解析几何吕林根课后习题答案

1、第一章 矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. 解：（1）单位球面； （2）单位圆 A F B E C （3）直线； （4）相距为2的两点2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、 、O、 、和中，哪些矢量是相等的？解：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的矢量对是： 图1-1 3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N

2、分别是边、 的中点，求证：. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？证明：如图1-2，连结AC, 则在DBAC中， KLAC. 与方向相同；在DDAC中，NMAC. 与方向相同，从而KLNM且与方向相同，所以. 4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：图13(1) 、; (2) 、; (3) 、; (4) 、; (5) 、. 解：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。 §1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量应满足什么条件？（1） （2）（3） （4）（5）解：（1

3、）所在的直线垂直时有； （2）同向时有 （3）且反向时有 （4）反向时有 （5）同向，且时有§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题 化简 已知，求，和 从矢量方程组，解出矢量，解 ， ， 2 已知四边形中，对角线、的中点分别为、，求 解 3 设，证明：、三点共线 证明 与共线，又为公共点，从而、三点共线 4 在四边形中，证明为梯形 证明 ，为梯形6. 设L、M、N分别是ABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量, , 可 以构成一个三角形. 证明： 从而三中线矢量构成一个三角形。7. 设L、M、N是ABC的三边的中点，O是任意一点，证明+=+. 证明 = 由上题结论知： 8.

4、 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明+4.图1-5证明：因为(+), (+),所以 2(+)所以+4.9 在平行六面体（参看第一节第4题图）中，证明 证明 10. 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半 证明 已知梯形，两腰中点分别为、，连接、 ， ， ，即 ，故平行且等于 11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分. 证明：如图1-4，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点图1-4但 由于而不平行于， ，从而OA=OC，OB=OD。12. 设点O是平面上正多边形A1A2An的中心，证明:+.证明：因为l,l,+l,l

5、,所以 2(+)l(+),所以 (l2)(+).显然 l2, 即 l20. 所以 +.13在12题的条件下，设P是任意点，证明：证明： 即 §1.4 矢量的线性关系与矢量的分解1在平行四边形ABCD中，（1）设对角线求解：设边BC和CD的（2）中点M和N，且求。解： 2在平行六面体ABCD-EFGH中，设三个面上对角线矢量设为试把矢量写成的线性组合。证明：， ， 图1-73. 设一直线上三点A, B, P满足l(l¹1),O是空间任意一点，求证：证明：如图1-7，因为,所以 l (),(1+l)+l, 从而 .4. 在中,设.(1) 设是边三等分点,将矢量分解为的线性组合;

6、（2）设是角的平分线(它与交于点),将分解为的线性组合解：（1）， ，同理（2）因为 ,且 与方向相同，所以 .由上题结论有.5在四面体中，设点是的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量的分解式。解：是的重心。连接并延长与BC交于P同理 C O （1） G P （2）A B （3） （图1）由（1）（2）（3）得 即6用矢量法证明以下各题（1）三角形三中线共点证明：设BC，CA，AB中，点分别为L，M，N。AL与BM交于，AL于CN交于 BM于CN交于，取空间任一点O，则 A A 同理 N M B L C 三点重合 O 三角形三中线共点 （图2） （第3页）7已知矢量不共线，问与是否线性相关？证

7、明：设存在不全为0的，使得即 故由已知不共线得与假设矛盾， 故不存在不全为0的，使得成立。所以线性无关。8. 证明三个矢量+3+2, 46+2，3+1211共面，其中能否用,线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.证明：由于矢量, , 不共面，即它们线性无关. 考虑表达式 l+m+v，即l (+3+2)+m (46+2)+v (3+1211),或 (l+4m3v) +(3l6m12v) +(2l+2m11v) .由于, , 线性无关，故有解得 l10，m1，v2.由于 l10¹0，所以能用,线性表示.9证明三个矢量共面。证明： 三个矢量线性相关，从而三个矢量共面。l(),所以 l,从

8、而 /.故 A，B，C三点共线. §1.5 标架与坐标3. 在空间直角坐标系O;下，求P(2,3,1)，M(a, b, c)关于 (1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标.解：M (a, b, c)关于xOy平面的对称点坐标为(a, b, c)，M (a, b, c)关于yOz平面的对称点坐标为(a, b, c)，M (a, b, c)关于xOz平面的对称点坐标为(a,b, c)，M (a, b, c)关于x轴平面的对称点坐标为(a,b,c)，M (a, b, c)关于y轴的对称点的坐标为(a, b,c)，M (a, b, c)关于z轴的对称点的坐标为(a

9、,b, c).类似考虑P (2,3，1)即可.8. 已知矢量, , 的分量如下：(1) 0, 1, 2，0, 2, 4，1, 2, 1；(2) 1, 2, 3，2, 1, 0，0, 5, 6.试判别它们是否共面？能否将表成，的线性组合？若能表示，写出表示式.解:(1) 因为 0,所以 , , 三矢量共面, 又因为, 的对应坐标成比例，即/，但，故不能将表成, 的线性组合. (2) 因为 0,所以 , , 三矢量共面.又因为 , 的对应坐标不成比例，即，故可以将表成, 的线性组合.设 l+m, 亦即0, 5, 6l1, 2, 3+m2, 1, 0从而 解得 l2，m1,所以 2.7已知A,B,C

10、三点坐标如下：（1）在标架下，（2）在标架下，判别它们是否共线？若共线，写出和的线形关系式.解：（1）因为 所以 共线（2）设，但不存在所以不共线.得 所以 .9. 已知线段AB被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A与B的坐标.答 A(-1,2,4),B(8,-4,2).10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.证明：设四面体A1A2A3A4,Ai对面重心为Gi, 欲证AiGi交于一点(i1, 2, 3, 4).在AiGi上取一点Pi，使3, 从而，设Ai (xi, y

11、i, zi)(i1, 2, 3, 4)，则G1,G2,G3,G4,所以P1(,)ºP1(,).同理得P2ºP3ºP4ºP1，所以AiGi交于一点P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍.§1.6 矢量在轴上的射影1已知矢量与单位矢量的夹角为，且，求射影矢量与射影，又如果，求射影矢量与射影.解 射影= 射影矢量= 射影= 射影矢量=2试证明：射影l(ll+ln)l1射影l+射影l+ln射影l.证明：用数学归纳法来证.当n2时，有射影l(l1l2)射影l()+射影l()l1射影l+l2射影l.假设当nk时等式成立，即有射影l()l1射影l+

12、lk射影l. 欲证当nk+1时亦然. 事实上射影l()射影l()+射影l()+射影l()l1射影l+lk射影l+lk+1射影l故等式对自然数n成立.§1.7 两矢量的数性积1证明：（1） 矢量垂直于矢量；（2）在平面上如 果，且× (i=1,2)，则有.证明：（1） =矢量垂直于矢量 （2） 因为 ,所以，对该平面上任意矢量lm,()×()(lm)l()+m()l()+m()0,故 ().由的任意性知 .从而 .2已知矢量互相垂直，矢量与的夹角都是，且计算： 解： 计算下列各题 （1）已知等边的边长为且求； 已知两两垂直且 求的长和它与的夹角 已知与垂直，求的夹角

13、 已知 问系数取何值时与垂直？ 解 且 设 设与的夹角分别为 ， ，即 ，即 得： 得： 页后 图1-114. 用矢量法证明以下各题：(1) 三角形的余弦定理 a2b2c22bccosA;(2) 三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.证明：（1）如图1-21，ABC中，设,，且|a，|b,|c. 则,2()22+22×2+22|cosA.图1-12此即 a2b2+c22bccosA.(2) 如图1-22，设AB, BC边的垂直平分线PD, PE相交于P, D, E, F为AB, BC, CA的中点, 设, , , 则, , , (+), ().因为 , ,所以 (+)()(2

14、2)0,(+)()(22)0,从而有 222, 即 |2|2|2,所以 ()()(22)0,所以 , 且 |.故三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距. 已知平行四边形以1，2，-1，1，-2，1为两边 求它的边长和内角 求它的两对角线的长和夹角 解： 或，. 已知的三顶点试求：三边长 三内角 三中线长 角的角平分线矢量（中点在边上），并求的方向余弦和单位矢量 解： ， = ， 设它的单位矢量为，且 =§1.8 两矢量的失性1.已知,试求: 解: 4.原式= .原式=92. 证明：（1）(´)22×2，并说明在什么情形下等号成立.（2） 如果+，那么

15、0;´´，并说明它的几何意义.如果,.那么与共线. 如果 那么, 共面. 证明: （1） (´)2|´|2|2|2sin2Ð(,)|2|22×2.要使等号成立, 必须sin2Ð(,)1, 从而sinÐ(,)1, 故Ð(,)，即当时，等号成立.（2）由+, 有 (+)´´, 但 ´，于是 ´+´,所以 ´´.同理 由 (+)´, 有 ´´,从而 ´´´.其几何意义是以三角形的任二

16、边为邻边构成的平行四边形的面积相等.()()= = 与共线. =0 0 共面 3. 如果非零矢量(i1,2,3)满足，´，´，那么,是彼此垂直的单位矢量，并且按这次序构成右手系.证明：由矢性积的定义易知,彼此垂直，且构成右手系. 下证它们均为单位矢量.因为 ´，´,所以 |, |,图1-13所以 |2|.由于 |¹0，从而 |21，|1.同理可证 |1，|1.从而,都是单位矢量.4.已知: ,求与,都垂直,且满足下列条件的矢量: 为单位矢量 ,其中. 解: 设.=0 =0 =1 由,得: 设. =10 由, 得: .5. 在直角坐标系内已知三点

17、,试求: 三角形的面积 三角形的三条高的长. 解: , , =, . . , , . , , . 6.已知: , 试求: 以为边的平行四边形的面积. 这平行四边形的两条高的长. 解: . 7. 用矢量方法证明：（1）三角形的正弦定理.（2）三角形面积的海伦(Heron)公式，即三斜求积公式：D2p(pa)(pb)(pc).式中p(a+b+c)是三角形的半周长，D为三角形的面积.证明： (1) 如图1-13，在ABC中，设，且|a，|b, |c, 则 +,从而有 ´´´,所以 |´|´|´|,bcsinAcasinBabsinC,于是

18、.(2) 同上题图，ABC的面积为D|´|,所以 D2(´)2.因为 (´)2+(×)222,所以 D222(×)2.由于 +,从而 +，()22,所以 (222)(c2a2b2),故有 D2a2b2(c2a2b2)22ab(c2a2b2)2ab+(c2a2b2)(a+b)2c22(ab)2(a+b+c)(a+bc)(c+ab)(cab) ×2p×(2p2c)(2p2b)(2p2a).所以 D2=p(p-a)(p-b)(p-c),或 D=.§1.9 三矢量的混合积1. 设, , 为三个非零矢量，证明(3) (, , +l+m) =(, , );(4 ) (, , ) =2(, , ).证明：(1)左端=(´)×(+l+m)=(´)×+(´)×(l)+(´)×(m)=(´)×+l(´)×+m(´)×=()+l()+m()=()=右端.(2) 左端=(+)´(+)×(+)=´+´+´×(+)=(´)