误差分析与处理

1、第三章 误差分析与处理任何试验总是不可避免地存在误差，为提高测量精度，必须尽可能消除或减小误差，因此有必要对多种误差的性质、出现规律、产生原因，发现与消除或减小它们的主要方法以及测量结果的评定等方面作研究。误差的定义：绝对误差实测值真值 相对误差绝对误差/真值绝对误差/实测值误差的来源：测量装置误差（如标准量具、仪器、附件等） 环境误差（如温度、湿度、气压、振动、照明、重力场、电磁场等） 方法误差 人员误差误差分类： 系统误差 随机误差 粗大误差§3-1.随机误差 同一测量值在等精度情况下的多次重复，有可能会得一系列不同的测量值，每个值均有一定的误差，且无规律（但有一定的统计规律），

2、这样的误差称为随机误差。 产生原因：测量装置（精度、器件性能不稳定等）环境方面（湿度、温度、电压、光照、磁场等）人为因素：（素质、技能）随机误差一般不能消除，但通过统计平均可以减小，大多情况认为随机误差符合正态分布情况，即： 标准差（均方根误差），越小，精度就越高的大小只说明在一定条件下，等精度测量值的随机误差的概率分布情况。经n次等精度测量后的均方差为: （31）是第i次测量的误差。 是第i次测量值，是真值。当真值为未知时，应该说上式不能求得标准差。在有限次测量情况下，可用残余误差代替真值误差。, 是测量平均值,.是的残余误差。我们将作一些变形替换，并令，展开： 令为算术平均值的误差（当代入

3、时）上式又为 (32)所有项相加： 其中： 即算术平均值的误差 将（32）式平方后相加 （） （33） 将式 的 两边平方 当n足够大时，认为趋于零，将，代入（33）式 由（31）式可知 （34）式（34）称为Bessel公式，由残余误差求得单次测量的标准差的估计值。（根据我国通用计量名词及定义，对一列有限次n个测量值，应视为测量总体的取样，所求得的标准差估计值用代号s表示，以区别于总体标准差。这里对标准差估计值仍用，对实际测量时计算有限次测量值的标准差，则用代号s.）不等精度测量时，其随机误差的表达方式是不一样的，一般采用加权处理的方法，应让可靠程度大的测量结果在最后结果中占的比重大一些，可

4、靠程度低的比重小一些。在等精度测量中各个测得值认为同样可靠，并取所有测得值的算术平均值作为最后测量结果。权值取法：重复次数多的，一般可靠程度高，则用次数来确定权的大小。§3-2.系统误差一 原因同上。二 特点：在同一条件下，多次测量同一量值时，按一定规律变化的误差。如：不变的系统误差：符号和大小固定不变的系统误差，如量块10mm，实测为10.001mm,则0.001始终存在，用它去作连续测量，误差将是线性变化。又如周期变化：指针式仪表指针的回转中心与刻度量中心有偏值时，。三 系统误差的发现1 实验比对法采用不同条件或不同的测量方法，可发现不变的系统误差。如量块用更高等级精度量具进行比

5、对测量。2 残余误差观察法若测量列：系统误差：不含系统误差的值：则有 （1，2，）其算术平均值： 这里：其残余误差： ，将两式相减 （35） （），（）若系统误差显著大于随机误差，（不含系统误差的残差）可予忽略，则得到： 说明测量值残余误差，近视等于系统误差与测量值系统的平均值之差。也可将测量列的残余误差列表或作图，直观判断有无系统误差。若残余误差大体上是正负相间，则无根据怀疑有系统误差若残余误差值有规律地递增或递减，且在测量开始和结束是符号相反，则存在系统误差。若残余误差符号循环交替变化，则存在周期性系统误差。若存在图所示的变化规律时，则应怀疑同时存在线性系统误差和周期性系统误差。 残余误差

6、观察法只能发现有规律变化的系统误差，若系统误差是一个不变值，用残余误差法是发现不了的。3 残余误差校核法a. 用于发现线性误差取测量列中k个残余误差相加，再取 个残余误差相加，（当n为偶数时，取；当n为奇数时，取。然后两式相减 （36）将（35）代入 当n足够大时， ， （这是因为是不含系统误差的测量值与其本身的平均值之差，只有随机误差，但随机误差的均值随着测量次数的增加而趋于零。） 若两部分差值显著不为零，则有理由认为存在线性系统误差，这种方法又叫马利科夫准则。它能有效地发现线性系统误差。有时系统误差有，但零系统误差的平均值等于，此时也为零，所以对这种情况要注意。b. 用于发现周期性误差1)

7、.若有残余误差，其残余误差差值符号出现周期性正负号变化，则为周期性系统误差。2).统计准则判别这种方法只有当周期性系统误差是整个测量误差的主要成分时，才有实用效果。否则，差值的符号变化将主要取决于随机误差，而不能判断出周期性系统误差。此时，可采用下列判断准则令 若 （）则认为含有周期性系统误差。这种校核方法又称阿碑赫梅特准则。还有一些校核方法：如标准差比较法、数据比较法、秩和检验法、t检验法等。四 系统误差的减小和消除1 从根源上消除要分析测量系统的各个环节，最好测量前就将误差从根源上加以消除。如仪器的零位在测量开始和结束时都要检查。如果误差是有外界条件引起的，则应在外界条件稳定时再测量。2

8、用修正方法消除。已知误差表或误差曲线，可取与误差数值大小相同而符号相反的值作为修正值。§3-3.粗大误差 特征：数值比较大，对测量值产生显著的歪曲，一般应予以剃除。 判定准则：一准则 对一测量列，若各测得值只含有随机误差，则按随机误差的正态分布规律，其残余误差落在之外的概率为0.3%，即在370次测量中只有一次的残余误差，因此即认为是粗大误差。例：已知进行了15次等精度测量值如表所示，测量值中已消除了系统误差，试判别测量列中是否含有粗大误差的测量值。 15次等精度测量值序号lvv²(*10-³)vv²(*10-³)120.420.0160.24

9、50.0090.081220.430.0260.6760.0190.361320.40-0.0040.016-0.0110.121420.430.0260.6760.0190.361520.420.0160.2560.0090.081620.430.0260.6760.0190.361720.390.0140.196-0.0210.441820.30-0.1041.0816-920.40-0.0040.016-0.0110.1211020.430.0260.6760.0190.3611120.420.0160.2560.0090.0811220.410.0060.036-0.0010.0011

10、320.39-0.0140.196-0.0210.4411420.39-0.0140.196-0.0210.4411520.40-0.0040.016-0.0110.121由计算得到 根据准则，第八列测量值的残余误差0.104>0.099即它含有粗大误差，故可剔除。再根据剩下的14个测试值重新计算，得因此说明，剩下的14个测得值的残余误差均满足<3二t分布检验 设已测数据序列，若可疑为可疑数据，将其剔除后计算平均值（不含） 并计算标准差（也不含）， 根据测量次数n和选取置信度，查t分布的检验系数 则认为为粗大误差，剔除是正确的，否则应予以保留。上例中，首先怀疑第八测试值含有粗大误差

11、，若将其剔除，将剩下的14个测量值计算平均值和方差，得选取显著度已知n=15,查表得，则 故第八个测量值中含有粗大误差，应予以剔除。§3-4.函数误差的合成一 函数误差（间接测量误差）1 函数系统误差间接量是由若干直接测量的结果综合而成，函数关系已知： (3-7)这是一个多元函数，其增量的全微分为： (3-8)当直接量的系统误差均较小时，可用以替代微分量则上式可近似为 函数系统误差公式2 函数的随机误差函数的一般形式：为求得多个测量值的标准差，假设均进行了N次等精度测量，其随机误差分别为：按上式(3-8)有 (3-9)将(3-9)两边平方： (3-10)将(3-10)式全部相加，整理

12、 (3-11)将（311）的各项除以n，并简化：(3-12)第i个测量值与第j个测量值之间的误差相关系数 误差传递系数由于（312）是由各个测量值的标准差计算出函数的标准差，故称该式为函数随机误差公式。若多次测量值互相独立，即，相关系数为0 （313） 或 （314）（313）和（314）是常用的函数随机误差的传递公式。当误差相关系数很小时，也可采用（314），近似地作不相关处理，求函数的随机误差。3、 误差之间的相关关系和相关系数从式(312)中可以看出，当相关系数时，误差公式简化为： 其中 （315）当，则函数随机误差具有线性的传递关系当误差间相关性不能忽略时，必须先求出误差之间的相关系数

13、，然后才能进行误差合成计算。 由相关系数来衡量测量误差之间的相关关系，定义： （316）误差项与误差项的协方差分别为第项的标准差然后按其大小进行判别。通常在实际中，确定是比较困难的，一般用以下几种方法：a).试验观察法 对多组测量的对应值作图，将它与标准图形相比较，从而确定相关系数的近似值。图3-5b).简单计算法 将多组测量对应值在平面坐标上作图划点，然后作平行纵轴的直线A均分点子，再将直线B上下均分点数，并尽量使A、B线上无点，点阵为四部分，其点数分别为,可以证明其相关系数近似为： 其中 c).直接算法 根据多组测量的对应值（），按相关系数的定义直接计算 d).理论计算法用最小二乘法拟合曲

14、线公式来判别。§3-5.系统误差的合成一 已定系统误差的合成若有r个单项已定的系统误差，其差值分别为，相应的误差传递系数为则总的系统误差为 即为代数和实际测量中，已定系统误差是在测量过程中均已被消除。二 未定系统误差的合成对于某些影响较小的已定系统误差，有时也作为未定系统误差来处理1 未定系统误差的特征及评定其误差大小和方向未能确切掌握，只能或只需估计出其不致超过某一极限范围的系统误差。也就是说，在一定客观条件下存在某一系统误差，且一定落在所估计的误差区间内的一个取值，即使测量条件改变，误差区间仍为，取值可能是服从某分布形式，如正态分布、均匀分布，但要证明这种概率分布尚有待于进一步的

15、研究。特征： a：测量条件不变时，有一恒定值，因而不具有补偿性。 b：利用多次重复测量平均的办法，不能减小它对测量结果的影响。这一条也是与随机误差的主要差别。如，质量的标准器具砝码。砝码误差将直接代入测量结果，虽经检定但可能仍有误差，一旦经检定，其修正值就不变，由检定方法引入的误差也就被确定下来了，但误差的具体数值又未掌握，而只知其极限范围，因此属于未定的系统误差。对于同一质量的多块砝码，各修正值不一样，在一定范围内是随机取值。一般说，对一批量具、仪器和设备等在加工、装配或检定中，随机因素带来的误差是随机的，但对于某一具体的量具和仪器设备，随机因素带来的误差却具有确定性。若尚未掌握这种误差的具

16、体数值，则这种误差属未定系统误差。2、未定系统误差的合成未定误差的取值具有随机性，因此完全可以采用随机误差的合成公式来处理。a).标准差的合成 若有s个单项未定系统误差，某标准差分别为，其传递系数为（i=1、2.s），则有 当， b).极限误差的合成 各单项未定系统误差的极限误差为： ， 是置信系数则可得由概率论可知，算术平均值误差 ，当为正态分布时，算术平均值的极限误差表达式为t是学生分布的置信系数，是算术平均值的标准差。§3-6.系统误差与随机误差的合成 当测量值中存在各种不同性质的多项系统误差与随机误差时，应将其进行综合，以求总误差，并常用极限误差表示，有时也用标准差表示。 (

17、1).按极限误差合成若有 个已定的系统误差， 个未定系统误差，个单项随机误差，为计算方便，假设误差传递系数为1，则测量结果的总极限误差为： 是未定系统误差和随机误差的极限误差服从t分布的置信系数，R为各个误差间协 方差之和。当各个误差间互不相关时，R=0.(2).按标准差合成只需考虑未定系统误差与随机误差的合成问题。若有个单项未定误差， ， 个单项随机误差， 则总标准差 R各误差之间协方差之和。若互不相关，则R=0。3-7.误差的分配 本节要考虑的是在给定测量误差的允差来选择测量方案，合理分配误差，以定各单项误差，即保证测量精度又有较好的经济性。如设计制作测量装置时，各个环节的误差分配。选择测

18、量系统各环节的精度等。常用的分配原则有：一 按等作用原则分配误差认为各部分误差对总误差的影响作用是相等的，如函数误差公式（315）： （其中）分配时应满足 取 ， （317）若用极限误差来表示： ， 为总的极限误差二按可能性调整误差 一般测量系统有多个环节，若用同一精度去要求，势必会造成经济性问题，如有的环节为了达到误差要求，势必要用昂贵的高精度仪器，或要付出较大的劳动。因此在这些环节作适当放宽处理，而在其它环节再作调整。必要时，可对有些环节作加权处理。另一方面，从（317）可以看出，即使各部分误差一定时其测量值的误差与其传递系数成反比，所以，各部分误差相等，其测量值的误差并不相等，有时相差很

19、大。因此，对难以实现测量误差的环节，其误差适当扩大，对容易实现测量误差控制的环节，其误差尽可能缩小。这种实现误差总量控制的原则是一种经济实用的方法。三 小误差取舍准则一般情况，时的项可舍去。精密测量时，时的项可舍去。上述条件表明：对于随机误差和未定系统误差，微小误差取舍准则是被舍去的误差必须小于或等于测量值总误差的1/3至1/10。 如选择测量仪器，当选择高一级精度的标准器具时，其误差应为被检器具允许总误差的1/101/3左右。四 最佳测量方案的确定一般函数的标准差为 从中可看出：1 选择最佳函数误差公式该函数公式中的间接测量项目数量最少，这样误差项也是最少。2 使误差传递系数等于零或为最小从

20、上式可知，若使或为最小，则总误差也将减小。虽然在实际中的可能性不大，或根本达不到，但却指出了达到这种最佳测量方案的途径。§3-8.测量不确定度（Uncertainty in Measurement）一基本概念测量的正确度：测量结果与被测量值之间的一致程度。它是描述测量结果质量的术语。在实际使用中，可以说某测量结果准确度高或低，如某仪器的准确度为1.0级，但不能说，某测量结果准确度为0.25%，某仪器的准确度为6mm等。测量不确定度：指测量结果变化的不肯定，表征被测量的分散性，是测量结果所含有的一个参数。测量不确定度是定量描述测量结果质量的指标一个完整的测量结果应包含两部份：被测量的估

21、计值以及分散性参数，如：被测量： 为估计值，即为不确定度1990年前后，开始使用不确定度概念于测量学中，但其含义与表述方法尚缺乏一致性。1993年国际标准化组织牵头的7个委员会（国际标准化组织（ISO）,国际计量局（BIPM）、国际法制计量组织（OIML）、国际电工委员会（IEC），国际理论化学与应用化学联合会（IUPAC）,国际理论物理与应用物理联合会（IUPAP）,国际临床化学委员会(IFCC)等）联合发布了测量不确定表示指南(Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement)，简称GUM。1995年又发布了其修订版，从而被世界上大

22、多数国家所采用。我国1999年5月1日，由国家质量技术监督局正式颁布测量不确定度辨别与表示（JJF10591999），标志我国正式全面推广GUM，它是计量确认与认证、精密测量、产品检验和国际贸易等领域的重要基础文件，是评定试验数据可靠性、可信比、可比性等质量指标的重要依据。关于测量不确定度与误差的特征比较测量不确定度误差相同点评价测量结果质量的重要指标同左不同点1.以被评价的估计值为中心以真值或者约定真值为中心2.是反映我们对测量认识不足的程度，误差是一个理想概念，一般不能准确知道是可以定量评定的3.不按性质分类，只按评定方法评定误差有分类，并可采取不同措施来减小或消除。（A或B类），因此简化

23、了分类，便于各类误差界限难定，在判别计算时不易准确掌计算握。有关系点是对经典误差理论的一个补充，易理解是不确定度的基础，只有对误差的性质、分布易评定，具有合理性和实用性规律等有充分的了解，才能更好地估计不确定度 二 标准不确定度的评定标准不确定度：用一倍标准差表征的不确定度，评定方法：1).A类评定（标准不确定度）通过一系列观察值数据的统计分析来评定的方法称为A类评定。若用表示不确定度，取（为标准差），则，若是取决于个变量，则的标准不确定度取决于的估计值的标准不确定度。评定方法：1） 评定 保持不变条件下，仅对进行n次等精度独立测量，用统计方法，由n个观察值求得单次测量标准差，则的不确定度。2

24、). 如果用n次测量的平均值作为的估计值，则的不确定度。2B类评定（标准不确定度） 不用统计分析方法而是基于估计的概率分布或分布假设而得到标准不确定度（要有先验知识） 假设的估计值为，其影响可能变化的全部信息有：以前的测量数据、经验和资料；有关仪器和装置的一般知识；制造说明书和检定证书或其它报告提供的数据；由手册提供的参考数据等。B类评定法：可根据经验或其它信息来估计，也可用近似的，假设的“标准偏差”来表征。如：1).当估计值受到多个独立因素影响，且影响大小相近，并假设为正态分布，则由所取的置信概率的分布区间半宽a与包含因子来估计标准不确定度，即： 正态分布下置信概率与包含因子关系：%5068

25、.27909595.459999.730.671（）1.6451.962()2.5763()2).根据已知信息，估计值落在区间内的概率为1，且在区间内各处出现机会相等，则服从均匀分布，其标准不确定度为： 3).当估计值受到两个独立且都是均匀分布因素影响，则服从在区间内的三角分布，其标准不确定度为：3 标准不确定度评定时的自由度（查分布时要用到）由数理统计可知，在n个变量的平方和中，如果n个之间有个独立的线性约束条件，即n个变量中只有个为独立变量，则平方和的自由度为个。a). A类 对A类，其自由度，即为标准差的自由度。如用通常的方法其自由度b).B类 由估计的相对标准差来确定自由度，定义为：评

26、定的标准差， 为评定的相对标准差。当，则，则的评定非常可靠。三 测量不确定度的合成其基本方法与误差合成相类似。如被测量，其估计值由N个其它量测得的值的函数求得： 由各直接测得值的测量标准不确定度为，它对被测量估计值影响的传递系数为，则由引起被测量的标准不确定度分量为： ， 合成的不确定度: 当不确定度相互独立，即时： 当综合的项有N项，其中n项为A类不确定度，m项为B类不确定度，分列为：和则按方和根法，综合不确定度为 结果表达为：四 展伸（扩展）不确定度标准不确定度仅对应于标准差，其它表示的测量结果，含被测量的真值的概率在区间内仅为68%，然而实际中，如高精度比对，一些与安全生产，身体健康有关

27、的测试量，要求测量结果包含被测量真值的置信概率较大，即给出测量结果置信区间的范围更宽，使被测量的值大部分在其中，为此需要扩展不确定度来表示测量结果。扩展不确定度由合成标准不确定度乘以包含因子得到，记为U,其范围区间取决于 ， (当为标准正态分布时，) 用展伸不确定度作为测量不确定度时，其测量结果表示为 Y=y±U包含因子由t分布的临界值给出时，即（当正态总体的方差未知时构造的统计量t（与、s有关的量）服从自由度n1的t分布）： 由给定置信概率P与自由度查t分布表，得到。当各不确定度分量相互独立时，合成标准不确定度的自由度由下式计算： 当无法确切知道每个分量的自由度时，为了求得展伸不确

28、定度，一般包含因子取23。五 测量不确定度应用示例一般计算步骤：1).分析来源，列出对测量结果显著影响的不确定度分量2).评定其分量和自由度3).分析相关性，确定相关系数4).求测量结果的合成标准不确定度及自由度5).需要时，给出展伸不确定度，即合成标准不确定度乘以包含因子，得6).给出测量结果，或例31： 电压测量的不确定计算1 测量方法标准数字电压表在标准条件下，对10V直流输出电压进行独立测量10次，测得值如下：n1234567891010.00010710.00010310.00009710.00011110.00009110.00010810.00012110.0000110.0001110.0