电磁感应定律的综合应用

1、、如图、如图12-3-512-3-5所示，边长为所示，边长为a a的正方形闭合线框的正方形闭合线框ABCDABCD在匀在匀强磁场中绕强磁场中绕ABAB边匀速转动边匀速转动, ,磁感应强度为磁感应强度为B,B,初始时刻线框所在面初始时刻线框所在面与磁感线垂直与磁感线垂直, ,经过时间经过时间t t转过转过1201200 0角，求角，求:(1):(1)线框内感应电动势线框内感应电动势在在t t时间内的平均值；时间内的平均值；(2)(2)转过转过1201200 0角时角时, ,感应电动势的瞬时值感应电动势的瞬时值. . 1)1)设初始时刻线框朝纸外的一面为设初始时刻线框朝纸外的一面为正面时正面时,

2、,此时刻磁通量磁能量此时刻磁通量磁能量1 1=B=Ba a2 2, ,磁感线从磁感线从正面穿入正面穿入,t,t时刻后时刻后, , 磁通量磁通量2 2=(1/2)B=(1/2)Ba a2 2, , 且且此时刻磁通量的变化量应当是此时刻磁通量的变化量应当是(1 1+2 2),),而不而不是是(1 1-2 2),(),(学生可比较一下转过学生可比较一下转过12001200与转过与转过600600时的区别时的区别). E= ). E= /t t求出平均电动势：求出平均电动势：E=3BE=3Ba a/2t/2t； (2)(2)计算感应电动势的瞬时值要用公式计算感应电动势的瞬时值要用公式E=BLvsina

3、E=BLvsina，且，且a=120a=1200 0、v v2 2=2a/(3t);E=a=2a/(3t);E=a2 2/(3t)/(3t)；图12-3-5如图如图12-3-612-3-6所示，导线全部为裸导线，半径为所示，导线全部为裸导线，半径为r r的圆内有的圆内有垂直于圆平面的匀强磁场，磁感应强度为垂直于圆平面的匀强磁场，磁感应强度为B B，一根长度大于，一根长度大于2r2r的导的导线线MNMN以速度以速度v v在圆环上无摩擦地自左匀速滑动到右端在圆环上无摩擦地自左匀速滑动到右端. .电路的固定电路的固定电阻为电阻为R R，其余电阻不计，试求，其余电阻不计，试求MNMN从圆环的左端滑动到

4、右端的过程从圆环的左端滑动到右端的过程中电阻中电阻R R上的电流的平均值及通过的电量。上的电流的平均值及通过的电量。图12-3-6本题粗看是本题粗看是MNMN在切割磁感线，属在切割磁感线，属于于“切割切割”类的问题，要用类的问题，要用E=BLvE=BLv, ,但切割但切割杆杆MNMN的有效长度在不断变化，用公式的有效长度在不断变化，用公式E=BLvE=BLv难以求得平均值难以求得平均值. .事实上，回路中的事实上，回路中的磁通量在不断变化，平均感应电动势可由磁通量在不断变化，平均感应电动势可由磁通量的变化来求磁通量的变化来求. . 由于由于=B=BS=BrS=Br；t=2r/v;t=2r/v;

5、由法拉第电磁感应定律，由法拉第电磁感应定律，E=E=/t =Brv/2,t =Brv/2,所以所以I=E/R=Brv/2R,I=E/R=Brv/2R,从而，通过的电量：从而，通过的电量：q=Brq=Br2 2/R/R。如图如图12-3-712-3-7所示，所示，abcdabcd是一个固定的是一个固定的U U型金属框架，型金属框架，abab和和cdcd边都很长，边都很长，bcbc边长为边长为l l，框架的电阻可不计，框架的电阻可不计，efef是放置在框架是放置在框架上与上与bcbc平行的导体杆，它可在框架上自由滑动平行的导体杆，它可在框架上自由滑动( (无摩擦无摩擦) )，它的电，它的电阻为阻为

6、R.R.现沿垂直于框架平面的方向加一恒定的匀强磁场，磁感应现沿垂直于框架平面的方向加一恒定的匀强磁场，磁感应强度为强度为B B，方向垂直于纸面向里，已知以恒力，方向垂直于纸面向里，已知以恒力F F向右拉导体向右拉导体efef时，时，导体杆最后匀速滑动，求匀速滑动时的速度。导体杆最后匀速滑动，求匀速滑动时的速度。图12-3-7【解析【解析】当导体杆向右滑动时，通过回路当导体杆向右滑动时，通过回路efcbefcb的磁通量将发生变化，从而在回路中产生感应的磁通量将发生变化，从而在回路中产生感应电动势电动势E E和感应电流和感应电流I.I.设导体杆做匀速运动时设导体杆做匀速运动时的速度为的速度为v v

7、，根据法拉第电磁感应定律和欧姆，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知：定律可知：E=BlvE=Blv、I=E/R;I=E/R;而磁场对导体杆的而磁场对导体杆的作用力为作用力为F F安安=BlI=BlI, ,且有且有F=FF=F安安，解得匀速滑动时，解得匀速滑动时的速度为：的速度为：v=FR/Bv=FR/B2 2l l2 2. .如图如图12-3-812-3-8所示所示, ,长都为长都为l l的金属棒的金属棒OAOA、OBOB和圆弧组成闭和圆弧组成闭合回路，磁感应强度为合回路，磁感应强度为B B的匀强磁场和回路所在平面垂直，保持的匀强磁场和回路所在平面垂直，保持棒棒OAOA和圆弧不动，将棒和圆弧

8、不动，将棒OBOB绕绕O O点以角速度点以角速度顺时针转动，顺时针转动，B B端一直端一直与圆弧接触，求与圆弧接触，求OBOB棒上感应动势的大小；棒上感应动势的大小；【解析解析】方法一：】方法一：在在t t时间内时间内OBOB扫过的面积扫过的面积s= Rs= R2 2t/2;t/2;回路中磁通量的变化量回路中磁通量的变化量 =B=Bs s, ,再由再由E= E= / /t t求出感应电动势求出感应电动势:E=B :E=B RR2 2/2/2；可以将可以将OBOB看做是切割磁感线运动，切割速度为其中点速看做是切割磁感线运动，切割速度为其中点速度度v=l/2v=l/2，则有，则有E=BlvE=Bl

9、v=Bl=Bl2 2/2/2，可见此方法更为简单；因此在，可见此方法更为简单；因此在此题中将圆弧和此题中将圆弧和OAOA去掉后的计算去掉后的计算OBOB产生的感应电动势的结果是一产生的感应电动势的结果是一样的，只不过此种情况下无感应电流样的，只不过此种情况下无感应电流. .图12-3-8 问题的处理思路问题的处理思路1 1、确定电源、确定电源: :首先判断产生电磁感应现象的那一首先判断产生电磁感应现象的那一部分导体部分导体( (电源电源),),其次选择电磁感应定律的相应其次选择电磁感应定律的相应表达形式求感应电动势的大小表达形式求感应电动势的大小, ,利用右手定则或利用右手定则或楞次定律判断电

10、流方向楞次定律判断电流方向. .2 2、分析电路结构、分析电路结构, ,画等效电路图画等效电路图. .3 3、利用电路规律求解、利用电路规律求解, ,主要有欧姆定律，串并联主要有欧姆定律，串并联规律等规律等. .如图所示，平行导轨置于磁感应强度为如图所示，平行导轨置于磁感应强度为B B的匀强的匀强磁场中（方向向里），间距为磁场中（方向向里），间距为L L，左端电阻为，左端电阻为R R，其余，其余电电阻不计，导轨右端接一电容为阻不计，导轨右端接一电容为C C的电容器。现有一长的电容器。现有一长2L2L的金属棒的金属棒abab放在导轨上，放在导轨上，abab以以a a为轴顺时针转过为轴顺时针转过9

11、090的的过程中，通过过程中，通过R R的电量为多少？的电量为多少？ 分析分析: :要注意电路结构的分析及金属要注意电路结构的分析及金属棒切割过程的分析棒切割过程的分析. .CRabab沿轨道滑动的过程中沿轨道滑动的过程中, ,棒上电棒上电源电动势不断增大源电动势不断增大, ,通过通过R R的电流不断的电流不断增大增大, ,电容器不断被充电电容器不断被充电; ;当棒即将脱当棒即将脱离轨道时离轨道时,R,R上电流达到最大上电流达到最大,C,C被充电被充电量同时也达到最大量同时也达到最大. .当棒离开轨时当棒离开轨时,C,C放电放电, ,所有电荷通过所有电荷通过R R。(1)(1)设设abab棒以

12、棒以a a为轴旋转到为轴旋转到b b端刚脱离导轨的过程中端刚脱离导轨的过程中, ,通过通过R R的电量为的电量为Q Q1 1根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律得定律得: :tSBtEtRSBREI223321LLLS由电流定义由电流定义I=Q/tI=Q/t得得: :RBLQ2321在这一过程中电容器充电的总电量在这一过程中电容器充电的总电量Q=CUQ=CUm m, ,m m为为abab棒在转棒在转动过程中产生的感应电动势的最大值。即动过程中产生的感应电动势的最大值。即22)221(2BLLLBEm解得解得: :CBLQ222（2 2）当）当abab

13、棒脱离导轨后棒脱离导轨后C C对对R R放电放电, ,通过通过R R的电量为的电量为Q Q2 2, ,所以所以整个过程中通过整个过程中通过R R的总电量为：的总电量为：Q=QQ=Q1 1+Q+Q2 2)223(2CRBLQ半径为半径为a a的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为B=0.2TB=0.2T，磁场方向垂直纸面向里，半径为，磁场方向垂直纸面向里，半径为b b的金属圆环的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中a=0.4ma=0.4m，b=0.6mb=0.6m，金属环上分别接有灯，金属环上分别接有灯L L1 1、L

14、 L2 2，两灯的电阻为，两灯的电阻为R=2R=2，一金属棒，一金属棒MNMN与金属环接触良好，棒与环的电阻与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计均忽略不计 （1 1）若棒以）若棒以v v0 0=5m/s=5m/s的速率在环上向右匀的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径速滑动，求棒滑过圆环直径OOOO的瞬时（如图）的瞬时（如图）MNMN中中的电动势和流过灯的电动势和流过灯L L1 1的电流。（的电流。（2 2）撤去中间的金属棒）撤去中间的金属棒MNMN，将右面的半圆环，将右面的半圆环OLOL2 2OO以以OOOO为为轴向上翻轴向上翻9090，若此时磁场随时间均，若此时磁场随时间均匀变化，

15、其变化率为匀变化，其变化率为B/tB/t=4T/s=4T/s，求求L L1 1的功率。的功率。转转（1 1）棒滑过圆环直径）棒滑过圆环直径OOOO 的瞬的瞬时时,MN,MN中的电动势如图（中的电动势如图（1 1）E E1 1=B=B2 2avav=0.2=0.20.80.85=0.8V 5=0.8V 图（1）等效电路如图（等效电路如图（1 1）所示，流过灯）所示，流过灯L L1 1的的电流电流I I1 1=E=E1 1/R=0.8/2=0.4A /R=0.8/2=0.4A L L1 1的功率的功率P P1 1=(=(E E2 2/2)/2)2 2/ /R R=1.28=1.2810102 2W

16、 W图（2）（2 2）撤去中间的金属棒）撤去中间的金属棒MNMN, ,将右面的半将右面的半圆环圆环OLOL2 2OO以以OOOO为轴向上翻转为轴向上翻转9090, ,半圆半圆环环OLOL1 1OO中产生感应电动势中产生感应电动势, ,相当于电源相当于电源, ,灯灯L L2 2为外电路为外电路, ,等效电路如图（等效电路如图（2 2）所示）所示, ,感应电动势：感应电动势：E E2 2=/t t=0.5=0.5a a2 2B B/t t=0.32V =0.32V 这类问题覆盖面广这类问题覆盖面广, ,题型也多种多样题型也多种多样; ;但解决但解决这类问题的关键在于通过运动状态的分析来寻找这类问题

17、的关键在于通过运动状态的分析来寻找过程中的临界状态，如速度、加速度取最大值或过程中的临界状态，如速度、加速度取最大值或最小值的条件等。基本思路是最小值的条件等。基本思路是: : F=BIL临界状态临界状态v与与a方向关系方向关系运动状态的分析运动状态的分析a a变化情况变化情况F=ma合外力合外力运动导体所运动导体所受的安培力受的安培力感应电流感应电流确定电源（确定电源（E E，r r）rREI如图所示如图所示, ,ABAB、CDCD是两根足够长的固定平行金属导是两根足够长的固定平行金属导轨轨, ,两导轨间的距离为两导轨间的距离为L L, ,导轨平面与水平面的夹角为导轨平面与水平面的夹角为,

18、,在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场磁场, ,磁感应强度为磁感应强度为B B, ,在导轨的在导轨的 ACAC端连接一个阻值为端连接一个阻值为R R的电阻的电阻, ,一根质量为一根质量为m m、垂直于导轨放置的金属棒、垂直于导轨放置的金属棒abab, ,从从静止开始沿导轨下滑静止开始沿导轨下滑, ,求此过程中求此过程中abab棒的最大速度棒的最大速度. .已知已知abab与导轨间的动摩擦因数为与导轨间的动摩擦因数为, ,导轨和金属棒的电阻都导轨和金属棒的电阻都不计。不计。abab沿导轨下滑过程中受四个力作沿导轨下滑过程中受四个力作

19、用，即重力用，即重力mgmg, ,支持力支持力F FN N 、摩擦力、摩擦力F Ff f和和安培力安培力F F安安，如图所示，如图所示，abab由静止开始下由静止开始下滑后滑后, ,将是：将是： (为增大符号为增大符号),),所以这是个变加速过程所以这是个变加速过程, ,当加速度减到当加速度减到a a=0=0时时, ,其速度即增到最大其速度即增到最大v v= =v vm m, ,此时必将处于平衡状态此时必将处于平衡状态, ,以后将以以后将以v vm m匀速下滑匀速下滑 aFIEv安abab下滑时因切割磁感线下滑时因切割磁感线, ,要产生感应电动势要产生感应电动势, ,根据电根据电磁感应定律磁感

20、应定律:E=BLv:E=BLv 由由可得：可得： RvLBF22安以以abab为研究对象，根据牛顿第二定律应有：为研究对象，根据牛顿第二定律应有：RvLB22mgmgsinsinmgmgcoscos- - = =mama闭合电路闭合电路AC baAC ba中将产生感应电流中将产生感应电流, ,根据闭合电路欧根据闭合电路欧姆定律姆定律:I=E/R:I=E/R 据右手定则可判定感应电流方向为据右手定则可判定感应电流方向为aACaAC ba ba, ,再据左再据左手定则判断它受的安培力手定则判断它受的安培力F F安安方向如图示方向如图示, ,其大小为其大小为: :F F安安=BIL =BIL 取平行

21、和垂直导轨的两个方向对取平行和垂直导轨的两个方向对abab所受的力进行正所受的力进行正交分解交分解, ,应有应有:F:FN N= mgcos= mgcos F Ff f=mgcos=mgcos由由式可解得：式可解得： 22cossinLBRmgvm注意注意: :(1)(1)电磁感应中的动态分析电磁感应中的动态分析, ,是处理电磁感应问题的关键是处理电磁感应问题的关键, ,要学会从动态分析的过程中来选择是从动力学方面要学会从动态分析的过程中来选择是从动力学方面, ,还还是从能量、动量方面来解决问题。是从能量、动量方面来解决问题。(2)(2)在分析运动导体的受力时在分析运动导体的受力时, ,常画出

22、平面示意图和物体常画出平面示意图和物体受力图。受力图。abab做加速度减小的变加速运动，当做加速度减小的变加速运动，当a=0a=0时速度达最时速度达最大因此，大因此，abab达到达到v vm m时应有：时应有：mgsinmgsinmgcosmgcos- - =0 =0 RvLB22 分析问题时，应当牢牢抓住能量守恒这一基分析问题时，应当牢牢抓住能量守恒这一基本规律本规律, ,分析清楚有哪些力做功分析清楚有哪些力做功, ,就可知道有哪些就可知道有哪些形式的能量参与了相互转化形式的能量参与了相互转化, ,如有摩擦力做功如有摩擦力做功, ,必必然有内能出现然有内能出现; ;重力做功重力做功, ,就可

23、能有机械能参与转就可能有机械能参与转化化; ;安培力做负功就将其它形式能转化为电能安培力做负功就将其它形式能转化为电能, ,做做正功将电能转化为其它形式的能；然后利用能量正功将电能转化为其它形式的能；然后利用能量守恒列出方程求解守恒列出方程求解. .图中图中a a1 1b b1 1c c1 1d d1 1和和a a2 2b b2 2c c2 2d d2 2为在同一竖直平面内的金属导轨为在同一竖直平面内的金属导轨, ,处处在磁感应强度为在磁感应强度为B B的匀强磁场中的匀强磁场中, ,磁场方向垂直于导轨所在平面磁场方向垂直于导轨所在平面（纸面）向里（纸面）向里. .导轨的导轨的a a1 1b b1 1段与段与a a2 2b b2 2段是竖直的段是竖直的, ,距离为距离为l l1 1; ;c c1 1d d1 1段与段与c c2 2d d2 2段也是竖直的段也是竖直的, ,距离为距离为l l2 2. .x x1 1 y y1 1与与x x2 2 y y2 2为两根用不可伸长的绝为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆缘轻线相连的金属细杆, ,质量分别为质量分别为m m1 1和和m m2 2, ,它们都垂直于导轨并它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触与导轨保持光滑接触. .两杆与导轨构成的回路