全国2卷数学试卷与参考答案精选

1、2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学、选择题：此题共 12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项复合)2集合 A x , y x2 y2w3, x Z , y Z ，那么囚中元素的个数为A 9B 8C. 5D 43函数4.向量a b1，贝V a 2a bC. 2D. 05双曲线2 2xy-221 a 0 , b 0ab的离心力为3，那么其渐近线方程为A y b0的左、右焦点交点,A是C的左顶点，点_P在过A且斜率为卫的直线上,6F1F2P 120，那么叵的离心率为A .闫B .1C .1D.1234 PF1F2为等腰三角形,A.B .C .3424、填空题

2、，此题共 4小题，每题5分，共20 分.13. 曲线y 21 n x 1在点0, 0处的切线方程为x 2y 5 014. 假设可y满足约束条件 x 2y 3 0,那么|z x y |的最大值为 x 50的直线川与回交于可可两点。(1) 求T|的方程；(2) 求过点|A , B且与回的准线相切的圆的方程.AB 820. (12 分)如图，在三棱锥|P ABC|中，|AB BC 2岡,| PA PB PC AC 4|，叵|为XC的中点.(1) 证明：|P0 平面PABC;(2) 假设点M在棱 函上，且二面角|M PA C为莎|，求PC与平面I PAM I所成角的正弦值.21. 12 分x2f xe

3、ax函数(1) 假设|a 1，证明：当|x?0|时，f x 1 ；(2) 假设If x在0,只有一个零点，求回.二选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一局部计 分。22. 【选修4-4 :坐标系与参数方程】10分在直角坐标系xOy中，曲线|C的参数方程为x 2cos y 4si nx 1 lcosa y 2 I sin aI为参数.i求C和T|的直角坐标方程； 假设曲线c截直线百所得线段的中点坐标为，求旧的斜率.23. 【选修4-5 :不等式选讲】10分 设函数 f x 5 |x a |x 2 .1当|a 11时，求不等式| f X?0|的解集;2假

4、设If x 1，求叵的取值围.2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题123456789101112DABBAABCCACD12.解：PF2 2c,f 今,e 16 a 2c4、填空题I11I J13.口 14. 915.匚运16设母线长为a，sABs-a2 sinASB55a280,所以 OA2 a2 22 a2 40 2三、填空题3a1 3d15，所以d 2，所以an 2n 917解：1由S315可得:(2)sn (a1_an)n n2 8n,当 n 4时，Sn取最小值-16218.解：(1) y 30.4 13.5*19 226.1，y 99 17.5*9 256

5、.52对于模型 ，当年份为2021年时，y 30.4 13.5*17 199.1A对于模型，当年份为2021年时，y 99 17.5* 7 221.5比拟而言，的准确度高，误差较小，所以选择 y 4x2 22219解：(1) / F (1,0),设直线 y k(x 1)，联立k x (2k4)x k 0 y k(x 1)2k2 4为 X2, 2k ，x21|AB| x x228 k=1,所以直线方程x y 10(2)设AB的中点为N ( Xnn ),设圆心为M (a,b),所以圆的半径r=a+1Xn因为，所以MN的方程为y 1(x 3)2，即x y 50yNyiy22所以 |MN| (a-3)

6、2 (b-2)2 J(x a)2，由垂径定理:r2|MN|2AB| 2即：a 1 216 2( a 3)2解得：la 3或a 11所以圆的方程为：(x 3)2 (y 2)2 16 和(x 11)2 (y 6)2 14420.证明：连接BO，因为AB=BC，贝U BO丄AC，所以BO=2又因为在厶PAC中，PA=PC=4，所以PO丄AC,且PO 2肩，因为| p。2 OB2 PB2|, 所以PO丄BO,从而|PO |平面pABC；(2)以 OB 为 x 轴，以 bC 为 y 轴，以OP 为 z 轴，设 I BM BC |, B (2,0,0), C (0,2,0) A (0, -2,0) P (

7、0,0, 3 )，设 m (x,y,0),所以 BM (x 2,y,0),BC ( 2,2,0)，所以 |M (2-2 ,2 ,0)设平面PAC的法向量为n1 (1,0,0),设平面 MPA的法向量为n2 (X1,y1,Z1),PA (0,-2,-2 3),MA (2 -2,-2-2 ,0)3 321PAn20y2Z23MA0.3所以因为二面角|m pa cI为显，所以cos30m n2n-in2得设pc与平面ipam 所成角为ri,所以sinPC n2421 解：(1)当 a=1, f (x) ex x2, f (x) ex 2x, f (x) ex 2当 x In 2, f (x)单调递减

8、，x In 2, f (x)单调递增，所以 f (x) f (ln 2) 2 21n 2 0所以If (x) 在0,)是单调递增，所以 f (x)f(0)1(3)令 f (x)0x e2 ax0，令 g(x)x e一2xa , g (x)e(x 2)3x当x 2时，g (x)0,g (x)单调递减，x 2时，g (x)0,g(x)单调递增所以 g(x) g(2)mi2emin a42e当 a 时，g(x)min0, g(x)无零点42e当a 时，g(x)min0, g(x)只有一个零点42e za 一时，g(x)min 042 2一xy“22. ( 1)曲线C的直角坐标方程：一 1416直线L直角坐标方程：y tan (x 1) 22 2(2) 联立z 乂 1与x 1 lcosa416y 2 Isina2 2 2(4cossin ) t (8cos 4sin )t 8 0所以0得 8芈_犁_ 0, tan224cos s