双曲线及其标准方程

1、§96双曲线1双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫_这两个定点叫双曲线的_，两焦点间的距离叫_集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：(1)当_时，P点的轨迹是双曲线；(2)当ac时，P点的轨迹是_；(3)当_时，P点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1 (a>0，b>0)1(a>0，b>0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(

2、a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线y±xy±x离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2a2b2 (c>a>0，c>b>0) 难点正本疑点清源1双曲线中a，b，c的关系双曲线中有一个重要的RtOAB(如右图)，它的三边长分别是a、b、c易见c2a2b2，若记AOB，则e2双曲线的定义用代数式表示为|MF1|MF2|2a，其中2a<|F1F2|，这里要注意两点：(1)距离之

3、差的绝对值(2)2a<|F1F2|这两点与椭圆的定义有本质的不同：当|MF1|MF2|2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|MF2|2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线； 当2a>|F1F2|时，动点轨迹不存在3渐近线与离心率1 (a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小1已知点F1(4,0)和F2(4,0)，一曲线上的动点P到F1，F2距离之差为6，该曲线方程是_2双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m_3已知以双曲线C

4、的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为_4(2011·山东)已知双曲线1 (a>0，b>0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_5若双曲线1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 () A B5 CD2 题型一双曲线的定义例1已知定点A(0,7)、B(0，7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程探究提高双曲线的定义理解到位是解题的关键应注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是双曲线的两支，

5、还是双曲线的一支若是一支，是哪一支，以确保解答的正确性 在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(6，0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线1的左支上，则_题型二双曲线的标准方程例2根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线1有共同的渐近线，且过点(3,2)；(2)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2) 探究提高求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系，并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线方程为ax±by0，可设双曲线方程为a2x2b2y2 (0) (1)若双曲线的渐近线方程为y±3x，它的一个焦点是(，0)，求双曲线的方程

6、；(2)已知双曲线的渐近线方程为y±x，并且焦点都在圆x2y2100上，求双曲线的方程题型三双曲线的几何性质例3中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为37(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值探究提高在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多由于e是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2c2a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1 如图，已知F1、F2为双

7、曲线1 (a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且PF1F230°，求：(1)双曲线的离心率； (2)双曲线的渐近线方程题型四直线与双曲线的位置关系例4过双曲线1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点(1)求|AB|；(2)求AOB的面积；(3)求证：|AF2|BF2|AF1|BF1|探究提高双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的

8、思想解题设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|x1x2| 直线l：ykx1与双曲线C：2x2y21的右支交于不同的两点A、B(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由10忽视直线与双曲线相交的 判断致误试题：(14分)已知双曲线x21，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？学生解答展示审题视角(1)本题属探索性问题若存在，可用点差法求出AB的斜率，进而求方程；也可以设斜率k，利用待定系数法求方程(2)求得的方程是否

9、符合要求，一定要注意检验规范解答解设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意2分设经过点P的直线l的方程为y1k(x1)，即ykx1k 3分由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220 (2k20)7分 x0由题意，得1，解得k29分当k2时，方程成为2x24x3016248<0，方程没有实数解12分不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点14分批阅笔记(1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确错误原因是考生忽视对直线

10、与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的(2)如将本题中点P的坐标改为(1,2)，看看结论怎样？方法与技巧1两条双曲线的渐近线的交点就是双曲线的中心2焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b3共用渐近线的两条双曲线可能是：共轭双曲线；放大的双曲线；共轭放大或放大后共轭的双曲线所以与双曲线1共用渐近线的双曲线的方程可设为t (t0)4已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程0就是双曲线1的两条渐近线方程失误与防范1区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a2b2c2

11、，而在双曲线中c2a2b22双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e(0,1)3双曲线1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y±x，1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y±x4若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况5直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点课时规范训练 (时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1双曲线中心在原点，且一个焦点为F1(，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，

12、则该双曲线的方程是() A.y21 Bx21C.1 D.12设F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点，若点P在双曲线上，且·0，则|等于()A. B2 C. D23若双曲线1 (a>0，b>0)的实轴长是焦距的，则该双曲线的渐近线方程是()Ay±x By±xCy±x Dy±2x4(2011·课标全国)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 ()A. B.C2 D3二、填空题5已知中心在原点的双曲线C，过点P(2，)且离心率为2，则双曲线C的标

13、准方程为_6如图，点P是双曲线1上除顶点外的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为半焦距，PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|·|F2M|_.7已知双曲线1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于A，B两点若ABF1是以B为顶点的等腰三角形，且AF1F2，BF1F2的面积之比SAF1F2SBF1F221，则双曲线的离心率为_三、解答题8已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·0；(3)求F1MF2的面积B组专项能

14、力提升题组一、选择题1已知点F1(，0)、F2(，0)，动点P满足|PF2|PF1|2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是()A. B. C. D22已知点F是双曲线1 (a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2，)3若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21 (a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为()A32，) B32，)C. D.二、填空题4设双曲线C：1 (a>

15、;0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的渐近线yx交于点A(不同于O点)，则OAF的面积为_5设点F1，F2是双曲线x21的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积为_6已知双曲线1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为_三、解答题7设A，B分别为双曲线1 (a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M、N两点，

16、且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标8已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2 (其中O为原点)，求k的取值范围答案要点梳理1双曲线焦点焦距(1)a<c(2)两条射线(3)a>c基础自测1.1 (x3)2.3.4.15.A题型分类·深度剖析例1解设F(x，y)为轨迹上的任意一点，A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，|FA|CA|2a，|FB|CB|2a(其中a表示椭圆的长半

17、轴长)，|FA|CA|FB|CB|，|FA|FB|CB|CA|2，|FA|FB|2<14.由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下支上，点F的轨迹方程是y21 (y1)变式训练1例2解(1)设所求双曲线方程为 (0)，将点(3,2)代入得，所求双曲线方程为，即1.(2)设双曲线方程为1，将点(3，2)代入得k4，(k14舍去)所求双曲线方程为1.变式训练2(1)x21(2)1或1例3解(1)由已知：c，设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线半实、虚轴长分别为m、n，则，解得a7，m3.b6，n2.椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，

18、P是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2.变式训练3(1)(2)y±x例4(1)解由双曲线的方程得a，b，c3，F1(3,0)，F2(3,0)直线AB的方程为y(x3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x26x270.x1x2，x1x2.|AB|x1x2|··.(2)解直线AB的方程变形为x3y30.原点O到直线AB的距离为d.SAOB|AB|·d××.(3)证明如图，由双曲线的定义得|AF2|AF1|2，|BF1|BF2|2

19、，|AF2|AF1|BF1|BF2|，即|AF2|BF2|AF1|BF1|.变式训练4解(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故解得k的取值范围是2<k<.(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则由式得假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)则由FAFB得：(x1c)(x2c)y1y20.即(x1c)(x2c)(kx11)(kx21)0.整理得(k21)x1x2(kc)(x1x2)c210. 把式及c代入式化简得5k22k60.解得k或k(2，)(舍去)，可知存在k使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点课时规范训练A组1B2.B3.C4.B5.1或16.b27.8(1)解e，可设双曲线方程为x2y2.过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.(2)证明方法一由(1)可知，双曲线中ab，c2，F1