二次曲线的渐近方向ppt课件

1、5.1 5.1 二次曲线与直线的相关位置二次曲线与直线的相关位置第五章第五章 二次曲线的普通实际二次曲线的普通实际5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线二次曲线的渐近方向、中心、渐近线5.3 二次曲线的切线二次曲线的切线5.4 二次曲线的直径二次曲线的直径5.5 二次曲线的主直径和主方向二次曲线的主直径和主方向5.6 二次曲线方程的化简与分类二次曲线方程的化简与分类5.7 运用不变量化简二次曲线的方程运用不变量化简二次曲线的方程第五章第五章 二次曲线的普通实际二次曲线的普通实际教学安排阐明教学安排阐明122.3.1.2.课时通过本章的学习，使学生理解二次曲线和直线的相关位置；掌握二次曲线的渐

2、近方向、渐近线、中心、切线等概念；掌握二次曲线的直径、方向等；熟悉二次曲线的化简和分类。1.二次曲线的渐近方向、渐近线、中心、切线等概念；二次曲线的直径、方向等；二次曲线的化简和分教学时数：本章教学目标及要求：本章教学重点 本章教学难类。二次曲线的相关理论； 二次曲线的化点简和分类。5.1 5.1 二次曲线与直线的相关位置二次曲线与直线的相关位置2课时二次曲线与直线的相关位置；1.二次曲线与直线的相关位置的讨论； 2.一些符合的记忆。 1.理解并记忆一些符合； 2.掌握二次曲线与直线的相关位置； 3.熟悉二次曲线与直线的相关位置的条件； 教学时数：教学重点：教学难点：教学目标：4.培养学生分析

3、问题和解决问题的能力。引论引论一、平面上的二次曲线221112221323332220(1)a xa xy a ya xa y a。其一般形式是：平面上由二元二次方程所表示的曲叫做二次曲。线线( , )1x yxy如果点的坐标中有虚数，我们仍然认为它表示平面上的一点，并把它叫做虚点； 相对于把 、都是实数对应的点叫做实点； 实点和虚点统称为复点。我们把对应坐标为共轭虚数的点叫做共.复点：轭虚点。二、平面上的虚元素如圆、曲、物等。椭圆双线抛线111222121212( ,)()14,1MMx yxyxxyyMM Mxy设、为两个复点，则点分成定比 的坐标是、.定比分点公式：。C0A B CAxB

4、y 若 、 、 与三个实数成比例, 则方程为实直线，否则为虚直线。 虚直线和实直线统称为复直线。 只讨论实系数方程， 它表示的曲线上可3.复直线：能有虚点。11122221211212(,),(,)2MMxyxyM MxxyyM M设是平面上的两个复点，且的坐标，中至少有一个为虚数，称为虚向量。相对于虚向量前面所讲的向量称为实向量。虚向量、实向量统称为.复向量：复向量。2. 复向量复向量0000(,):XxxtxyX YyyYt过点且方向为的直。的参数方程为线三、一些记号三、一些记号22111222132333( , )222Fx ya xa xya ya xa ya；1111213( ,)F

5、x ya xa ya；2122223( ,)Fx ya xaya；3132333( ,)Fx yaxaya；22111222( , )2x ya xa xya y；1112*1222( , )xaaAyaa叫的矩阵；111213122223132333( , )aaaAaaaF x yaaa叫的矩阵；11122Iaa；111221222aaIaa；1112133122223132333=aaaIaaaaaa；11132223113332333=aaaaKaaaa。123( , )( , )( , )( , )FFFFx yxx yyx yx y可以验证：。22111222132333( ,)2

6、220(1)Fxya xa xya ya xa ya 下面我们二次曲讨论线111222221101200220130230332221101201312022023(2)2(222)03()()XXYYXaaata xa yaa xa yaY ta xa x ya ya xa ya（ ） 即：5.1 5.1 二次曲线与直线的相关位置二次曲线与直线的相关位置200100200(, )2(,)0(,)(,)X Y tFXFtFxyxy Yxy(4)0000(2)(,):(2)(1)Xxxtx yX YyyYtt和过点且方向为的直参数方程的交情况。我们先把方程代入方程，整理得关于 的方程：（）线点t

7、下面我们这个于 的方程，从而了解(1)和(2)的交点情况。讨论关一、一、(X,Y)0(X,Y)0的情况的情况200100200,()2(,) 0(,)(,)X YXtFFY t F x yx yx y+对方程210020000,0(4)4(,)(,)4,(,)X YtF xyXFxy YX Y F xy当 （）时：方程是关于 的二次方程，判别式（）。12(4)(210)(.)1tt 方程有两个不等的实根 与 ，直线与二次曲线有两个不同的：实交点；12(4)(210)(2).tt 方程有两个相同的实根 与，直线与二次曲线有两个重合的：实交点；(4)(2)30. 方程有两个共轭虚根，直线与二次曲线

8、(1)有两个共轭的：虚交点。222222/410/413 +2401+20 xyxyxyxyxyx y 都是两个交点：。如和有两个不同的实交点；和有两个 共同点重合的实交点；和有两个共轭的虚交点。100200(,)(,)0(2)(1)1XFFYxyxy当.时：直线与二次曲线有唯一的实交点；10020000( ,)( ,)00(4)(2)(21)( ,)XF x yF x y YF x y当且时 ： 是矛盾方程，直线与二次曲线没有交点；.10020000(,)(,)0(,) 0(4)(2)(1)3F x y X F x y YF x y当且时：是恒等式，直线的全部在二次曲线上。.19014.P作

9、、业：二、二、(X,Y)=0(X,Y)=0的情况的情况200100200)(,(,)0.(, ) 02(,)(,)X Y tFX FY t F x yX Ytx yx y=+ 对方程当时是关于 的一次方程， 又分三种情况：1.2.3.复元素； 记号；直线和二次曲线的相小结：关位置。2200 xyxy直线在曲线上.221yxy曲线和直线交于一点.双曲线和它的渐近线不相交.5.2 5.2 二次曲线的渐近方向二次曲线的渐近方向 中心中心 渐近线渐近线2课时二次曲线的渐近方向和渐近线；1.二次曲线的渐近方向的讨论； 2.二次曲线的中心。 1.理解渐近方向、中心和渐近线； 2.掌握二次曲线的分类； 教学

10、时数：教学重点：教学难点： 3.熟悉有心和无心二次曲线教学目标：的概念。复习复习3.4.5.6.1.平面上的二次曲线； 2.复点；复向量；复直线；定比分点公式；一 一、概念：些记号。1.02030(,0.).X Y ：直线与二次曲线有两个不同的实交点；：直线 与二次曲线有两个重合的实交点；：直线与二次曲线有两个共轭二、的虚交点。10020010020010020000001( ,)( ,)02( ,)( ,)003( ,)( ,)( ,) 0( ,0)F x y XF x y YF x y X F x y YF x y X F x y Y F x yF x yX Y.时， 直线与二次曲线有唯一

11、的实交点；、时， 直线与二次曲线没有交点；时， 直线的全部都在二次曲线上。.、.三一、二次曲线的渐近方向一、二次曲线的渐近方向1,0:X YX Y ：满足条件的方向叫做二次曲线(1)的渐近方向，否则叫做非渐 定义近方向。11122211222111221212112222122111122440:20(, ) 0+=0()2()():XXa XYYXX YYaX Ya XYa Yaaaaa aaaIaa 证：因二次曲线的二次项系数不能全为零，当时，。1二次曲线的渐近方向总存在且最多定理 ：有两个。22122220:=():IaYXaa同理：当时，有。112212122122()= 002= 0

12、:0:11:00X YXYaaaaX YIa ， 当时，有，则，故或，此时，所以定理成立。20:IXY 二次曲线的渐近方向是一对共轭虚方向，我们把没有实渐近方向的二次曲定义2线叫椭(1)： 圆型的。22221.1xyab求椭圆的渐例近方向。 因为二次曲线的渐进方向最多有两个，而任意直线的方向有无数多个，所以二次曲线的非渐进方向可以有无数多个。二次曲线按渐近方向的分类二次曲线按渐近方向的分类2222( , )00,:XYXaX YiabYbX Yabi虚渐近方向，将系数代入即，得=即椭圆的渐近方向为：。221 0 xy 可验证：也另是椭圆型的。2222211/0001/aIba b因,解：故有一

13、对共轭20I 时有一个实渐近方向，有一个实渐近方向的二次曲线定义2(2)：叫抛物型的。二次曲线按渐近方向的分类二次曲线按渐近方向的分类222.ypx求抛物线的例渐近方向。2200001(, )00:1:0IX YYX Y因, 它有一个实渐近方向，这时即，得抛物 线的渐近方向为 解：。221020 xx 验证：，都例 ：是抛物型的。2210000(, )00:0:1IX YXX Y因为, 它有一个实渐近方向，这时即 ，得 解：渐近方向为。二次曲线按渐近方向的分类二次曲线按渐近方向的分类22222222211/00,01/(, )00,:aIba bXYXaX YabYbX Yab因故它有两个不同

14、的实渐近方向 ，这时即，得=即双曲 解线的渐近方向为：。220 xy另外可以验证：也是双曲型的。22221.xyab求双曲线的例3渐近方向。2220= 00III椭圆型（）抛物型（二次曲线）双曲）可型（见：20I 时二次曲线有两个实渐近方向，有两个实渐近方向的二次曲线定义2(3)：叫双曲型的。0(, )XY 当时，非渐近方向的直线与二次曲线总有两个交点，我们把这两个交点的连线叫二次曲 定义3：线的弦。CC若点 是二次曲线的通过它的所有弦的中点， 则点叫二次曲 定义4：线的中心。000111022212210020000,(,)( , )0:( , )0( ,)(,)( ,)0,()2(,)(,

15、)(,)0X YC xyF x yCX YxXtLF x yMx yyYtMxyCM MLF xytF xyXF xy Y tF xyxy与 证：设是的中心，则过 以为方向的直线 :交于两点、，点为弦的中点，将 代入得。12000000(,)0(,)( , )0(,)20FCFFx yx yx yx y点是：的理中心定。二、二、 二次曲线的中心二次曲线的中心推论推论12120000000000(,)()0(,)()X FYFX YFFxyxyxyxy故，因、 不同时为零，有，。反之也成立。，101120122022()xxXtxxxX ttxxXt因为1212() 0,)0,X ttY ttX

16、 Y同理又、 不同时为零( , ) 0( , ) 02,F x yF x yx y原点为的中心不含推论 ：的一次项。111312122223( , )000a xa yaF x ya x a y a二次曲线的中心的坐标由下列方程组确定：推论1： 。0 x1201222xxXxtt ()120(1)tt ，11002002)()()(2)(,2,XFYFX Yxyxytt 另外，二次曲线按中心的分类二次曲线按中心的分类13111212222311121312222300( , )0aaaaaaa xa yaFa xa yax y 当时， 方程组有无数多解，即有无数个中心。或上的点都是曲线1311

17、12122223aaaaaa无当时方程组无解即没有中心 ， 叫 心二次 曲线；线心的中二次心，这条曲线；直线叫中心直线。有一条中心直线的二次曲线叫我们把无心和线心二次曲线非中心二叫次曲线。2222I02I00.yxy中心二次曲线无心二次曲线， 如二次曲线非中心二次曲线线心二次曲可线， 如见：20I 当时方程组有唯一解，即有一个中心，叫中心二次曲线；例例22232361080 xxyyxy 证明二次曲线有唯一中心，并求出中 例4：心坐标。233031703501 31213,2322xyIxyxy 解方程, 因为，所以二次曲线有唯一中心，方程组的解为故中证明：心坐标为 （） 。222+2620

18、xxyyxy考察二例5：次曲线的中心。211311011111I因为，又，所以二次曲线解：为无心曲线。26 +50 xx例6：考察二次曲线的中心。2103100=00000150,1=5030Ixxxxx 因，又，故二次曲线为线心曲线。实际上方程可写成 （）由两直线0，组成，其中心轨迹和这两 解：直线等距。三、渐近线三、渐近线120000000000000000:( , )0,()0(,)(,)(,)( ,)()0( ,)0( , ) 0( ,)( ,) 0( , ),0,XLXYXFYFLxxtX YYyytFC xyxyxyx yFF x yF x yC x yF x yLF x yx y

19、x y：，渐近线 因为渐近线的方向满足又因的中心符合 当不在二次曲线上，即时与二次曲线没有交点 ；当在二次曲线上即时，渐近线 的全部都在 曲线证：。0上。 23二次曲线与它的渐近线或没有交点，或整条直线在这条二次、定理 ：曲线上。15过二次曲线的中心，且以渐近方向为方向的直线叫它的渐近线。显然，椭圆型有两条虚渐近线；双曲型有两条实渐近线；抛物型无渐近线或有一条实、定义 ：渐近线。例例195 1236P作业：、2222.+0 xyab求的例7渐近线。22222212211/00,01/( , )(1/)0( , )(1/)0:,aIba bF x ya xF x yb yxatxatX Yabi

20、ybitybit因故曲线是中心曲线，且有一对共轭的虚渐近方向 ，由中心条件得中心在原点 （0,0） ，其渐近方向为因此渐近方程 ,解：为。 所给的二次曲线的图形是一个点 （0,0） ，称为点椭圆，在复平面上，它的渐近线是一对相交于原点的共轭虚直线。5.3 5.3 二次曲线的切线二次曲线的切线2课时二次曲线切线的求法；1.二次曲线切线的定义； 2.二次曲线切线的求法。 1.理解二次曲线切线的定义； 2.掌握二次曲线切线的求法； 教学时数：教学重点：教学难 3.熟悉二次曲线的奇点：教学目标：点和正常点。复习复习,:10X YX Y ：满足条件的方向叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐定义 近方向。

21、1二次曲线的渐近方向总存在且最多定理 ：有两个。()0,XY 当时，非渐近方向的直线与二次曲线总有两个交点，我们把这两点的连线叫二次曲定义2：线的弦。CC若 是二次曲线通过它的所有定义弦的中点 ， 则 叫二次曲线3：的中心。12000000( ,)( , )0( ,2)0( ,)0.CFFFx yx yx yx y是的中心且定理 ：4 过二次曲线的中心，且以渐近方向为方向的直线叫它的渐近线。显然，椭圆型有两条虚渐近线；双曲型有两条实渐近线；抛物型无渐近线或有一条实定义 ：渐近线。一、定义一、定义二、切线的求法二、切线的求法0000000(,)( , )=0MxyF x yx xXtMMyyYt

22、 设点是二次曲线上的点，求过的曲线的切线。而过的直线为210020000000100200()4,0(,)(,)4,(,)=0() 0()()0XXYYF xyXFxy YX Y F xyMF x yF x yFx y （）成为的切线的条件是：当时，在上， 若直线和二次曲线相交于重合的两点，则这条直线叫做二次曲线的切线，交点叫切点。若直线全部在曲线上，也称它为二次曲线的切线，直线上的每一点都定义：是切点。切线的求法切线的求法002001001002002000010001000200200010000( ,)( ,)( ,)( ,)(,)(,)( ,)( ,) 0()()( ,)( ,)( ,

23、)FFFFFFxxyyF x yF x yx yx yX Yxy tMyyxy tx x F x yy y F x yx yxxx yx y 如果、不全为零，由式得 :，故过的切线是：或，即:()00100200(),0(,) 0(,)(,)0XXYYF xyF xyF xy 可见当时， 是的切线，除了外，还有成立。1002000002(,)(,)0:(,)0FFxyxyX YMxyy如果时：式成为恒等式，切线方向不确定，这时过的任何直线都可视为二次曲线的切线。如在(0,0)点的切线。三、奇点和正常点三、奇点和正常点10020000(,)(,) 0(,)FFx yx yx y奇点和正常点 二次

24、曲线上满足的点叫二次曲线的奇点，二次曲线的非奇点叫：正常点。( , )=0( , )=0( , )=0MF x yMMF x yMMF x y式 若是的正常点则过的切线为；若为奇点则过的切线不定，即过的每一条直线都是定理：的切线。22200 xyx二次曲线上一般都是正常点，个别情况才有奇点。例如：可以验证原点 （0,0） 是二次曲线的奇点；上的点都是它的奇点。推论推论10020001000200100200300110120131202202313023033(,)(,)(,)(,)0 (,)(,)(,)0()()()0 xF xyyF xyx F xyy F xyxF xyyF xyF xy

25、x a xa yay a xa yaa xa ya 将式改写成：，即，明故：证。11 0120022013023033()()()0a x xax yxya y yaxxayya即：。0011 0120022013023033( ,)( , )0()()()0M x yF x yMa x x ax yxya y yaxxayya若是的正常点 推论：，则过的切线方程为： 。22000000000( , )0( , )0222( , )0(,)F x yF x yxxyyxyx xx y xyy yxxyyF x yMxy比较二次曲线和它的切线方程可以发现：把中的、改写成：、后就是在点 特点：处的

26、切线。222430(2 11, )xxyyxyA 求在的例 ：切方程。点线2210(0,2)xxy yM 求二次曲，的例切2：方程。线过点线00100000 20(1.2.(,)(,)0)()Mx x F x yyy F x yM直线和二次曲线有重合的两点切线的定义直线的全部在二次曲线上过的切线的求法：正常点：切线为；奇点：过的任何直线都是二次曲线小结：的切线。例题例题200 13.P作、业：5.4 5.4 二次曲线的直径二次曲线的直径2课时二次曲线切线的直径；1.二次曲线切线的直径； 2.二次曲线切线的共轭方向。 1.理解二次曲线的共轭方向； 2.掌握二次曲线的直径教学时数：教学重点：教学难

27、； 3.熟悉二次曲线点：教学的共目标：轭直径。复习复习: 若直线和二次曲线相交于重合的两点，则这条直线叫二次曲线的切线，交点叫切点。若直线全部在曲线上，也称它为二次曲线的切线，直线上的每一点定义都是切点。10020000(,)(,) 0(,)F x yF x yx y 二次曲线上满足的点叫二次曲线的奇点，二次曲线的非奇点叫做奇点和正常点：它的正常点。( , )( , )MF x yMMMMF x y 若 是的正常点，则过的切线为；若 为奇点，则过的切线不定，把过的每一条直线定都视为理：的切线。0011 0120022013023033( ,)( , )()()()0M x yF x yMa x

28、 xax yxya y yaxxayya若是的正常点 推论，则过的切线方程为：。一、二次曲线的直径一、二次曲线的直径200000010020000120012)( , ) ( ,:0( ,):( ,)( , ) 02 ( ,)( ,) ( ,) 0(1)( ,)+ =XXYFXtFX FXX YYx yx xtX Yx yy ytx yYx yx y Y t F x yttx ytt 设是二次曲线的一个非渐近方向， 即， 而是平行于的弦的中心，则过点的弦为，与二次曲线两交点由的两根 与 确定。又因为为弦的中点，所以：0，从而有证1002001211121222132300( ,)( ,)0:(

29、 , )( , )0(2)()()0(3)( ,)FFXFFXYXYx yYx yX Yx yYx ya X a Y xaay aax y ，可见平行于方向的弦的中点的坐标满足方程整理化简得：1： 二次曲线的一族平行弦的中点的轨迹定理是一条直线。11121222111222111212220000220()2()()(,)(,):,0:X Ya Xa Ya Xa YXa Xa XYa Ya Xa Y Xa Xa Y YXxyxyX YY 反之，若点满足(2)式，则(1)中将有绝对值相等而符合相反的两根，点就是具有方向的弦的中点，因此方程(2)为一族平行于某一非渐近方向的弦中点轨迹方程。方程(2

30、)的一次项系数不全为零， 因为当时，有，这与Y是非渐近方向的假设矛盾，所以(2)是一个二元一次方程，是一条直线。二次曲线的直径二次曲线的直径. 1 二次曲线平行弦的中点轨迹叫做这个二次曲线的直径， 它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦，而直径也叫做共轭于平行弦方定义向的直径。1211112132122223( , )( , )0(4)( , )=(5)( , )=(6)kF x ykF x yF x ya x a y aF x ya x a y a 若二次曲线的一族平行弦的斜率为 ，则共轭于这族平行弦的直径方程是： 推论： 若00则：若(5)(6)表示两条不同直线时，(4)上式就构成一

31、直线束。推论推论131112122223(4)=aaaaaa 若(5)(6)表示同一直线，这时， 为一条直线；13111211121222122223(4)aaaaaaaaaa当时 (4)为中心直线束；当为平行直线束；证明续证明续111213131112111213122223111213131112122223000(4)0(4)a xa yaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 若(5)(6) 中有一个为矛盾方程，比如中，这时成立，仍为一平行直线束；若(5)(6)有一个为恒等式，如，这时成立，只表示一条直线。11121222131112122223aaaaaaaaaa于 故即二次曲中心曲，

32、 它的全部直一中心直束， 该直束的中心即二次曲中心；即二次曲心曲, 其全部直于一平行直束。径属径属当时线为线个线线线当时线为无线个线定理定理2 22 中心二次曲线的直径通过曲线的中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线心二次曲线的直径只有一条，就是曲线的中定理 ：心直线。11121312222312112212131112122223:0(0 )X Ya xa yaa xa yaaaaaaaaaaa其方向二次曲的近方向；，即二次曲心曲，这二次曲只有一直，它的方程是：或，即心二次曲的中心直。因此有：为线渐当线为线线时时线条径线线线二、共轭方向和共轭直径二、共轭方向和共轭直径1222111

33、2:():():=X Ya Xa Ya Xa YX YX Y 我把二次曲定：的与非近方向共直的方向叫做非近方向的共方向。们线渐轭渐轭义2 22122211122 21112221212221122 22222122211121122121112222,(, )() ,()0(,)()2()()()()(2)0,0X YXXXXXXXXXYIX Yaa Y tYaa Y ttX Yaaa Ytaaa Yaa Y taaa Yta aaaaa Yttt 所以有。其中，因此有：，因为为非渐近方向，所以另外，因22,()()0000X YX YII此当即二次曲线为中心曲线时，；当。即二次曲线为非中心曲

34、线时，。 这就是说：中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向。111222:()0 :X YXXXXYX YYYX YXXYaaaYYX Y: 由以上可知，二次曲线的非渐近方向和它的共轭方向的关系：，可知两方向是对称的。故对中心曲线来说，非渐近方向的共轭方向为非渐近方向，而的共轭方向为。22( , )22230:F x yxxyyxyX Y 求的共例3：轭于非渐近方向的直径。20636P作业：共轭直径共轭直径22221xyab求例1：或曲的直。椭圆双线径3 中心曲线一对相互共轭方向的直径叫一对共定义 ：轭直径。22ypx例2：求物的直。抛线径5.5

35、 5.5 二次曲线的主直径和主方向二次曲线的主直径和主方向2课时二次曲线的主方向和主直径；1.二次曲线的主方向和主直径； 2.二次曲线切线的特征根。 1.理解二次曲线的特征根； 2.掌握二次曲线的主方教学时数：教学重点：教学难点向； 3.熟悉二次曲线：教学目标：的主直径。复习复习: 1 二次曲线的一族平行弦的中点轨迹定理是一条直线。1. 二次曲线的平行弦中点轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行弦方定义向的直径。2 中心二次曲线的直径通过曲线的中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线心二次曲线的直径只有一条，就是曲线定理 ：中心

36、直线。12221112:):():XX YYa Xa Ya Xa YX Y=-: 我把二次曲的与非近方向共的直方向叫做非近方向的共方向。定：们线渐轭径渐轭义2 23 中心曲线一对相互共轭方向的直径叫一对共定义 ：轭直径。一、定义一、定义二、主直径与主方向的求法二、主直径与主方向的求法22111222132333 ( , )2220F x ya xa xy a ya xa y a 设二次曲线121222111211121222:(1( , )( , ) 0:):():0:():()XFXXXXYXXx yYF x yYYaa YaaX YXXYYX Yaa Yaa Y.若为中心曲线，则与的非渐近

37、方向共轭的直径为，设直径方向为，则由主方向的定义，成为主方向的条件是它垂直于它的共轭方向，在直角坐标系下，由垂直的充要条成为中心二次曲线的主方向的条件是：件得代人上式得：。 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫二次曲线的主方向。显然，主直径是二次曲线的对称轴，故也叫二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫曲线的义：顶点。定111212221112122221112121222:(1)=()0()00(2)0(3)XXXXXaa YX Yaa YYaa YXaaYaaX YIIaaY 故成为中心二次曲线主方向的条件是改写成，它是关于 、 的齐次线性方程组，

38、而、不全为0，所以，即因此对中心二次曲线，求出 代人方程得主方向。11121122122211121222111211221222111212222:():():XYXX YaaaaXYaaaaaaaaYaaaa. 若二次曲线为非中心二次曲线，则它的任何直径的方向总是它的唯一的渐近方向，而垂直于它的方向显然为，所以非中心二次曲线的主方向为渐近主方向，非渐近主方向。主方向主方向主直径主直径2212111220005 1:5 15 2XXYYIIIaaX Y 若把推广到非中心二次曲线，即式中的可取零，当时方程的两根是，把它代人式所得的主方向，正是非中心二次曲线的渐近主方向与非渐近主方向。因此，一个

39、方向成为二次曲线的主方向的条件是成立，这里的 是方程的根。2120( , )01 IIF x y 方程叫做二次曲的特征方程，它的根叫做二次曲的特征根。二次曲的特征方程求出特征根，代人5，得到相的主方向，若主方向非近方向，就能得到共于它的主直。线线从线应为渐则轭径三、特征根三、特征根00 由二次曲特征根 确定的主方向，二次曲的非近主方向；定理3:二次曲的近主方向。线当时为线渐当时为线渐二次曲线的特征根不能定理2:全为零。221211222124()40IIaaa 因为特征方程的判别式，故二次曲线的特征证：根都是实数。122112211221211122230000IIaaa aaaaa 若二次曲

40、的特征根全零, 由5得,证:即与，而与二次曲的定矛盾，故它的根不能全零。 线为则从这线义为二次曲线的特征根都定理1:是实数。定理定理4 4222211122211121222( , )2():)(XYa Xa XY a Ya X a Y Xa X a Y YXY证22()0( , ) 0:0( , ) 0:XXXYX YYX YYX Y。 又 、不全为零， 故当时，是二次曲线的非渐近主方向；当时，是二次曲线的渐近主方向。中心二次曲线至少有两条主直径， 非中心的只有一条定理4:主直径。21211 24.2III，证：由特征根方程解得特征根：2221211221211231211224()40,0

41、(0)5 1IIaaaaaaaa,则,这时的中心曲线为圆,它的特征根为一对二重根:把它代人,则得:X Y到两个恒等式,它被任何方向所满足,故任何实方向都是圆的非渐近主方向,从而通过圆心的任何直线不仅都是直径,而且都是圆的主直径。20Ip二次曲中心曲，若特征方程的 判式：1. 当线为线时别1222221211221212112111122121112111122121221122212:=4()405 1:,:X YXYXYIIaaaaaaaaaaaaaaa 若特征方程的判别式，则特征根为两个不等的非零实根 ，将它们代人得相应两非渐近主方向为：() ()()（）（）（）这两主方向相互垂直，从而它

42、们又互相共轭，故非圆的中心二次曲线有且只有一对相互垂直又共轭的主直径。2111222111222.0,0.Iaaaa当二次曲线为非中心曲线时, 这时两特征根为:故它只有一个非渐近主方向, 即相应的主方向, 从而非中心二次曲线只有一条主直径。22( , )10F x yxxyy 求的主方向与例1：主直径。212P1 234.、作、业：小结小结5.6 5.6 二次曲线方程的化简与分类二次曲线方程的化简与分类2课时二次曲线的化简和分类；1.二次曲线的化简； 2.二次曲线的分类。 1.理解二次曲线的坐标变换； 2.掌握二次曲线的化简； 3.熟悉二次曲线的分类； 4.教学时数：教学重点：教学难点：教学目

43、熟悉二次曲线坐标变换的步骤和标：基本原则。复习复习. 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫二次曲线的主方向显然，主直径是二次曲线的对称轴，故也叫二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫曲义：线的顶点。定00 由二次曲特征根 确定的主方向，二次曲的非近主方向；定理3：二次曲的近主方向。线当时为线渐当时为线渐 中心二次曲线至少有两条主直径，而非中心的只有一条定理4:主直径。二次曲线的特征根都定理1:是实数。二次曲线的特征根不能定理2:全为零。一、平面直角坐标变换一、平面直角坐标变换1 1、坐标变换公式、坐标变换公式000000() ( ,)(1)(,)cos

44、sincos+ sin(2)sincos- sincosx yx yxxxxxxyyyyyyx yxxyxxyyxyyxy 若平面一的坐与新坐分， 、，移公式：，或(1 )其中新坐系原在坐系中的坐。公式：或内点旧标标别为则轴为为标点旧标标转轴为(2 )式中的坐的旋角。为标轴转坐标变换公式续坐标变换公式续OOxyxy 一般由坐系新坐系可分步完成：标变为标两旧(1)OOx y 先移使坐原移到新坐原完成坐系；轴标点标点标(2)OOx yx y 然后由渡坐系构成新坐系。以上步合并后的一般坐公式：过标转轴标两标变换为000000cossin+(3)sincoscossin(cossin)(3).sinc

45、os(sincos)xxyxyxyyxxyxyyxyxy ，或OyxxyxOM2222:0ClA xB x1111:0ClAxB xy2 2、由给定的新坐标轴确定的坐标变换、由给定的新坐标轴确定的坐标变换 确定坐，除了移 和外， 可以有其它方法。 如定了新坐 系的在 坐 系中的方程，并 定了一的正向，就可确定又一种坐公式。标变换轴 转轴还给标两轴 旧 标规个轴标变换11112222121210,00 xOyl Ax B y Cl A x B y CAABBl 在坐系里定了相互垂直的直：，其中，若取直新坐系中设标给两线线 为标22,|OOOxlyMx yx yxM x yyMl的而直,并平面上任

46、意的坐与新坐分是( , )与( , ) 。因是( , )到的距离，也就是到 的距离（如）横轴线 为纵轴设点旧标标别为点轴点图211222222221111sin ,sincos(4)(4)BABABABABxy 数应数号选这两项数号，所以中的第一式右端 的系与第二式右端的系相等，所以的符取要使得的系同。坐标变换续坐标变换续222111222222112222222111221122222|,|(4)(4)(3)(4)cosA xB yCAxB yCABABxyA xB yCxABAxB yCyABAAB 绝对号个标变换为标标较来决号 故有同理。于是在去掉值符后，便得一坐公式使新坐系仍然是右手坐

47、系，可将式与公式比定中的符。因为，例例1 121.30220 xyxyxy 已知新例坐系的、的方程分与，求坐公式。标轴别为标变换225235222322235555(),yxyxyxyxyxyxyxyxM x yxyxy ，或，。 ， 的新坐，有，。根据上面的符取法得公式：解：设标为则号选则变换为 种坐的方法常用在求得一般中心二次曲的主直的情下，用主直作新坐，把二次曲的方程化准方程。这标变换来线径况两条径为标轴线为标二、二次曲线方程的化简和分类二、二次曲线方程的化简和分类22111222132333( , )2220(5)GF x ya xa xya ya xa ya 我们想知道在二次曲线方程

48、 ：的移轴和转轴中，方程系数的变化规律。2120022013023033221112221323331111121222221311 0120131002312022023202()()()2()2()02220,(,)(,axxyyayyaxxayyaa xa xya ya xa yaaaaaaaaa xa yaF x yaa xa yaF x ，化得：，里简这0223311 0120022013 02303300(6)222(,)yaa xa x ya ya xa yaF x y 可得：02001100(,)()xxxF xx yyaxxyyy在移公式下新方程：轴为10020000(1)1

49、.2.2(,)2(,) 3.(,)F x yF xyF x y 移公式下二次曲的律： 二次系不；一次系与； 常定理1：。轴线变换规项数变项数变为数项变为00100200(,)(,) 0(,) 0,x yF x yF x y 当为二次曲线(5)的中心时,有且所以当二次曲线有中心时，作移轴使新原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中就不再包含一次项。定理定理1 122111222132333cossinsincos(5)(2)2220 x xyy xya xa xya ya xa ya 把公式代入，得在公式下的二次曲的新方程，里：转轴转轴线这2211111222221222111

50、222221112221313232313233333cos2sin cossin()sin cos(cossin)sin2sin coscos(7)cossinsincosaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 定理定理2 213132323132313231313232313237( )cossinsincoscossinsincos .aaaaaaaaaaaaaa 从中的,，中解出，得,251.2.23. 在转轴 （ ） 下，方程 （ ） 的系数的变换规律为：二次项系数要改变。新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，与一次项系数及常数项无关；一次项系数也改变。新方程的一次

51、项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，与二次项系数及常数项无关；常数定理 ：项不变。定理定理2 2证明续证明续1323aax y 则可看到，在转轴下，二次曲线方程的一次项系数、的变换规律与点的坐标 、的变换规律完全一致。当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项；当原方程无一次项时， 通过转轴也不会产生一次项。12121222111222221112112212(5)00()sincos(cossin)0()sin22cos20cot2()/2(5)(5)aaaaaaaaaaaaxy 二次曲方程里若， 我常用使新方程中的。此只要取旋角 ，使即可。令，得：。因余切的值可以是任意，所以有足

52、，也就是可以适的消去中的。线们转轴转为实数总满说总经过当转轴项三、确定坐标变换步骤的根本原那么三、确定坐标变换步骤的根本原那么5 因而无论对于何种类型的二次曲线，先转轴总是可行的。对任何一条二次曲线的方程，都可以先移轴、后转轴进行坐标变换，也可以先转轴、后移轴进行坐标变换，两种方法都可以将方程化简。如果决定先转轴，则根据 （ ） 以确定坐标系的旋转角。2I 如果决定先平移，就得先确定把旧坐标系的原点移到何处。对于中心二次曲线，我们一般把新坐标系的中心定为曲线的中心，而中心可以先求出。但对于无心二次曲线，为了得到曲线的标准方程，应该把新坐标系的中心定为曲线的顶点，而顶点却不易先求出。于是，我们在

53、利用坐标变换对二次曲线的方程进行化简时，一般都按照下面的原则进行：先根据 判断曲线的类型。2200IIxy 若，曲线是中心型的，应先求出中心，再移轴，然后转轴； 若，曲线是非中心型的，先转轴，消去交叉项后把所得的方程配方，一般就可以确定新坐标系的原点，再移轴。 这里的原则可在一定程度上减少方程化简的经验证明：运算量。四、二次曲线方程的化简四、二次曲线方程的化简四、二次曲线方程的化简四、二次曲线方程的化简2244121.0 xxyyxy 例2 化方程并。简画图2233.1010210 xxyyxy化方。例程并作简图2254224114.280 xxyyxy简图化并作例。222.205xxyyxy

54、简线化二次方程例曲。通过例题说明如何具体化简二次曲线的方程。定理定理3 3221122331122222213221322332200200003a xa yaa aa ya xa aa yaa，；，；，。 通过适当的坐标变换， 二次曲线的方程总可化成下面三个简化理 ：方程之：定一22111222132333132322200()1:00:1a xa xya ya xa yaaa 二次曲可分中心,心与心曲三，第一种情。已知二次曲中心曲，取它的一既共又相互垂直的主直作坐建立直角坐系。 二次曲在坐系下的方程 ：因原就是曲的中心，所以方程中有一次证，即其次，二次曲的主直即坐的方向与，：它 1线为无线

55、线类现况线为线时对轭径为标轴标设线这样标为为这时点线没项线两条径标轴为们2212112223321122121122000aa xa yaIa aaa a互相共， 因此必有。所以曲的方程又因它是中心曲，故又有。轭 线为为线 定理定理4：经过适当地选取坐标系，二次曲线的方：经过适当地选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面程总可以写成下面9种方式：种方式：290=y(重合直)。两线定理定理4 4222211=xyab（） ；椭圆222221=xyab ()；虚椭圆222231)=xyab(曲；双线222204=xyab()；点椭圆222250=xyab(相交直)；两线262=ypx(物)；抛线2

56、27=ya (平行直)；两线228=ya(平行共直)；两轭虚线2321 2P（1） （2） 、（1作：）业（3）5.75.7运用不变量化简二次曲线的方程运用不变量化简二次曲线的方程2课时应用不变量化简二次曲线；1.二次曲线不变量的概念和结论； 2.化简二次曲线。 1.理解二次曲线不变量的概念； 2.掌握应用不变量化简二次曲线； 3.熟悉无心曲线和线心曲线等曲线的分类； 教学时数：教学 4.熟悉重点：教学难点：教学目二次曲线化简标：的相关理论。复习复习10020000(1)1.2.2 ( ,)2( ,)3.( ,).F x yF x yF x y 在移下，二次曲方程系的律：二次系不； 一次定系与

57、理1；常：轴线数变换规项数变项数变为数项变为221122331122222213221322332200200003 :a xa yaa aa ya xa aa yaa，；，；， 通过适当的坐标变换, 二次曲线方程总可化成下面三个简化方程之一定：理49 ：通过适当地选取坐标系，二次曲线的方程总可以定理写成下面 种形式：1、坐标变换公式一、不变量与半不变量一、不变量与半不变量111233111233( , )( , )( ,)(,)(,)(1)(1)F x yfTF x yF x yf aaaf aaafTf 设的系数组成一个非常值函数 ，若经过直角坐标变换 ，变为时，有，则这个函数 叫做二次曲

58、线在直角坐标变换 下的不变量。如果这个函数的值只是经过转轴变换不变，则这个函数叫做二次曲线在直角坐标变换下的半定义1：不变量。221112221323330022111222132333( , )2220(1)cossin(1)( ,)sincos222F x ya xa xya ya xa yax xyxF xyy xyya xa x ya ya xa yaF 二次曲在任意定的直角坐系中的方程： 在直角坐：下，曲方程的左端，则多式设线给标为设标变换T线变为项( ,)( , )x yF x y 也是二元二次多式， 它的每一系都可以用多式的系和坐的系表出。项个数项数标变换数11121112111

59、22112212212221222,aaaaaaaaIIaaaaI =I 先在移轴下证明，在移轴下，二次曲线的二次项系数不变证，故：而111212311112221222111213111322233122223113332333132333(1),.aaI IIKIaaIaaaaaaaaaIaaaKaaaaaaa 二次曲线在直角坐标变换下, 有三个不变量,与一个半不变量：:，定理1定理定理1 1证明续证明续220010000000000001100()22( , )( ,) 22220yxKxyKKyx yxx yF x yF x yxyy xx yx y 而通过移轴，变为,而这时恒，故(1)。1112131112131222231222233110120131202202313023033132333aaaaaaaaaaaaIa xa yaa xa yaa xa yaaaa。1112131112110120133122223