Matlab求解线性方程组、非线性方程组

1、求解线性方程组 solve ， linsolve例：A=5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1; %矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格B=3;1;1;0X=zeros(4,1);% 建立一个 4 元列向量X=linsolve(A,B)diff (fun , var, n)：对表达式fun中的变量var求n阶导数。例如： F=sym('u(x,y)*v(x,y)' ) ; %sym ()用来定义一个符号表达式 diff(F); %matlab 区分大小写pretty(ans) %pretty ()：用习惯书写方式显示变量； ans 是答案表达式

2、 非线性方程求解fsolve(fun,x0,options)其中 fun 为待解方程或方程组的文件名；x0 位求解方程的初始向量或矩阵；option 为设置命令参数建立文件 fun.m ：function y=fun(x) y=x(1)-0.5*sin(x(1)-0.3*cos(x(2), .x(2) - 0.5*cos(x(1)+0.3*sin(x(2); >>clear;x0=0.1,0.1;fsolve(fun,x0,optimset('fsolve')注：.为续行符m 文件必须以 function 为文件头，调用符为 ；文件名必须与定义的函数名相同； fso

3、lve ()主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。Matlab 求解线性方程组AX=B 或 XA=B在 MATLAB 中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“和/ ”“”。如：X=AB表示求矩阵方程AX = B的解；X= B/A表示矩阵方程XA=B的解。对方程组X = AB，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数 等于矩阵A的列数，方程X二B/A同理。如果矩阵A不是方阵，其维数是mK n,则有：m二n恰定方程，求解精确解；m>n 超定方程，寻求最小二乘解；m<n 不定方程，寻求基本解，其中至多有 m 个非零元素。针对不同的情况， MA

4、TLAB 将采用不同的算法来求解。一恰定方程组恰定方程组由 n 个未知数的 n 个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式 可用矩阵，向量写成如下形式：Ax=b 其中 A 是方阵， b 是一个列向量； 在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有：（1）利用 cramer 公式来求解法；（2）利用矩阵求逆解法，即 x=A-1b ；（ 3）利用 gaussian 消去法；（ 4）利用 lu 法求解。一般来说，对维数不高， 条件数不大的矩阵， 上面四种解法所得的结果差别不大。 前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。 MATLAB 中， 出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在

5、lu 分解的基础上进行。 在 MATLAB 中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式： x=Ab 。 在 MATLAB 的指令解释器在确认变量 A 非奇异后， 就对它进行 lu 分解，并最终 给出解x;若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。 如果矩阵 A 是奇异的，则 Ax=b 的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵 A 接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现 A是奇异的，则计算结果为 inf,并且给出警告信息；如果矩阵 A是病态矩阵，也会给出警告信息。 注意：在求解方程时，尽量不要用 inv(A)*b 命令，而应采用 Ab 的解法。因为后 者的计算

6、速度比前者快、精度高，尤其当矩阵 A 的维数比较大时。另外，除法 命令的适用行较强，对于非方阵 A，也能给出最小二乘解。二超定方程组对于方程组Ax=b，A为nXm矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精 确解，此时称方程组为超定方程组。 线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲 线拟合。对于超定方程，在 MATLAB 中，利用左除命令( x=Ab )来寻求它的最 小二乘解；还可以用广义逆来求，即 x=pinv(A), 所得的解不一定满足 Ax=b， x 只是最小二乘意义上的解。 左除的方法是建立在奇异值分解基础之上， 由此获得 的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行 hous

7、eholder 变换的基础 上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；【例 7】求解超定方程组A=2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13A=2 -1 33 1 -54 -1 11 3 -13b = 3 0 3 -6'；rank(A)ans=3x1=Ab x1=1.0000 2.00001.0000x2=pinv(A)*bx2=1.00002.00001.0000A*x1-bans=1.0e-014-0.0888-0.0888-0.13320可见 x1 并不是方程 Ax=b 的精确解，用 x2=pinv(A)*b 所得的解与 x1 相同。 三欠定方程组 欠定方程组未

8、知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。 MATLAB 将寻求 一个基本解，其中最多只能有 m 个非零元素。特解由列主元 qr 分解求得。【例 8】解欠定方程组A = 1-2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5A=1 -2 1 11 -2 1 -11 -2 1 -11 -2 1 5b=1 -1 5 'x1=AbWarning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015 x1= 0-0.000001.0000x2=pinv(A)*bx2=0-0.00000.00001.0000四方程组的非负最小二乘解在某些条件下， 所求的线性方程组的解出现负数

9、是没有意义的。 虽然方程组可以 得到精确解， 但却不能取负值解。 在这种情况下， 其非负最小二乘解比方程的精 确解更有意义。在 MATLAB 中，求非负最小二乘解常用函数 nnls ，其调用格式 为：( 1)X=nnls(A,b) 返回方程 Ax=b 的最小二乘解， 方程的求解过程被限制在 x 的 条件下；(2)X=nnls(A,b,TOL) 指定误差 TOL 来求解， TOL 的默认值为 TOL=max(size(A)*norm(A,1)*eps ，矩阵的 1 范数越大，求解的误差越大；(3) X,W=nnls(A,b)当 x(i)=O 时，w(i)<0 ；当下 x(i)>0 时，w(i)O,同时返回一 个双向量 w。【例 9】求方程组的非负最小二乘解A=3.4336 -0.5238 0.6710-0.5238 3.2833 -0.73020.6710 -0.7302 4.0261;b=-1.000 1.5000 2.5000;