速率的算术平均值叫做气体分子的分子的平均速率平均速率NdNvdNvdNvdNvvnnii 2211NvdN 0 0)(dvvvfmkT 8 RT8 3方均根速率方均根速率 定义定义 气体分子速率平方的平均值叫做气体气体分子速率平方的平均值叫做气体分子的分子的方均根速率方均根速率整理课件 对于一定的气体，当温度

8、升高时，气体分子对于一定的气体，当温度升高时，气体分子的速率普遍增大，速率分布曲线上的最大值也向的速率普遍增大，速率分布曲线上的最大值也向量值大的方向上移动，亦即最概然速率增大了量值大的方向上移动，亦即最概然速率增大了. 但因曲线下的面积恒为但因曲线下的面积恒为1，因此分布曲线高度降，因此分布曲线高度降低，曲线变得较为平坦低，曲线变得较为平坦2vvvp 可以看出：可以看出：NdNvv 022 02)(dvvfvmkT3 RT3 整理课件不同温度下的速率分布曲线不同温度下的速率分布曲线5001000150073K273K1273K)sm(1 v)(vf0整理课件4.3.4 例题分析例题分析N 个

9、粒子，其速率分布函数为：个粒子，其速率分布函数为： )2(0)()2()()0()(00000vvvfvvvavfvvvavvf（1）作出速率分布曲线并求出常数）作出速率分布曲线并求出常数a ；（2）分别求速率大于）分别求速率大于v0 和小于和小于v0 的粒子数的粒子数 ；（3）求粒子的平均速率）求粒子的平均速率.整理课件1000200 vvvadvdvvav解（解（1）作出速率分布曲线如图所示）作出速率分布曲线如图所示. 根据速率分布函数的归一化条件，有根据速率分布函数的归一化条件，有032va 所以所以)(vfa00v02vv整理课件（2）速率大于）速率大于v0 的粒子数为的粒子数为 0v

10、dNN 0)(vdvvNf 002vvadvNN32 速率小于速率小于v0 的粒子数为的粒子数为 00vdNN 00)(vdvvNfN31 000vdvvavN（3）粒子的平均速率为）粒子的平均速率为 0)(vdvvvfv 000200vvvvadvdvvavv整理课件 2. 在在300K 时，空气中速率在（时，空气中速率在（1）vp附近（附近（2）10 vp 附近单位速率区间（附近单位速率区间（ v =1ms-1）内的分子数）内的分子数占分子总数的百分比各是多少？平均来讲占分子总数的百分比各是多少？平均来讲 105 mol 的空气中这区间的分子数又各是多少？的空气中这区间的分子数又各是多少？

11、 （已知空（已知空气的摩尔质量约为气的摩尔质量约为29 10-3kgmol-1）.解解 麦克斯韦速率分布为麦克斯韦速率分布为vevkTmNNkTmv 2223224 vevvpvvp 22324 .22为最概然速率为最概然速率其中其中 RTmkTvp 整理课件当当T =300 K 时，对空气分子有时，对空气分子有3102930031. 822 RTvp（1）v = vp 附近单位速率区间（附近单位速率区间（ v =1ms-1）内的分子数占分子总数的百分比为内的分子数占分子总数的百分比为vevvNNpvvp 22324 1415141 e 002 . 0 1sm415 整理课件（2）v =10 vp 附近单位速率区间（附近单位速率区间（ v =1ms-1）内的分子数占分子总数的百分比为内的分子数占分子总数的百分比为vevvNNpvvp 22324 vevvppvvpp 22)10(32)10(4e 0042100 . 2 整理课件105mol 的空气中的总分子数为的空气中的总分子数为523101002. 6