函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳（Word）

1、函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳一 定义引言设函数列与函数定义在同一数集上，若对任给的正数，总存在某一正数，使得当时，对一切，都有 则称函数列在上一致收敛于，记作 ，设是定义在数集上的一个函数列，表达式 称为定义在上的函数项级数,简记为或；称 , , 为函数项级数的部分和函数列设数集为函数项级数的收敛域，则对每个，记，即，称为函数项级数的和函数，称为函数项级数的余项定义1设是函数项级数的部分和函数列，若在数集上一致收敛于函数，或称函数项级数在上一致收敛于，或称在上一致收敛由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以可以根据函数列一致收敛性定义得到等价定义2 / 58

2、定义2设是函数项级数的部分和函数列，函数列，和函数都是定义在同一数集上，若对于任给的正数，总存在某一正整数，使得当时，对一切，都有，则称函数项级数在上一致收敛于函数，或称在上一致收敛同时由，故在上一致收敛于0定义3设函数项级数在区间上收敛，其和函数为，部分和函数列，若，及，使得，则函数项级数在区间上非一致收敛例1试证在上一致收敛，但在内不一致收敛证明显然在内收敛于对任意的，欲使当和时，恒有成立,只要当时,恒有 成立,只要当时,恒有 成立,只要当时，恒有 成立，只要取即可依定义，在上一致收敛于存在，对任意自然数，都存在和，使成立，依定义，在内不一致收敛二 函数项级数一致收敛性的判定方法定理1Ca

3、uchy一致收敛准则函数项级数在数集上一致敛的充要条件为：对，总，使得当时，对一切和一切正整数，都有 或 或特别地，当时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件：推论1函数项级数在在数集上一致收敛的必要条件是函数列在上一致收敛于定理2 函数项级数在点集上一致收敛于的充分必要条件是： 定理3放大法 是函数项级数的部分和函数列,和函数,都是定义在同一数集上,对于任意的,存在数列,使得对于,有,且,则称函数列一致收敛于,即函数项级数在上一致收敛于函数.证明因,故对任给的,(与无关),使得当时,对一切,都有.由定义2得函数列一致收敛于,即函数项级数在上一致收敛于.注:用放大法判定函数项级数一致收敛性时,

4、需要知道. 定理4确界法 函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是 证明充分性设是函数项级数的部分和函数列, 为和函数,则有，并令，而，即,由定理3(放大法)得知函数项级数一致收敛于函数.必要性注：实质上是用极值的方法把一致收敛问题转化为求数列极限的问题定理5若在区间上收敛,则在上一致收敛的充要条件是,有.证明充分性假设在上不一致收敛,则,使得,如此得到,但,这与已知条件矛盾.必要性因已知在上一致收敛,所以,使得当时,对一切,都有,对于,则有,即,得.例2设，在上连续，又在收敛于连续函数，则在一致收敛于证明已知（其中）是单调递减且趋于0，所以有，且>0,时,有.将固定,令,因为在上连续,

5、既然,所以,当时, .从而时更有即,仅当.如上所述,对每个点,可找到相应的领域及相应的,使得时,对恒有.如此:构成的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖,不妨记为,于是,总使得),取,那么时,恒有,由定理5得在一致收敛于.定理6判别法或优先级判别法或Weierstrass判别法设函数项级数定义在数集上,为收敛的正项级数,若对一切,有 则函数项级数在上一致收敛.证明由假设正项级数收敛,根据函数项级数的Cauchy准则,某正整数,使得当及任何正整数,有又由(3)对一切,有根据函数项级数一致收敛的Cauchy准则,级数在上一致收敛.注:若能用从判定一致收敛,则必是绝对收敛,故判别法对条件收敛的函数项级数

6、失效. 例3函数项级数在上一致收敛,因为对一切有,而正项级数是收敛的.推论2设有函数项级数,存在一收敛的正项级数,使得对于有,则函数项级数在区间一致收敛证明已知,即有即,从而,又因为收敛,则也收敛,由判别法得函数项级数在区间一致收敛.由广义调和级数,当时收敛,故当=时,有推论设有函数项级数,若存在极限且,则函数项级数在区间一致收敛.例4 证明函数项级数在是一致收敛的.证明对于,存在收敛的正项级数,且由的推论2与推论得, 在一致收敛.定理7比较判别法两个函数项级数与,若,当有(其中为正常数),且函数项级数在区间绝对一致收敛,则函数区间绝对一致收敛.证明已知 在区间绝对一致收敛,即对(其中为正常数

7、),及,有；又由条件知有；取当,有由收敛级数一致收敛Cauchy准则知，函数项级数在区间一致收敛，从而函数项级数在区间绝对一致收敛.定理8若有函数级数与,有(其中为正常数),且函数项级数在区间一致收敛,则函数区间绝对一致收敛.证明 已知,有(其中为正常数).又函数项级数在区间绝对一致收敛,即,有；取当有从而函数项级数在区间绝对一致收敛.推论3比较极限法若有两个函数级数与,且有且,若级数在区间绝对一致收敛,则函数在区间也绝对一致收敛.证明由且,即当有使且.即及有,又级数在区间绝对一致收敛,由比较判别法定理7知级数在区间绝对一致收敛.推论4有函数列在区间上一致有界,且函数级数在区间绝对一致收敛,则

8、函数级数在区间上也绝对一致收敛.证明 由已知函数列在区间上一致有界,即有,使当有,又因函数级数在区间绝对一致收敛,由比较判法定理7知, 函数级数在区间上绝对一致收敛.例5 若函数级数在区间一致收敛,且,有,则函数项级数在区间上一致收敛.证明 由条件函数在区间一致收敛,则级数在区间上一致收敛.又有,故且级数在区间绝对一致收敛,由定理8知,级数在区间上一致收敛.又已知在区间一直收敛,从而级数在区间上一致收敛.推论5 设函数项级数定义在数集上，在上一致收敛且，若对一切，有，则函数项级数在上一致收敛.定理9 逼近法若对任意的自然数和,都有成立,又和都在数集上一致收敛于,则也在上一致收敛于.证明 设，因

9、为都有,所以有.又,在区间上一致收敛于,即,当时,对一切有及；所以,当时,对一切有.由函数项级数一致收敛定义知, 在上也一致收敛于.定理10 由有性质判别若和在点集上一致收敛，则在上也一致收敛证明 由和均在点集上一致收敛知，对（自然数），使得当时，对自然数和有所以 由函数项级数一致收敛的Cauchy收敛准则知，在上也一致收敛定理11 Dini定理设在上连续，又在上收敛于连续函数，则函数项级数在一致收敛使用步骤：判定且连续；求和函数；判定求和函数在上连续Abel引理定理12 Abel判别法证明 推论6 设函数项级数在上一致收敛，函数在上有界，则在上一致收敛.证明 因为在上有界,所以使,对成立.因

10、在上一致收敛,使当,时有,对成立,此式表明.由Cauchy准则知在上一致收敛.定理13 Dirichlet判别法设(i)的部分和函数列在上一直致有界; (ii)对每一个，单调; ()在上,则级数和在上一致收敛.证明 充分性 由(i)正数,对一切,有,因此当为任何正整数时,对任何一个,再由(ii)及Abel引理,得到 .再由()对当时,对一切,有；所以于是由一致收敛的Cauchy准则级数在上一致收敛.注:事实上必要性也成立,即已知在上一致收敛,可推出(i)(ii)()成立,这里不再赘述.例6 若数列单调且收敛于0,则级数在上一致收敛.证明 由得在上有,所以级数的部分和函数列在上一致有界,于是令,

11、则由Dirichlet判别法可得级数在上一致收敛.定理14 积分判别法设为区域上的非负函数, 是定义在数集上的正项函数级,如果在上关于为单调减函数,若含参变量反常积分在数集上一致收敛,则在数集上一致收敛.证明 由在数集上一致收敛,对,一个,当时,对一切自然数和一切,有.由,所以在数集上一致收敛.例7 设,证明在区间连续.证明 首先对任意取定一点,都存在,使得,我们只要证明在即可.令,由,并且无穷级数收敛,所以含参积分在上一致收敛.又因为即对任意固定,关于在区间上是单调递减的,由定理14知,函数级数在区间上是一致收敛的.利用函数项级数的性质可得, 在区间连续,从而在区间也连续,所以在连续,由在的

12、任意性可知, 在上连续.含参变量无穷积分与函数项级数都是对函数求和的问题,前者连续作和,后者离散作和,因此它们的一致收敛性定义及判别法都是平行的,而且所表示的函数分析性质(如连续、可微、可积性)也一致,在此不在赘述.由定理14,我们可利用积分的便利条件判断某些数项级数的一致收敛,也可用函数项级数的一致收敛性判别某些含参变量积分一致收敛.定理15 函数列在上连续且单调,级数和级数收敛,则级数在上一致收敛.证明 级数和收敛.则+收敛.由在上连续且单调,则<+,由判别法知,级数在上一致收敛.定理16 设函数,在上可微(其中为有限数),且满足如下条件:(i)函数项级数在上收敛; (ii)存在常数

13、,使得对任意的自然树,任意的实数,恒有,则函数项级数在上一致收敛.证明 对,因为为有限数,所以存在自然数,使得,我们在闭区间上插入分点,于是,闭区间被分成个小区间,.从而有=.又因为函数项级在上是收敛的,故对任意,存在自然数,使得时,对任意,有.于是,对任意,在自然数,使得时, 对任意,有 因此,对,存在自然数,使得当时,任意,任意自然数,均有.即函数项级数在上一致收敛.定理17 设为定义在数集上的函数项级数,为的收敛点,且每个在上一致可微, 在上一致收敛,记.定理18 设函数列在闭区间上连续可微,且存在一点,使得在点处收敛; 在上一致收敛,则函数项级数在上一致收敛.证明 已知在点处收敛, 在

14、上一致收敛.即对,使得时,对,有成立.对,有.根据拉格朗日中值定理,有<,(介于与之间)于是， 即在上一致收敛.引理2 若函数项级数在上收敛，则在一致收敛的必要条件是收敛.证明 由函数项级数的柯西收敛准则有，有. 又,在(4)的两端取极限,令得,于是由Cauchy收敛准则知收敛.（若,则在一致收敛的必要条件是收敛.若在连续,则在一致收敛收敛.)定理19 利用内闭一致收敛判别若函数项级数在内闭一致收敛,则在一致收敛,级数收敛.证明 必要性,充分性用反正法,这里不再赘述.注:仅由闭一致收敛性和引理的必要条件(集函数级数在区间端点收敛或端点的极限级数收敛)是不能得到函数级数在区间一致收敛的.例

15、8证明在内闭一致收敛,且在端点收敛,但在不一致收敛.证明的部分和函数列在一致有界,而在一致收敛于0,于是由Dirichlet判别法知, 在一致收敛,从而在内闭一致收敛.当或时,级数显然收敛.取,则但发散,故由定理19知, 在不一致收敛.推论7若在内闭一致收敛,则在一致收敛的充要条件是, 皆收敛.证明与定理19类似,略.定理20 设函数级数在收敛,且满足引理2中必要条件,则在一致收敛,皆收敛.证明必要性用反证法.假设,而发散.若或,则由定理20知不可;若,则存在的子列或或,于是由定理19知在或在不一致收敛,从而在不一致收敛,矛盾.必要性获证.充分性用反证法.设在不一致收敛,则由定理18的证明可得

16、,且而发散,矛盾.推论8设在收敛,且满足引理的必要条件,则在一致收敛或,皆收敛.证明与定理20的类似,略.推论12 设使定义在数集上的正项函数项级数，在上有界，若时，一致收敛于，设，则当时，在上一致收敛证明 由，时,一致收敛于，取，时，对一切，有，所以，取，有，取，当时，对一切,有，因此，所以，由时，收敛，由优级数判别法可知在上一致收敛推论13 函数列定义于数集上，且在上有界，若对一切的，有，则函数项级数在上一致收敛证明 不妨设对于,有，即，则，假设当，成立，则当，也成立，故由数学归纳法得，且在有界，即，对，有所以，又已知几何级数收敛，故级数收敛，由优级数判别法知在上一致收敛推论14 函数列定

17、义于数集上，且在上有界，若，有，则函数项级数在上一致收敛证明 因为即 ,对一切，有，即，由推论10得函数项级数在数集上一致收敛例11 判断函数项级数在上一致收敛性证明 因为， 且，由推论13可知函数项级数在上一致收敛定理23 （根式判别法）设为定义在数集上的函数项级数，记，若存在正整数，正数，使得对一切的，成立，则函数项级数在上一致收敛证明 由定理条件对一切，成立，而几何级数收敛，由优级数判别法知，函数项级数在上一致收敛推论15 （根式判别法的极限形式）设为定义在数集上的函数列，若一致收敛于，且，即，对成立，则函数项级数在上一致收敛证明 由一致收敛于 ，取，,当时，对一切有，所以，所以，又因为

18、，由优级数判别法知在上一致收敛推论 设为定义在数集上的正项函数项级数，记，若，则函数项级数在上一致收敛证明 由假设，则存在正整数,使得当时，有，则对任意的，有 ，而几何级数收敛，由函数项级数一致收敛性优级数判别法知在上一致收敛，即得证例12 函数项级数在上一致收敛，（其中是实常数且），因为，设，由推论得函数项级数在上一致收敛推论16 有函数项级数，若对，有，则函数项级数在上一致收敛证明 因，则，有，即，从而依定理8得函数项级数在上一致收敛例13 判别函数项级数在上的一致收敛性证明 因，依推论15函数项级数在上一致收敛定理24 （对数判别法）设为定义在上的正的函数列，若存在，那么若，对，则函数项

19、级数一致收敛；若对，则函数项级数不一致收敛证明 由定理条件知，对任意，使得对一切，有，即，则当对成立时，有，而级数当时收敛，由优级数判别法知函数项级数在上一致收；而当，对成立时，有，而级数当时发散，从而函数项级数不一致收敛定理25 设函数项级数，都是定义在数集上的正项函数项级数，当，时，一致收敛于，设，；当时，若在上一致收敛，则在上也一致收敛当时，若在上一致收敛，则在上也一致收敛当时，与在数集上同时一致收敛，或同时不一致收敛证明 由当，时，一致收敛于，则任取，总，当时，对一切有，得到即当时，由上式的右半部分可知若在上一致收敛，则在上也一致收敛； 当时，由上式左半部分可知若在一致收敛，则在上也一

20、致收敛； 当时，取易知与同时一致收敛或同时不一致收敛Lipschitz（莱布尼茨）型函数项级数一致收敛判别定义4 设有函数项级数，其中,是区间上的连续函数,且函数列在区间上单调减少收敛于0，则称这类级数为Lipschitz型函数项级数定理26 若，为L型函数项级数，则此级数在上一致收敛；证明 因为是上的连续函数，函数列在区间上单调减少且收于连续函数所以在连续非负，而，由Dini定理知函数项级数在区间一致收敛于0，从而函数列在一致收敛于0又，所以,故一致有界，由Dirichlet判别法知交错函数项级数在区间上一致收敛由得一致收敛，设，于是 例14 试证在区间一致收敛证明 是任意闭区间上的连续函数

21、列且，由定理26知函数项级数在上一致收敛推论17 设函数列在上收敛于，若可写成L型函数项级数的部分和，则函数列在上一致收敛于证明 设有L型函数项级数一致收敛于，而，则对，都有，即，故函数列在上一致收敛于例15 证明在上一致收敛证明 因为，由，有，由与无关且故，由Cauchy准则证毕定理27 利用结论：设幂级数的收敛半径，则当(或)收敛时，在或一致收敛；在内一致收敛，当且仅当在上一致收敛注：1 Cauchy准则与M判别法比较实用一般优先考虑；2 Cauchy准则、M判别法、放大法要实现对函数项级数一致收型性的判别，均要对一定的表达式进行有效是我放大三 非一致收敛性的判别1 利用非一致收敛的定义定

22、义3，略例16 讨论函数项级数在是否一致收敛解 当时，有取使，无论多大只要，就有，故在上非一致收敛2 利用确界原理的逆否命题定理28 若函数项级数在数集上非一致收敛的充要条件是证明 它是确界原理的逆否命题，故成立例17 函数项级数的部分和函数为，讨论在上是否一致收敛证明 部分和函数，当时，又当时，故在内非一致收敛注：极限函数知道时值得用3 利用定理5的逆否命题定理29 设，若存在使得，则在上不一致收敛证明 略注：此定理比较实用4 利用Cauchy准则逆否命题定理30 函数项级数在区间上非一致收敛的充要条件是存在，,，使得证明 它是Cauchy准则的逆否命题，故成立例18 讨论在上的一致收敛性解

23、 取，对,，及使 故在上非一致收敛注：该类型关键是要找出与及之间的关系，从而凑出，该类型题也有一种简便方法，即取能适用于很多例题此方法比较实用，优先考虑推论18 函数列在上非一致收敛于0，则函数项级数在数集上非一致收敛证明 它是推论1的逆否命题，故成立例19 设，讨论函数项级数的一致收敛性解 取，则，此极限不存在，所以在定义域内非一致收敛于0，则在内非一致收敛推论19 若函数项级数在区间上逐点收敛，且在区间中存在一点列，使，则函数项级数在区间上非一致收敛例20 讨论在上的一致收敛性解 因为使，有，知在上非一致收敛5 利用求极值的方法定理31 ，若，则在上不一致收敛例21 证在上处处收敛，但不一

24、致收敛证明 因为，对，与都收敛，所以收敛，时收敛，故在上处处收敛；而,所以，又，故在非一致收敛注：极限函数知道时，可考虑用6 利用一致收敛函数列的一个性质判别引理2 若连续函数列在区间上一致收敛于，则，有证明 由在上一致收于，即有,，：，有，得根据连续函数列在区间上一致收敛于，则也必在上连续，从而定理32 连续函数项级数在区间上逐点收于，且，有则函数项级数在区间上非一致收敛于例22 讨论在上一致收敛性解 显然在上逐点收，且每一项都在上连续，取，则再设，由定积分概念 故知在上非一致收敛推论20 设连续函数列在区间上逐点收敛，且在中存在数列和满足条件，；，而则在上不一致收敛例23 讨论，在上的一致

25、收敛性解 这个连续函数列在上逐点收，先取，则有 又取，则且 由，极限不同，所以由推论20连续函数列在上不一致收敛7 利用端点发散性判别定理33 函数项级数定义在（或）上对函数都在点右连续，但级数发散，则函数项级数在（或）上非一致收敛（注：在（或）内也有相应结论）证明 反证法设在（）上一致收敛，即，或，有又因，在左端点（右）连续，令（或），对上式两端取极限得，知收敛，与已知矛盾，故在（或）上非一致收敛例24 讨论函数项级数在上一致收敛性解 显然函数项级数在逐点收敛，且每一项都在处连续，而在处发散，故函数项级数在上非一致收敛定理34 如果在内，每一个在点左连续，但不存在，则在内不一致收敛（注：在内

26、也有相应结论）8 利用和函数的连续性来判别（若连续函数项级数在区间上一致收敛于和函数，则和函数在区间上必连续）定理35 若连续函数项级数在区间上逐点收敛于和函数，且，在处不连续，则函数项级数在区间上非一致收敛于和函数例25 讨论函数项级数在上一致收敛性解 这个函数项级数的部分和为，即得，知和函数在处不连续故知该函数项在上非一致收敛注：在和函数方便求解时，能简化证明过程9 定理36 设对任意自然数，函数在区间上都是单调增加（或单调减少）的，如果存在数列，使得级数发散，则函数项级数在上非一致收敛证明 反证法设在上一致收敛，由Cauchy准则，对，总，使对任意及，不等式，对一切成立，不妨设有在上单调增，又设，则有，所以有，所以收敛，与假设矛盾证毕例26 证在内非一致收敛证明 对，显然在区间内都是单调减小的，其次，取，级数发散，于是由本定理得证定