高三二模汇编——立体几何

1、2015年高三二模汇编立体几何一、 填空题1.（2015黄浦二模理10文10）已知是球的一条直径，点是上一点，若，平面过点且垂直，截得圆，当圆的面积为时，则球的表面积是 【答案】2.（2015静安、青浦、宝山二模理11文11）把一个大金属球表面涂漆，共需油漆公斤若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球， 不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆 公斤【答案】3.（2015浦东二模理9文9）已知球的表面积为64，用一个平面截球，使截面圆的半径为2，则截面与球心的距离是 【答案】4.（2015普陀二模理8）一个圆锥与一个球体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的

2、表面积为 【答案】5.（2015普陀二模文9）一个底面置于水平面上的圆锥，若主视图是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为 【答案】6.（2015徐汇、松江、金山二模理10）如图所示：在直三棱柱中，则平面与平面所成的二面角的大小为 【答案】二、选择题1.（2015崇明二模理17）如图，已知圆锥的底面半径为，点为半圆弧的中点，PSAQOB点为母线的中点若与所成角为，则此圆锥的全面积与体积分别为（）AB CD【答案】2.（2015奉贤二模理18）如图，取一个底面半径和高都为的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为的半球放在同一水平面上用一平行于

3、平面的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（ ） AS圆S圆环 BS圆S圆环 CS圆=S圆环 D不确定3.（2015虹口二模理17）如图所示，所在平面和四边形所在的平面互相垂直，且，若，则动点在平面内的轨迹是（ ） A.线段 B.椭圆的一部分 C.抛物线 D.双曲线的一部分【答案】D4.（2015黄浦二模理15文15）在空间中，下列命题正确的是（ ） A若两直线与直线所成的角相等，那么 B空间不同的三点、确定一个平面 C. 如果直线平面且平面，那么 D若直线与平面没有公共点，则直线平面【答案】DABlCNPO5.（2015闵行二模理18

4、文18）如图，已知直线平面，垂足为，在中，点是边上的动点.该三角形在空间按以下条件作自由移动：(1)，(2).则的最大值为( ) (A) . (B) . (C) . (D) .【答案】C6.（2015浦东二模理16文16）平面上存在不同的三点到平面的距离相等且不为零，则平面与平面的位置关系为（ ） 平行 相交 平行或重合 平行或相交【答案】D7.（2015普陀二模理15文15）表示直线，表示平面，下列命题正确的是（ ）A若，则 B 若，则 C若，则 D 若，则 【答案】D8.（2015闸北二模理11文11）下列命题中，正确的个数是【 】 直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行

5、； a、b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个； 直四棱柱是直平行六面体； 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥A、0 B、1 C、2 D、3【答案】B9.（2015长宁、嘉定二模理18文18）在四棱锥中，分别为侧棱，的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为（ ）ABCD【答案】C三、解答题1.（2015崇明二模理20）（本题满分14分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分 如图，在长方体中，点在棱上移动D1C1A1AEDB1BCOxyz（1）证明：；（2）等于何值时，二面角的大小为【答案】解：（1）在如图所示的空间直角坐标系中，设 则所以所以（2）方法一：设为

6、平面的一个法向量由，得，所以因为二面角的大小为，所以 又，所以，即当时二面角的大小为2.（2015崇明二模文20）（本题满分14分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分 如图，在长方体中，点在棱上移动D1C1A1AEDB1BC（1）当为的中点时，求四面体的体积；（2）证明：【答案】解：（1）因为，所以（2）正方形中，因为，所以所以所以3.（2015奉贤二模理20文20）三棱柱中，它的体积是，底面中，,在底面的射影是，且为的中点（1）求侧棱与底面所成角的大小；(7分)（2）求异面直线与所成角的大小(6分)【答案】解：（1）依题意，面，就是侧棱与底面所成的角 2分 4分 5分

7、计算， 7分（2）取的中点，连，则（或其补角）为所求的异面直线的角的大小 9分面，面面面， 11分 12分所求异面直线与所成的角 13分4.（2015虹口二模理20）（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，四边形为直角梯形，且，平面平面，.（1）若为的中点，求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.【答案】解：（1）如图，设与的交点为，连接 易知点是的中点，又为的中点，故4分 于是，由平面，得平面6分（2）如图，以点为原点，分别以为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系，则 易知为平面的一个法向量，设为平面的一个法向量 则，令，得1

8、0分 设平面与平面所成的锐二面角为，则，12分 故平面与平面所成的锐二面角的大小为14分5.（2015虹口二模文20）(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分.在如图所示的直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且（1）求直四棱柱的体积；（2）求异面直线所成角的大小【答案】解：（1）因菱形ABCD的面积为 2分 故直四棱柱的体积为： 6分（2）连接，易知，故等于异面直线所成角. 8分 由已知，可得 10分 则在中，由余弦定理，得 12分 故异面直线所成角的大小为 14分6.（2015黄浦二模理19）（本题满分12分）本题共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 在长方体中

9、，过三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体. （1）若的中点为，求求异面直线与所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点到平面的距离【答案】解：(1)按如图所示建立空间直角坐标系由题知， 可得点、 由是中点，可得. 于是， 设异面直线与所成的角为， 则 因此，异面直线与所成的角为 (2)设是平面的法向量 又，取，可得即平面的一个法向量是 7.（2015黄浦二模文19）(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分在长方体中，过、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体（1）求几何体的体积，并画出该几何体的左视图(平行主视图投影所在的平面)；

10、（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 【答案】解： ， 左视图如右图所示 (2)依据题意，有，即 就是异面直线与所成的角 又，异面直线与所成的角是 8.（2015静安、青浦、宝山二模理19） (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分 如图，在直三棱柱中，已知，（1）求四棱锥的体积； （2）求二面角的大小【答案】解：（1）因为，三棱柱是直三棱柱，所以，从而是四棱锥的高. 2分四棱锥的体积为4分（2）如图（图略），建立空间直角坐标系则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），6分设AC的中点为M

11、，是平面A1C1C的一个法向量设平面A1B1C的一个法向量是，8分令z=1，解得x=0，y=1， 9分设法向量与的夹角为，二面角B1A1CC1的大小为，显然为锐角12分9.（2015静安、青浦、宝山二模文19） (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分 如图，在正三棱柱中，已知， 三棱柱的体积为（1）求正三棱柱的表面积；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】解：（1）因为三棱柱的体积为，从而， 因此. 2分该三棱柱的表面积为. 4分（2）由（1）可知 因为/.所以为异面直线与所成的角， 8分在Rt中， 所以=.异面直线与所成的角 12分PSAQOB10.（201

12、5闵行二模理19文19）（本题满分12分）如图，已知圆锥的底面半径为，点Q为半圆弧的中点，点为母线的中点若直线与所成的角为，求此圆锥的表面积PSAQOBM【答案】解：取OA的中点M,连接PM,又点P为母线的中点所以，故为与所成的角2分在中，4分由点Q为半圆弧的中点知 ，在中，故，所以， 8分所以，10分12分11.（2015浦东二模理20）（本大题共有2个小题，满分14分）第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 如图，在四棱锥中，底面正方形为边长为2，底面， 为的中点，与平面所成的角为（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求点到平面的距离【答案】解：方法,（1）因为

13、底面为边长为的正方形，底面, 则 平面，所以就是与平面所成的角2分PABCDEMN在中，由，得，3分在中，分别取、的中点、，联结、，则异面直线与所成角或补角4分在中，由余弦定理得，所以，6分 即异面直线与所成角的大小为7分（2）设点到平面的距离为，因为，9分所以，得14分PABCDExyz方法，（1） 如图所示，建立空间直角坐标系，同方法，得，3分则有关点的坐标分别为，5分所以，设为异面直线与所成角，则，所以， 即异面直线与所成角的大小为7分（2）因为，设，则由，11分可得，所以14分12.（2015浦东二模文20）（本题共有2个小题，满分14分）；第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.

14、PABCD 如图，在四棱锥中，底面为边长为的正方形， 底面, （1）求异面直线与所成角的大小；（2）求点到平面的距离【答案】解：（1）联结与交于点，取的中点，联结，则，所以为异面直线与所成角或补角2分NPABCDM在中，由已知条件得，5分所以，所以异面直与所成角为7分（或用线面垂直求异面直线与所成角的大小）（2）设点到平面的距离为，因为，9分 所以， 得（或在中求解）14分13.（2015普陀二模理20）(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 在正方体中，是棱的中点（1）求直线与平面所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）在棱上是否存在一点，使得平面，

15、若存在，指明点的位置；若不存在，说明理由【答案】解：（1）以为坐标原点，以射线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设正方体的棱长为（），则，于是 3分 根据正方体的性质，可知,故的一个法向量且= 4分设直线与平面所成的较为，则 5分所以，故直线与平面所成的角的大小为. 6分（2） 假设在棱上是存在一点,使得,设（其中） 8分根据（1）可知， 9分设平面的一个法向量，则，即， 10分取，则，由于直线,所以 11分即，化简得，解得 12分故在棱上是存在一点，使得,且点是棱的中点. 14分14.（2015普陀二模文19） (本题满分12分)在正方体中，E是棱的中点求直线BE与所成的角的大小（

16、结果用反三角函数值表示）；【答案】解：设正方体的棱长为，根据正方体的性质可得：四棱锥的底面积，高 2分，解得 5分因为,所以即为异面直线与所成角或其补角， 8分在中，,由余弦定理可得，即 11分所以异面直线与所成的较的大小为. 12分15.（2015徐汇、松江、金山二模理19文19）(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 如图，在中，斜边，是的中点现将 以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【答案】解：（1）在中，即圆锥底面半径为2圆锥的侧面积.4故圆锥的全

17、面积.6（2）解法一：如图建立空间直角坐标系则BCDAOzxy.8设与所成角为，则.10异面直线与所成角为.12解法二：过作交于，连则为异面直线与所成角.8 在中， 是的中点 是的中点 在中，.10，即异面直线与所成角的大小为.1216.（2015杨浦二模理20）（本题满分14分，其中第一小题7分，第二小题7分） 在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点.（1）试确定点的位置，使得平面;（2）当平面时，求二面角的大小（结果用反三角函数表示）.【答案】解：（1）如图建系，设 1分则 2分, 3分 4分由 5分 6分，即为中点时。 7分（2）解一：连接，交于点，连接； 14分解二：设平面

18、 的法向量为设平面 的法向量为经观察17.（2015杨浦二模文19）（本题满分12分） 如图，四棱锥中，底面是矩形，面，直线与直线所成角大小为求直线与直线所成角的大小.【答案】解：是直线与直线所成角连接，交于点，取中点，连接，则为直线与直线所成角 5分连接，在中,直线与直线所成角的大小为 12分18.（2015闸北二模理14文14）（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 如图，是圆柱体的一条母线，已知过底面圆的圆心，是圆上 不与点重合的任意一点，（1）求直线与平面所成角的大小；（2）将四面体绕母线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的 几何体的体积 【答案】解：（1） 5分 （2） 7分19.（2015长宁、嘉定二模理2