全等三角形辅助线做法讲义

1、 ABC 中AD是BC边中线【方法精讲】常用辅助线添加方法E方式1:延长AD到E,使 DE=AD连接BE方式2:间接倍长作 CFAD于 F,作BE!AD的延长线于E连接BEAC延长MD!J N,使 DN=MD连接CD全等三角形问题中常见的辅助线的作法巧添辅助线一一一倍长中线【夯实基础】例：ABC中，AD是BAC的平分线，且BD=CD求证AB=AC方法1:作DHAB于E,彳DF=1AC于F,证明二次全等方法2:辅助线同上，利用面积方法3:倍长中线AD【经典例题】例1:ABCt,AB=5AC=3求中线AD的取值范围例2:已知在ABO,AB=ACD在AB上，E在AC的延长线上,于F,且DF=EF求证

2、：BD=CE例3:已知在ABC,AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC延长BE交AC于F,求证:AAF=EF提示：倍长AD至G,连接BG证明ABD冬ACDA三角形BEG等腰三角形例4:已知：如图，在ABC中，ABAC,DE在BC上，且DE=EC过D作DF/BA交AE于点F,DF=AC.求证：AE平分BAC提示:方法1:倍长AE至G,连结DG方法2:倍长FE至H,连结CH例5:已知CD=AB/BDAWBADAE是ABD勺中线,求证：/C=/BAE提示：倍长AE至F,连结DF证明AAB昭AFDE(SAS进而证明AAD/AADC(SAS【融会贯通】1、在四边形ABCLfr,AB/DCE为

3、BC边的中点，/BAEWEAF，AF与DC的延长线相交于点F试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长AEDF交于G证明AB=GCAF=GF所以AB=AF+FC2、如图，AD为ABC的中线，DE平分交AC于F.求证：BECFEFBDA交AB于E,DF平分ADCA3、已知：如图，ABCt,C=90交CMf D,交BC于T,过D作DE 提示：过T作TNJ AB于NCM AB于 M,.AAT平分 BAC截长补短法BTN思路：当已知引辅 E口 , 助线或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时:第14题图而/AC乐 / F+ / FDC. ./F= /FDC. .CD= CF而

4、AF= AC CF.AF= AC CD.AB= AC CD证法二：（截长法）在AB上截取AE= AG 连结DE在 4AED和 AACD以土启二如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法:延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。例1.如图，ABC中，/AC由2/B,/1=/2。求证：AB=AC+CD证法一：（补短法）延长AC至点F,使得AF=AB在4ABD和zAFD中AB=AF；Zl=Z2AD=AD/口十/昭.1.ZB = /RDR：.SB = ED= DC：-AB = A + EB= AC+D

5、CAEAC-Zl=Z2AD=AD.AE*AACD(SAS.DE=DC,/A邑I)=乙CT/ZLAED=Zj?-hZEDB?ZACB=2Z5例2.如图，在RtzXABC中，AB=AC,ZBAC=90,/1=/2,CELBD交BD的延长线于E,证明：BD=2CE分析：这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题，可构造线段2CE，转化为证两CE=FS=-C线段相等的问题，分别延长BACE交于F,证ABE/ABEC得2，再证AAB*AACF得BD=CR1、如图，ABC中，AB=2ACAD平分BAC,且AD=BD求证:CD!AC2、如图，AC/BDEA,EB分别平分BCAB,/DBACDS点E,求证

6、;AB=AC+BD3、如图，已知在八ABC内， BAC 600BG CA,并且AP, Bg另1J是 BACABC的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCm，BOBA,AD=CRBD平分ABCAABQECF d/、CC 400 , P, Q分别在BC求证： A C 18005 .已知：如图，ABC中，AD平分/BAC若人C=2ZB,证明:AB=AC+CD.6 .已知：如图，ABC中，/A=60,/B与/C的平分线BE,CF交于点I,求证：BC=BF+CE.7 .已知：如图，在正方形ABCm，E为AD上一点，BF平分/CBEiCD于F,求证：BE=CF+AE.与角平分线有关

7、的辅助线角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。(1)截取构全等如图1-2,ABAC3 .已知：如图2-5,/BACWCAD,ABADCE!AB,1AE=2(AB+AD.求证：/D+/B=180。4 .已知：如图2-6,在正方形ABCDfr,E为CD的中点，F为BC上的点，/FAEqDAE求证：AF=AD

8、+CF例1.已知：如图2CD! AB,垂足为D, AE平1FH2 证：BD=2CE-7，在 RtAABO, /ACB=90分/CAB交CD于F,过F作分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。F例3.已知：如图3-3在4ABC中，ADAE分别/BAC的内、外角平分线，过顶点B作BN垂直AD,交AD的延长线于F,连结FC并延长交AE于M求证：AM=ME1111而有BF2 2 2 2已知，如图，/C=2Z A, AC=2BC 求证:分析：由ARAE是/BAC内外角平分线，可得EA!AF,从B/qB图4-1图4-2AC=AE+CDD是直角

9、三角形图3-45 .已知：如图，AB=2AC/1=/2,DA=DB求证：DCLAC6 .已知CEAD是4ABC的角平分线，/B=60,求证:7 .已知：如图在ABC中，/A=90,AB=ACBD是/ABC的平分线，求证：BC=AB+AD(5)、且垂直一线段，应想到、角平分线等腰三角形的中线例6.如图7,AABC是等腰直角三角形，/BAC=90,BD平分/ABC交AC于点D,CE垂直于BR交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE证明：延长BACE交于点F,在ABEF和ABEC中，/1=/2,BE=BE/BEFWBEC=90,ABE/ABECEF=EC从而CF=2CE又/1+/F=/3+/f=90。,故/1=/3。在AAB/口；AACF中，./1=/3,AB=AC/BADWCAF=90,AAB四AACFBD=CF.BD=2CE注：此例中BE是等腰ABCFfi勺底边CF的中线(六)、借助角平分线造全等1:如图，已知在ABC中，ZB=60,ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证：OE=OD2:(06郑州市中考题)如图，ABC中，AD平分/BACDGLBC且平分BGDELAB于E,DFLAC于F.(1)说明BE=CF勺理由；(2)如果AB=a,AC由，求AE、BE的长.总结口诀：图中有角