立体几何解题方法技巧

1、.立体几何高考对本节知识的考查主要有以下两个考向：1. 三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、 填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题.2. 对于空间几何体的表面积与体积，由原来的简单公式套用渐渐变为三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，特别是已知空间几何体的三视图求表面积、体积是近两年高考考查的热点，题型一般为选择题或填空题1 四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系2 空间几何体的三视图(1) 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正

2、上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形(2) 三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样(3) 画三视图的基本要求： 正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高看不到的线画虚线3 直观图的斜二测画法空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1) 原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为 45°( 或 135°) ，z轴与 x轴和 y轴所在平面垂直(2) 原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴平行于x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y

3、 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半4 空间几何体的两组常用公式(1) 柱体、锥体、台体的侧面积公式：S 柱侧 ch( c 为底面周长， h 为高 ) ；S锥侧 1( 为底面周长，为斜高 ) ；2chch1 S 台侧 2( cc)h(c， c 分别为上下底面的周长，h为斜高 ) ；2 S 球表 4 R( R为球的半径 ) (2) 柱体、锥体和球的体积公式：.下载可编辑 . V 柱体 Sh( S为底面面积， h 为高 ) ；1 V 锥体 3Sh( S 为底面面积， h 为高 ) ；1 V 台 ( SSS S)h( 不要求记忆 ) ；34 V 球 3 R3.考点一三视图与直观图的转化例1(1)

4、已知三棱柱的正视图与俯视图如图，那么该三棱锥的侧视图可能为()(2) 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为().下载可编辑 .答案(1)B(2)D解析(1) 底面为正三角形，一侧棱垂直于底面由虚线知可能有一侧棱看不见 由题知这个空间几何体的侧视图的底面边长是3 ，故其侧视图只可能是选项B 中的图形(2) 如图所示，点 D1 的投影为 C1，点 D的投影为 C，点 A 的投影为 B，故选 D.空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图

5、确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果(1)(2013 ·课标全国 ) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()(2)(2012 ·湖南 ) 某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()答案(1)A(2)D解析(1) 根据已知条件作出图形：四面体C1A1DB，标出各个点的坐标如图(1) 所示，可以看出正视图为正方形，如图(2) 所示故选A

6、.(2) 根据几何体的三视图知识求解由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是 D.考点二几何体的表面积及体积.下载可编辑 .例2(1) 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()A8B62C10D82(2)(2013 ·浙江 ) 若某几何体的三视图( 单位： cm)如图所示，则此几何体的体积等于_ cm 3.答案(1)C(2)24解析(1) 由三视图可想象出如图所示的三棱锥，SA平面 ABC， ABC中 ABC90°， SA AB 4， BC3，因此图中四个面的三角形均为直角三角形， SB 42 ，AC

7、 5，S SAC 10， S SAB 8， S SBC62，S ABC6，所以最大面积是10.下载可编辑 .(2) 由三视图可知，其直观图为：AB 4， AC 3， BAC90°， BC5.作 AH BC于 H，AB· AC12AHBC 5.作 A1M BB1 于 M， A1NCC1 于 N. 连接 MN.V1×(5 ×3) ×12(3 ×4) ×1×2 24.352(1) 求几何体的表面积及体积问题， 可以多角度、 多方位地考虑， 熟记公式是关键所在 求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底

8、面放在已知几何体的某一面上(2) 求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解(1)(2013 ·江西) 一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A 2009B 20018C 1409D 14018(2)(2012 ·辽宁 ) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_答案(1)A(2)38解析(1) 该几何体是由一个长方体与一个半圆柱构成12V10×4×5 2××3 ×2 2009.(2) 将三视图还原为直观图后求解根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱，所以

9、S2×(4 3 12) 2 2 38.考点三多面体与球.下载可编辑 .例3如图所示，平面四边形ABCD中， AB ADCD 1， BD 2 ，BD CD，将其沿对角线 BD折成四面体 ABCD，使平面 ABD平面 BCD，若四面体 ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为()32A. 2 B3C. 3 D2要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置，由于BCD是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等，只要再证明这个点到点A 的距离等于这个点到B，C，D的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可答案A

10、解析如图，取 BD的中点 E， BC的中点 O，.下载可编辑 .连接 AE， OD， EO， AO.由题意，知AB AD，所以 AE BD.由于平面 ABD平面 BCD， AE BD，所以 AE平面 BCD.因为 AB AD CD 1， BD2，213所以 AE 2 ，EO 2. 所以 OA 2 .1 3在 Rt BDC中， OB OCOD 2BC 2 ，3所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为2 .4333所以该球的体积 V (2) . 故选 A.32多面体与球接、切问题求解策略(1) 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点( 一般为接、切点 ) 或线作截面，把

11、空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系， 或只画内切、 外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径 ( 直径 ) 与该几何体已知量的关系，列方程( 组 ) 求解(2 ) 若球面上四点P， A， B， C构成的三条线段PA，PB， PC两两互相垂直，且PA a，PB b， PC c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2 a2 b2 c2求解(1) 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4 的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是()A12B24C32D48(2) 一个空间几何体的三视图如图所

12、示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 _答案(1)D(2)16 解析(1) 由已知条件知该几何体的直观图如图所示，PA面 ABCD， PAC、 PBC、 PCD均为直角三角形，且斜边相同，所以球心为 PC中点 O， OA 1PC OB OD23. 球的表面积为S4(OA) 22 48 .下载可编辑 .(2) 该几何体是一个正三棱柱，底面边长为3，高为 2. 设其外接球的球心为O，上、下底面中心分别为B、 C，则 O为 BC的中点，如图所示2则 AB 3×3sin 60 °3， BO1，该棱柱的外接球半径为22R AB BO 2，球的表面积是S4

13、 R216.1 空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积， 是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和2 在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量( 球除外 ) ，因此体积计算中的关键一环就是求出这个量 在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面3 一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体，而补形又分为对称补形 ( 即某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方法进行补形 ) 、

14、还原补形 ( 即 还台为锥 ) 和联系补形 ( 某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何量不易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规则几何体的一部分来求解 ) 4 长方体的外接球(1) 长、宽、高分别为 a、b、c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a2 b2 c2 2R；(2) 棱长为 a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a 2R.1 从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积的值为()A52B62C9D10答案C解析由三视图知，其直观图为棱锥 A BCDE.下载可编辑 .2719V 2723

15、×3× 2 9.故选 C.2 在三棱锥A中，侧棱， ，两两垂直，的面积分别为BCDAB AC ADABCACDABD236A BCD的外接球体积为()2 ， 2， 2，则三棱锥A. 6B 2 6C 3 6D 4 6答案A解析如图，以 AB， AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长AB·AC2，AB2，据题意AC· AD3，解得AC1，AB· AD6，AD3，长方体的对角线长为2226，ABACAD6三棱锥外接球的半径为.24 6 3三棱锥外接球的体积为 V 3·

16、;( 2 ) 6.一、选择题1 一梯形的直观图是一个如右图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为2 ，则原梯形的面积为()A2B.2C22D4答案D解析直观图为等腰梯形，则上底设为x，高设为 y，则 S 直观图 1y( x 2y x) 2，21由直观图可知原梯形为直角梯形，其面积S2·2 2y·(x 2y x) 22×2 4.2 (2013 ·湖南 ) 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1 的正方形，侧视图是一.下载可编辑 .个面积为2 的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()3B 12 1D.2A.C.22答案D解析俯视图是面积为1 的正方形，此正方

17、体水平放置，又侧视图是面积为2的矩形，正方体的对角面平行于投影面，此时正视图和侧视图相同，面积为2.3 (2013 ·课标全国 ) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A 168B 88C 1616D 816答案A解析将三视图还原成直观图为：上面是一个正四棱柱，下面是半个圆柱体12所以 V2×2×4 2×2××4 168.故选 A.4 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()3 83 82C.36A.6B.663 92D.6答案A解析该几何体由底面半径为1 的半圆锥与底面为边长等于2 的正方形的四棱锥组成，且高

18、都为3，因此该几何体的体积112) ×13V ×( ××13 ×(2 ×2) ×332364 338，故选 A. 365 (2012 ·北京 ) 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是().下载可编辑 .A28 6 5B306 5C 56 12 5D 60 12 5答案 B解析根据几何体的三视图画出其直观图，利用直观图的图形特征求其表面积由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中 AE平面 BCD， CDBD，且 CD 4， BD 5， BE2， ED 3，AE 4. AE4， ED 3， AD5.

19、又 CD BD， CD AE，则 CD平面 ABD，故 CD AD，所以 AC 41且 SACD 10.在 Rt ABE中， AE 4， BE 2，故 AB 2 5. 在 Rt BCD中， BD 5， CD 4，故 SBCD 10，且 BC41.在 ABD中， AE 4， BD5，故 S ABD 10.在 ABC中， AB 25 ，BC AC41，1则 AB边上的高 h 6，故 SABC 2×2 5×6 65.因此，该三棱锥的表面积为S 3065.6 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2 的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，该几何体的体积为()333A. 3 B

20、. 6 C.2 D.3答案A解析三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，底面相对接的图形，圆锥的底面半径为1，母线长为2，故圆锥的高为h22 123. 易知该几何体的体积就是整个圆锥的体积，即V12123圆锥3 r h 3×1×3 3 . 故选A.7 已知正方形ABCD的边长为 22，将 ABC沿对角线 AC折起，使平面 ABC平面 ACD，得到如右图所示的三棱锥B ACD.若 O为.下载可编辑 .AC边的中点， M， N分别为线段DC， BO上的动点 ( 不包括端点 ) ，且 . 设，则三棱锥的体积y() 的函数图象大致是 ()BN CMBN x

21、NAMCfx答案B解析由平面 ABC平面 ACD，且 O为 AC的中点，可知BO平面 ACD，易知 BO 2，故1三棱锥 N AMC的高为 ON 2 x， AMC的面积为 2· MC· AC·sin45°2x，故三棱锥 的体积为y1x) ·2x2x2 2 )(0<x<2) ，函数f() 的( ) ·(2 (NAMCfx33xx图象为开口向下的抛物线的一部分二、填空题8 (2012 ·山东 ) 如图，正方体 ABCD A1B1C1 D1 的棱长为 1， E， F 分别为线段 AA1， B1C上的点，则三棱锥 D1E

22、DF的体积为 _1答案6解析利用三棱锥的体积公式直接求解1VD1 EDF VF DD1E 3S D1 DE· AB 1×1×1×1×1 1.3269 (2013 ·江苏 ) 如图，在三棱柱A1B1C1 ABC中， D，E， F 分别是 AB， AC，AA1 的中点，设三棱锥 F ADE的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1 ABC的体积为 V2，则 V1 V2 _.答案124解析设三棱锥 F ADE的高为 h，11h 21AD·AE·sin DAE3则VV122h2AD2AEsin DAE2 1 .2410已知矩形A

23、BCD的面积为 8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把 ACD折起，则三棱锥D ABC的外接球的表面积等于_答案16解析设矩形的两邻边长度分别为a， b，则 ab 8，此时 2a 2b4 ab 82，当且.下载可编辑 .仅当 a b 22时等号成立，此时四边形ABCD为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为 2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2 的球面上，这个球的表面积2是 4×2 16.俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为_21答案66解析据三视图可知，该几何体是一个半球( 下部 ) 与一个四面体( 上部 )的组合体，其直观图如图所示，其中BA，

24、BC， BP两两垂直，且BA BC BP1， ( 半 ) 球的直径长为AC2，该几何体的体积为14AC311× · ·21半球 P ABC × ( ) × .V VV3232BA BC PB626三、解答题12(2013 ·福建 ) 如图，在四棱锥P ABCD中， PD平面 ABCD， ABDC，AB AD， BC 5， DC 3，AD 4， PAD60°.(1) 当正视方向与向量P ABCD的正视AD的方向相同时，画出四棱锥图 ( 要求标出尺寸，并写出演算过程) ；(2) 若 M为 PA的中点，求证：DM平面 PBC；(3) 求三棱锥D PBC的体积(1) 解 在梯形 ABCD中，过点 C作 CE AB，垂足为 E.由已知得，四边形ADCE为矩形， AE CD3，在 Rt BEC中，由 BC 5， CE 4，依据勾股定理得BE 3，从而 AB 6.又由 PD平面