电动力学三一(矢势及其微分方程)

1、1第三章第三章 静磁场静磁场恒定电流所激发的静磁场恒定电流所激发的静磁场234567主要内容主要内容超导体的电磁性质超导体的电磁性质阿哈罗夫玻姆阿哈罗夫玻姆(Aharonov-Bohm)效应效应磁多极矩磁多极矩磁标势磁标势矢势及其微分方程矢势及其微分方程81 1 矢势及其微分方程矢势及其微分方程9在给定的传导电流附近可能存在一些磁在给定的传导电流附近可能存在一些磁性物质，在电流的磁场作用下，物质磁性物质，在电流的磁场作用下，物质磁化而出现磁化电流，它反过来又激发附化而出现磁化电流，它反过来又激发附加的磁场。磁化电流和磁场互相约制。加的磁场。磁化电流和磁场互相约制。与解决静电学问题一样，求与解决

2、静电学问题一样，求微分方程边值问题的解。微分方程边值问题的解。10恒定电流磁场的基本方程恒定电流磁场的基本方程J 0 BJ是自由电流密度。上两式结合物质的是自由电流密度。上两式结合物质的电磁性质方程是解磁场问题的基础电磁性质方程是解磁场问题的基础。1 1、矢势、矢势11l静电场是有源无旋场，电场线从正电静电场是有源无旋场，电场线从正电荷出发而止于负电荷，永不闭合，可以荷出发而止于负电荷，永不闭合，可以引入标势来描述。引入标势来描述。l静磁场则是有旋无源场，磁感应线总静磁场则是有旋无源场，磁感应线总是闭合曲线，一般可以引入另一个矢量是闭合曲线，一般可以引入另一个矢量来描述。来描述。由于特性上的显

3、著差异，描述磁场和电由于特性上的显著差异，描述磁场和电场的方法就有所不同。场的方法就有所不同。120 BAB 则则B可表为另一矢量的旋度可表为另一矢量的旋度若若根据矢量分析的定理根据矢量分析的定理A称为磁称为磁场的矢势场的矢势13矢势矢势A A的意义：的意义：. LSSl dASdASdB通过曲面通过曲面S的磁通量的磁通量 把把B对任一个以回路对任一个以回路L为边界的曲面为边界的曲面S积分积分14设设S1和和S2是两是两个有共同边界个有共同边界L的曲面，则的曲面，则.21 SSSdBSdB dS1 dS2 L 15这正是这正是B的无源性的表示。的无源性的表示。因为是无源的，在因为是无源的，在S

4、1和和S2所包围的区域内没有磁感所包围的区域内没有磁感应线发出，也没有磁感应应线发出，也没有磁感应线终止，线终止，B线连续的通过线连续的通过该区域，因而通过曲面该区域，因而通过曲面S1的磁通量必须等于通过曲的磁通量必须等于通过曲面面S2的磁通量。这磁通量的磁通量。这磁通量由矢势由矢势A对对S1或或S2的边界的边界的环量表示。的环量表示。16因此，矢势因此，矢势A A的物理意义是它沿任一闭的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。的任一曲面的磁通量。只有只有A A的环量才的环量才有物理意义，而每点上的值没有直接有物理意义，而每点上的

5、值没有直接的物理意义。的物理意义。17, 00BBBBzyx 其中其中B0为常量。为常量。例：设有沿例：设有沿 Z 轴方向的均匀磁场轴方向的均匀磁场18由定义式由定义式0 , 0 xAzAzAyAByAxAzxyzxy19有解有解 , 00y BAAAxyz 另一解另一解xBAAAyxz0 , 0 20因为任意函数因为任意函数 的梯度和旋度的梯度和旋度恒为零，故有恒为零，故有.)(AA 即即A+与与A对应于同一个磁场对应于同一个磁场B。A的这种的这种任意性是由于只有任意性是由于只有A的环量才有物理意义，的环量才有物理意义，而每点上的而每点上的A本身没有直接的物理意义。本身没有直接的物理意义。2

6、12223由由A的这种任意性，为了方便，我的这种任意性，为了方便，我们可以对它加上一定的限制条件即们可以对它加上一定的限制条件即辅助条件辅助条件0 A对于上式总可以找到一个对于上式总可以找到一个A适合适合24证明：证明： 0 uA设有某一解不满足上式设有某一解不满足上式另取一解另取一解 AA25AA的散度为的散度为 22 uAA取取 为泊松方程为泊松方程u 2的一个解，就得的一个解，就得证。对证。对A A所加的所加的辅助条件称为规辅助条件称为规范条件。范条件。262 2、矢势微分方程、矢势微分方程在均匀线性介质内。把在均匀线性介质内。把B= H和和 B=A代入式代入式H=J ，得矢势，得矢势A

7、的微的微分方程分方程JA )(27由矢量分析公式由矢量分析公式.)()(2AAA 若取若取A满足规范条件满足规范条件A=0 ，得矢势的微分方程得矢势的微分方程0)( 2 AJA 28A的每个直角分量的每个直角分量Ai满足泊松方程满足泊松方程)3 , 2 , 1( , 2 iJAii 形式与静电场形式与静电场 的方程相同的方程相同 229对比静电场的解得矢势方程的特解对比静电场的解得矢势方程的特解.)(4)( rdVxJxA 式中式中x 是源点是源点, x为场为场点，点，r为由为由x到到x的距离。的距离。上式也是第一章中由毕上式也是第一章中由毕奥萨伐尔定律导出的奥萨伐尔定律导出的公式公式从毕奥萨

8、伐尔定律从毕奥萨伐尔定律可以证明上式满足可以证明上式满足规范条件，因此，规范条件，因此，该式确实是微分方该式确实是微分方程的解。程的解。30 34 )()1(4 )(4VdrrJVdxJrrVdxJAB 把磁场的散度和旋度作为基本规律，从把磁场的散度和旋度作为基本规律，从微分方程出发引入矢势微分方程出发引入矢势A，由，由A的方程获的方程获得特解，即可求得得特解，即可求得B。31过渡到线电流情形，过渡到线电流情形，设设I为导线上的电流为导线上的电流强度，作代换强度，作代换JdVIdl，得，得 34rrlIdB 这就是毕奥萨伐尔定律。这就是毕奥萨伐尔定律。323 3、矢势边值关系、矢势边值关系 当

9、全空间的电流分布当全空间的电流分布J给定时，可给定时，可以计算磁场。对于电流和磁场互以计算磁场。对于电流和磁场互相制约的问题，则必须解矢势微相制约的问题，则必须解矢势微分方程的边值问题。分方程的边值问题。 330)(12 BBn )(12HHn磁场边值关系可以化为矢势磁场边值关系可以化为矢势A A的边值的边值关系，对于非铁磁介质，关系，对于非铁磁介质， 矢势的边矢势的边值关系为值关系为0)(12 AAn在两介质分界在两介质分界面上磁场的边面上磁场的边值关系为值关系为 )11(1122AAn34在分界面两侧取在分界面两侧取一狭长回路，计一狭长回路，计算算A A对此狭长回路对此狭长回路的积分。回路

10、短的积分。回路短边长度趋于零边长度趋于零 上述边值关系式也可以用较简单的形式代替。上述边值关系式也可以用较简单的形式代替。35lAAl dAtt )(12由于回路面积趋于零，有由于回路面积趋于零，有 0 SdBl dA因此因此ttAA12 36若取规范若取规范A=0 ，可得，可得)0( .12 AAAnn即在两介质分即在两介质分界面上，矢势界面上，矢势A是连续的。是连续的。12AA 所以所以374 4、静磁场的能量、静磁场的能量.21 dVHBW在静磁场中，可以用矢势和电流表示总在静磁场中，可以用矢势和电流表示总能量。由能量。由B=A.)( )()()(JAHAHAHAHAHB 磁场的磁场的总

11、能量总能量38则则和静电情形一样，此式仅对总能量有意义，和静电情形一样，此式仅对总能量有意义，不能把不能把A J/2看作能量密度，因为我们知看作能量密度，因为我们知道能量分布于磁场内，而不仅仅存在于电流道能量分布于磁场内，而不仅仅存在于电流分布区域内。分布区域内。 dVJAdVJAHAdVHBW21 )(21 2139在上式中，矢势在上式中，矢势A是电流分布是电流分布J本身激本身激发的。如果我们要计算某电流分布发的。如果我们要计算某电流分布J在在给定外磁场中的相互作用能量，以给定外磁场中的相互作用能量，以Ae表示外磁场的矢势，表示外磁场的矢势，Je表示产生该外磁表示产生该外磁场的电流分布，则总

12、电流分布为场的电流分布，则总电流分布为J+Je，总磁场矢势为总磁场矢势为A+Ae。40 dVAJAJAJAJdVAAJJWeeeeee)(21 )()(21此式减去此式减去J和和Je分别单独存在时的能量之分别单独存在时的能量之后，得电流后，得电流J在外场中的相互作用能在外场中的相互作用能.)(21 dVAJAJWeei41由于由于 , )(4,)(4 rdVxJArdVxJAee 因此电流因此电流J在外场在外场Ae中的相互中的相互作用能量为作用能量为. dVAJWei42例例1 无穷长直导线无穷长直导线载电流载电流I，求磁场的矢，求磁场的矢势和磁感应强度。势和磁感应强度。43设设P P点到导线

13、的垂直距离点到导线的垂直距离为为R R, ,电流元电流元I Id dz z到到P P点的点的距离为距离为 22zR .422 zRdzIAz 积分是发散的。积分是发散的。计算两点的矢计算两点的矢势差值可以免势差值可以免除发散除发散 。解解.)(4)( rdVxJxA 利用利用得得45MM20222M0RzzRzzln4I)A(RA(R)lim0220ln2ln4RRIRRIAn4limMRMRMRMRIM 若取若取R0点的矢势为零，计算可得点的矢势为零，计算可得46取取A A的旋度得磁感应强度（柱坐标）的旋度得磁感应强度（柱坐标）.e2Iee2I e)R

14、Rln2I( )eRRln2I(ABzRz0z0 47例例2 半径为半径为a的导的导线圆环载电流线圆环载电流I ，求，求矢势和磁感应强度矢势和磁感应强度48rlIdxA4)(0解解线圈电流产生的线圈电流产生的矢势为矢势为49用球坐标用球坐标 (R, ) ，由对，由对称性可知称性可知A只有只有 分量，分量，A 只依赖于只依赖于R, ,而与而与 无关。无关。因此我们可以选定在因此我们可以选定在xz面面上的一点上的一点P来计算，在该点来计算，在该点上上A = Ay 。取。取y分量。由分量。由于于2222cossin2a 2a cos RaRxxRx-xrdadly 50 20220cossin2ac

15、os4),(RaRdIaRA则得则得上式的积分可用椭园积分表示。当上式的积分可用椭园积分表示。当 时，可以较简单的计算出近似结果。时，可以较简单的计算出近似结果。22sin2aRRa 51把根式对把根式对若我们要计算若我们要计算B(R, )到二级近似。则到二级近似。则A 需要算到三级项。需要算到三级项。 )/(cossin222aRRa 展开。在积分表达式中展开式的偶次项对展开。在积分表达式中展开式的偶次项对 积分为零，因此只需保留奇次项。积分为零，因此只需保留奇次项。52)(sin815)(sin4 )(cossin25 cossincos4),(2/7223332/3220322333322220aRaRaRRaIaaRaRaRRadaRIaRA 包括远场包括远场22sin2aRRa aR aR sin此式的适用范围是此式的适用范围是和近轴场和近轴场53我们计算近轴场。这种情况下用柱坐我们计算近轴场。这种情况下用柱坐标标( ( , , ,z),z) 较为方便。展开式实际上是较为方便。展开式实际上是对对)/(222az 222222222/ 52220)(815)(