人教版九年级数学下《第28章锐角三角函数》专项训练含答案

1、人教版九年级数学下第28章锐角三角函数专项训练含答案专训1“化斜为直”构造直角三角形的方法名师点金：锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，关于非直角三角形咨询题，要注意观看图形特点，恰当作辅助线，将其转化为直角三角形来解.无直角、无等角的三角形作高1 .建，在ABC中，已知BC=1+啊/B=60。/C=45,求Ay!（第1题）有直角、无三角形的图形延长某些边2 .“如图，在四边形ABCD中，AB=2,CD=1,/A=60,/D=/b/X四边形ABCD的面积.（第2题）有三角函数值不能直截了当利用时作垂线sin /BCD =3 .如图，在ABC中，点D为AB

2、的中点，DCXAC,3,求A的值.（第3题）E.决，求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形14 .在ABC中，AB=AC=5,BC=8.若/BPC=/BAC,求tan/BpCM值.（第4题）专训2巧用构造法求几种专门角的三角函数值名师点金：关于30、45、60角的三角函数值，我们都可通过定义利用专门直角三角形三边的关系进行运算；而在实际应用中，我们常常碰到像1522.5、67.5等一些专门角的三角函数值的运算，同样我们也能够构造有关图形，利用数形结合思想进行巧算.巧构造15与30角的关系白图形运算15角的三角函数值1 .求sin15,cos15,tan15的值.巧构造22.5与45角的

3、关系的图形运算225角的三角函数值2 .求tan22.5的值.巧用折叠法求67.5角的三角函数值ABCD过点值.li（第3题）fB的直线折叠，使点A落在BC边上的点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处,E处，还原后，再沿 求出67.5角的正切3 .小明在学习“锐角三角函数”中发觉，将如图所示的矩形纸片、72角的三角函数巧用含36角的等腰三角形中的相似关系求18值4 .求sin18,cos72的值.巧用75与30角的关系构图求75角的三角函数值5 .求sin75,cos75,tan75的值.专训3应用三角函数解实际咨询题的四种常见咨询题名师点金：在运用解直角三角形的知识解决实际咨询题时，要学

4、会将千变万化的实际咨询题转化为数学咨询题，要善于将某些实际咨询题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，如此才能更好地运用解直角三角形的方法求解.其中仰角、俯角的应用咨询题，方向角的应用咨询题，坡度、坡角的应用咨询题要熟练把握其解题思路，把握解题关键.定位咨询题1 .某校爱好小组从游轮拍照海河两岸美景.如图，游轮动身点A与望海楼B的距离为300m,在A处测得望海楼B位于A的北偏东30方向，游轮沿手北右电行驶一段时刻后到达C,在C处测得望海楼B位于C的北偏东、6白处!求现在游轮与望海楼之间的距离BC.（，3取1.73

5、,结果保留整数）WI（第1题）坡坝咨询题2 .如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角/BAE=45,坝高BE=20米.汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到.F4,使新的背水坡BF的坡角/F=30,求AF的长度.（结果精确至1r米,假剖:啦=1.414,V3-1.732）yIn4派DEAF3 第2题）测距咨询题3 .一条东西走向的高速公路上有两个加油站A,B,在A的北偏东45方向上还有一个加油站C,C到高速公路的最短距离是30千米，B,C间的距离是60千米，想要通过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B,C的距离相等，要求出交叉口P到加油站A的距离.（结果

6、保留根号）测高咨询题4 .如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=4米，坡角/DCE=30,小红在余坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60,在斜坡上的点D处测得楼加B的仰角为45,其中点A,C,E在同一直线上.（1）求,斜忆CD的高度DE;f（2）求大龙巳AB的高度.（结果保留根号）IECA5 第4题）专训4利用三角函数解判定讲理咨询题名师点金：利用三角函数解答实际中的“判定讲理”咨询题：其关键是将实际咨询题抽象成数学咨询题，建立解直角三角形的数学模型，运用解直角三角形的知识来解决实际咨询题.航行路线咨询题1 .如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测

7、得某岛C在北偏东60的方向上.该货船航行30分钟后到达B处，现在再测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C岛周圃9海军的区域内有暗礁.若连续向正东方向航行，该货船有无触礁危（第1题）C工程规划咨询题2 .A,B两市相距150千米，分不从A,B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心、45千米为半径的圆，tan%=1.627,tan（3=1.373.为了开发旅行，有关部门设计修建连接A,B两市j的高速公路.咨卯连接A,B两市的高速公路会穿过风景区吗？请讲明理由.（第2题）拦截咨询题3 .如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的

8、B处沿南偏西60方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏将Z5二元前住了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到夕媪距离.（结果不取近似值）（第3题）台风阻碍咨询题4 .如图所示，在某海边都市O邻近海面有一股强台风，据监测，当前台风中心位于该都市的南偏东200方向200km的海面P处，并以20km/h的速度向北偏西65的PQ方向移动，台风侵袭的范畴是一个圆形区域，当前半径为60km,且圆的半径以10km/h的速度持续扩大.（1）当台风中心移动4h时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到_km;当台风中心移动t（h）时，受台风侵袭的圆形区域半

9、径增大到km.北（2）案台风中a移动到与都市o距离最近时，这股台风是否会侵袭这座海边都更M讲明理由.（参考数据：媳=1.41,逸，.73）（第4题）专训5三角函数在学科内的综合应用1O刻为t的坐标及抛物线对应的函数解析式;名师点金：1 .三角函数与其他函数的综合应用：此类咨询题常常利用函数图象与坐标轴的交点构造直角三角形，再结合锐角三角函数求线段的长，最后可转化为求函数图象上的点的坐标.2 .三角函数与方程的综合应用：要紧是与一元二次方程之间的联系，利用方程根的情形，最终转化为三角形三边之间的关系求解.3 .三角函数与圆的综合应用：要紧利用圆中的垂径定理、直径所对的圆周角是直角等，将圆中的边角

10、关系转化为同一直角三角形的边角关系求解.4 .三角函数与相似三角形的综合应用：此类咨询题常常是由相似得成比例线段，再转化成所求锐角的三角函数.三角函数与一次函数的综合应用1 .如图，直线y=kx1与x轴、y轴分不交于B,C两点，tan/OCb=2.求,好B，的坐标和k的值；(2席熏A(x,y)是直线y=kx1上的一个动点(且在第一象限内)，在点A的运动过程中，试写出AOB的面积S与x的函数关系式.(第1题)三角函数与二次函数的综合应用2 .如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分不是C(3,0),D,4),E(0,4).点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C,且对称轴直底=1交x轴于

11、点B,连接EC,AC,点P,Q为动点，设运动时(第2题)(2)如图，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动,同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动.当t为何值时，PCQ为直角三角形？三角函数与反比例函数的综合应用3.如图，反比例函数y=k(x0)的图象通过线段OA的端点A,。为x3原点，作AB，x轴于点B,点B的坐标为(2,0),tan/AOB=.(1)求k的值；k(2)将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y=k(xx0)的图象恰好通过DC的中点E,求直线AE对应的函数解析式；3方直线AE与x轴交于

12、点M,与y轴交于点N,请你探究线段D与线段邓(第3题)AN勺大小关系，写出你的结论，并讲明理由.三角函数与方程的综合应用4.在ABC中，/A,/B,/C的对边分不是a,b,c.已知a,b是关于x的一元二次方程x2(c+4)x+4c+8=0的两个根，且9c=25asinA.(1)试判定ABC的形状；(2) AABC的三边长分不是多少？5,已知关于x的方程5x210xcos%7cos%+6=0有两个相等的实数根，求边长为10cm且两边所夹的锐角为的菱形的面积.三角函数与圆的综合应用6 .如图，AD是4ABC的角平分线，以点C为圆心、CD为半径作圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,且

13、/B=/CAE,EFFD=43.(1)求证：点上是AD的中点；(2)好叼礴D的值；阀如果而求半径CD的长.(第6题)7 .如图，AB为。的直径，直线CD切。于点D,AMLCD于点M,BNLCD于N.(1)求证：/ADC=/ABD;c(2)15AD2=AM-AB;(3曲AM噂，sin/ABD=5,求线段BN的长.(第7题)三角函数与相似三角形的综合应用8 .如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是边AD上一点,连莺FE延/交BC的延长线于点G,连接BF,BE,且BELFG(1)BF=BG;(2tanZBFG=V3,SACGE=673,求AD的长.BcG(第8题)专训6全章热门考点整合应用

14、名师点金：本章要紧学习锐角三角函数的定义，锐角三角函数值，解直角三角形,以及解直角三角形的实际应用，重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考的必考内容.其要紧考点可概括为：2个概念，1个运算，2个应用，2个技巧.2个概念概念1:锐角三角函数1.如图*RtAABC中，/ACB=90,AC=6,BC=8,CDXAB于点d,/Mbcd的三个三角函数值.概念2:解直角三角形DE2.如图，在（第2题）（第1题）RtAABC中，/ACB=90,sinB=3,D是BC上一点,5CD=DE,AC+CD=9,求BE,CE的长.1个运算一一专门角的三角函数值与实数运算3.运算：ta

15、n30sin60+cos230sin245tan45;101(2)：tan245+”八。一3cos230,4sin230tan45+ cos60sin40cos502个应用应用1：解直角三角形在学科内应用4 .如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,P是射线BC上的一个动点，过点P作PEAP,交射线DC于点E,射线AE交射线BC于点F,设BP=a.(1)当点P在线段BC上时(点P与点B,C都不重合)，试用含a的代数式表示CE的长；小软a3时，连接DF，试判定四边形APFD的形状，并讲明理由；(3)|AE=1时，求a的值.(第4题)应用2:解直角三角形的实际应用5 .如图，自来水厂A和村庄B

16、在小河l的两侧，现要在A,B间铺设一条输水管道.为了搞好工程预算，需测算出A,B间的距离.一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5方向，前行1200m,到达点Q处，测得A位于北偏西49方向，B位于南偏西41方向.(1)线段BQ与PQ是否相等？请讲明理由.（2）求解i间的距离（参考数据cos41=0.75）.（第5题）6 .如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶,A的仰角为45,在楼顶C测得塔顶A的仰角为3652.已知山高BR/6+2)a.oBC a.16- 2Sin 15 =sin屋即=(矫途a a富受 产 15 =cos D =礼(用诉 a= 4 ；

17、 中卜taD = CD= (2 + V3) a =2一m.CAI)(第2题)2 .解：如图，在RtzABC中，/C=90,AC=BC,延长CA至UD,使DA=AB,则/D=22.5,设AC=BC=a,则AB=/a,.AD=V2a,DC=(2+1)a,.tan 22.5 =tan D =BCCD=(亚+ 1) a3 .解：.将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，.ABnBE,/AEB=/EAB=45,还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，.AE=EF,/EAF=/EFA=45+2=22.5,./FAB=67.5.设AB=x,则AE=EF=2x,.t

18、an/FAB=tan67.5=2+1.ABx4.解：如图，作ABC,使/BAC=36,AB=AC,/ABC的平分线BD交AC于D点，过点A作AEXBC于E点，设BC=a,则BD=ADABBC.ABaa,勿彳ABCczABCD,bc=cd产*o=arBCCDf5+1aABa即s4题）2a-ABa2=0,/.AB=-2一a（负根舍去）n18=sin/BAEMBE：赤；,/bAb非乡AaII=cos/ABE=AB=.（第5题）5.解：方法1:利用第1期的图形求解_易知/ CBD = 75 , （2+.3） sin75CD6+ 2cos75 =1即=（蔺V2）a.一tan75BD=赤2）a=BC =a

19、 4=2+ 3.方法2:如图，作AABD,使/ADB=90,ZDAB=30,延长BD到 C,使 DC = DA,过 B 作 BE，AC 于 E,则/ BAE =75 , 32.3Z AB- 3 a, /. BC=BD + CDY应AC-a,则 AC = a, BD =DC1 a则CE=BE = BC sin 4575 = sin / BAE = ABa, sincos 75 = cos / BAE =Ae36- ,24鬲旦二-,tan75=tan/BAE=e=2+V3.忆了将俨(第1题)1 .解：按照题意可知AB=300m.如图所示，过点B作BDXAC,交AC的延长线于点D.在RtAADB11

20、，.中，因为/BAD=30,因此BD=-AB=-X300=150(m).在RtACDB中，因为sin/DCB假，因此BC=翟173(m).1 =2答：现在游轮与望海楼之间的距离BC约为173m.点拨：本题也可过C作CDLAB于D,由已知得BC=AC,则ad173(m).因止匕BCAD150AB=150m,因此在RtAACD中，AC=二;cos303=AC=173m.22,解：在RtAABE中，/BEA=90,/BAE=45,BE=20米,.AE=20米.在RtBEF中，/BEF=90,/F=30,BE=20米，,百二意人浅立舶米1 .AF=EF-AE=20V32020X1.732-20=14.

21、64=15(米).AF的长度约是15米.3.解：分两种情形：(1)如图，在RtzBDC中，CD=30千米，BC=60千米.CD1 sinB=qc=c,/B=30.BC2 .PB=PC,./BCP=/B=30. 在RtCDP中，/CPD=/B+/BCP=60,.DP =CD30tan ZCPD-tan 60=10也(千米).在RtAADC中，/A=45 .AD=dc而30千勺/，北心DRt30r|03）千米.（第3题）（2）如图，同理可求得DP=1073千米，AD=30千米.AP=ADDP=（30103）千米.故交叉口P到加油站A的距离为（30士10v3）千米.点拨：本题运用了分类讨论思想，针对

22、P点位置分两种情形讨论，即P可能在线段/B上，也可能在BA的延长线上.4.解歹“1RtzDCE中，DC=4米，/DCE=30,/DEC=90 ,=2米;（第4题）（2）如图，过点D作DFXAB,交AB于点F,则/BFD=90,/BDF=45,/.ZDBF=45,即BFD为等腰直角三角形，设BF=DF=x米， 四边形DEAF为矩形， .AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，在RtABC中，/ABC=30,.口ABx22x+4寸3（2x+4）.BC=cos30=V3=3（木） ./DCE=30,/2ACB=60, ./DCB=90,在RtBCD中，BD=&BF=V2x米，DC=4米,按照勾股定理

23、得：2x2=（2x；4）2+16,3解得：x=4+4m或x=443（舍去），则大楼AB的高度为（6+43）米.专训4理由如下:1.解：若连续向正东方向航行，该货船无触礁危险.如图，过点C作CD，AM于点D.依题意，知AB = 24X3060 =12（海里）,=60 .ZCAB=90-60=30,/CBD=90-30在RtzDBC中，tan/CBD=tan60=CD,CD=AD，-3BD .BD=CD.在RtADC中，tan/CAD=tan30 .AD=V3CD.又AD=AB+BD, .M3CD=12+Y3CD,解得CD=6，3海里.36；39,若连续向正东方向航行，该货船无触礁危险.技巧点拨：

24、将这道航海咨询题抽象成数学咨询题，建立解直角三角形C到航线AB的距离与9海里C到航线AB的距离.（第2题）2 .解：可不能穿过风景区.理由如下：如图，过C作CDLAB于点D,按照题意得：/ACD=%,/BCD=B,则在RtAACD中，AD=CDtan%,在RtABCD中，BD=CDtanB.AD+DB=AB,/.CD-tan%+CDtanB=AB, cn = AB=tan % + tan B1501501.627+ 1.373350(千米).5045,连接A,B两市的高速公路可不能穿过风景区.3 .解：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E;过C作AB的垂线，过D作AB的平行

25、线，两线交于点F,则/E=/F=90,拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF.在RtBCE中，/E=90,/CBE=60,._11-.,.ZBCE=30,.BE=2BC=/X1000=500(米)；在RtzCDF中，./F=90,ZDCF=45,CD=1000米，,.CF=*CD=500V2(米).DA=BE?+CF=(500+50072)米，即境Qtd处到公.瓶的距离是(500+50072)米.长二东(第4题)4.解：(1)100;(60+10t)(2)可不能，理由如下：过点O作OHLPQ于点H,如图.在RtAPOH中，/OHP=90,/OPH=6520=45,OP=200km,.OH=PH

26、=OPsin/OPH=200Xsin45=100/2141(km).设通过xh时，台风中心从P移动到H,台风中心移动速度为20km/h,贝U20x=100V2,/.x=52.现在，受台风侵袭的圆形区域半径应为60+10X5V2130.5(km).台风中心在整个移动过程中与都市。的最近距离OH=141km,而台风中心从P移动到H时受侵袭的圆形区域半径约为130.5km,130.5kmc141km,因此，当台风中心移动到与都市O距离最近时，都市。可不能受到台风侵袭.专训51 .解：(1)把x=0代入y=kx1,得y=1,.点C的坐标是(0,1),OC=1.OB11在RtzOBC中，vtan/OCB

27、=o=2，OB=g.二点B的坐标是2,0.121把B?,0的坐标代入y=kx1,得2k1=0.解得k=2.(2)由(1)知直线AB对应的函数关系式为y=2x1,因此4AOB的面积S与x的函数关系式是S=20B7=2、2(2x1)=2x-1.2.解：(1尸抛物线的对称轴为直线x=1,矩形OCDE的三个顶点分不是C(3,0),D(3,4),E(0,4),点A在DE上， 点A坐标为(1,4),设抛物线对应的函数解析式为y=a(x1)2+4,把C(3,0)的坐标代入抛物线对应的函数解析式，可得a(31)2+4=0,解得a=-1.故抛物线对应的函数解析式为y=(x1)2+4,即y=x2+2x+3.(2)

28、依题意有OC=3,OE=4, .CE=VOC2+OE2=132+42=5,当/QPC=90时，:cos/QCP=照=1,.3t315CQCE 2+=K，角牛牛于t=11；2t511cqoc当/PQC=90时，:cos/QCP=案=OC，2t3,一915,PC9CE.,./=3,解得t=：9.当t=15或t=：9时，PCQ为直角三角形.3t51311133.解：(1)先求出A点的坐标为(2,3),.k=6.(2)易知点E纵坐标为3,由点E在反比例函数y=6的图象上，求出点E22X的坐标为4,3,结合A点坐标为(2,3),求出直线AE对应的函数解析式432为y=4x+2.(3)结论：AN =， 一

29、9令x = 0可得y = -外12、项 M(6, 0),0 -BC-5ME.理由:9 N 0, 2 .39.在角牛析式y=一下+2中，令y=0可得x=6,(第3题)方法一：如图，延长DA交y轴于点F,则AFLON,且AF=2,OF=3，35.NF=ONOF=3.按照勾股定理可得AN=5.232.CM=64=2,EC=2，按照勾股定理可得em=5，.AN=ME.方法二：如图，连接OE,延长DA交y轴于点F,则AFLON,且A11 9 一SAAON=ON AF = 2X-X 2F=2,11_39vSAEOM=-OM-EC=-X6X-=-,92222=2，SAEOM=SAAON.AN和ME边上的高相

30、等,AN=ME.4.解：(1).a,b是关于x的方程x2(c+4)x+4c+8=0的两个根,a+b=c+4,ab=4c+8.a2+b2=(a+b)2-2ab=(c+4)2-2(4c+8)=c2.ABC为直角三角形.又(a-b)2=(a+b)24ab=(c+4)2-4(4c+8)=c2-8c-16,.不能确定(ab)2的值是否为0,不能确定a是否等于b,.ABC的形状为直角三角形.(2)ABC是直角三角形，/C=90,.sinA=1.将其代入9c=25asinA得9c=25aa9c2=25a2,.3c=5a.5c524c=3a.b=c2a2=yl3aa2=3a.将b=4a,c=5a代入a+b=c

31、+4,3345解得a=6.-b=-x6=8,c=aX6=10,33即AABC的三边长分不是6,8,10.5.解：.一元二次方程有两个相等的实数根,.(10cos%)220(7cos%+6)=0,解得COS a =设在一内角为，一3一2（舍去）或cos%=5.%的直角三角形中，口的邻边长为3k（k0）,斜边长为5k,则0c的对边长为q(5k)2(3k)2=4k,sina=,5则菱形一边上的高为10sin%=8cm,.S菱形=10X8=80cm2.6. (1)证明：AD是ABC的角平分线， ./BAD=ZDAC. ./ADE=/BAD+/B,/DAE=/CAD+/CAE,且/B=/CAE,./AD

32、E=/DAE, .ED=EA.ED为。O的直径，DFE=90,.EFLAD,点F是AD的中占I八、(2)解：如图，连接DM,则DM，AE.设EF=4k,DF=3k,则 ED = VEF2+DF2 = 5k. v1.DM =AD EF 6k 4k_1 EF=AE DM ,AE.ME = MdE2 DM25k7 =5 cos / AED（第6题）(5k)2耗3E=/B, /AEC为公共角,廿 AE,. AE2 = CE BE,2+ 5k). . k0, . k= 2,_ME_ 7=DE = 25，. AEC A BEA, 5， CD = 2k= 5.a(第7题)7. (1)证明：如图，连接OD,直

33、线CD切。O于点D,./CDO=90,AB为。O的直径，ADB=90,1+/2=/2+/3=90,./1=/3,vOB=OD,./ADC=/ABD.(2)证明：AM LCD,.ADM s/aBD ,(3)解：sin / ABD =./AMD=/ADB =90 , . /1 = /4,AM AD3AD=AB，, AD2 = AM 1AB.三sin /1=1，AM =, a AD = 6, . A555B=10,BD = #AB2AD2 =8,vBNXCD,./BND=90,/DB3N+/BDN=/1+/BDN=90,./DBN=/1,.sin/NBD=g,DN=24，.BN=、BD2DN2=32.558. (1)证明：.四边形ABCD是矩形，D=/DCG=90, 点E是CD的中点，DE=CE. ./DEF=/CEG,.EDF二AECG,/.EF=EGl又BEFG,BE是FG的中垂线，BF=BG.(2)解：BF=BG,./BFG=/G,.tan/BFG=tanG=73,设CG=x,则CE=#x,.$CGE=x2=6/3,解得x=243(负值舍去)， .