运筹学复习例题

1、1.某制药厂在计划期内要安排生产、两种药品，这些药品分别需要在四种不同的设备上加工按工艺规定，每千克药品和在各台设备上所需要的加工台时数如表1已知各设备在计划期内有效台时数（1台设备工作1小时称为1台时）分别是12、8、16和12该制药厂每生产1千克药品可得利润200元，每生产1千克药品可得利润300元表1 两种药品每千克在各台设备上所需的加工台时数药品21402204（1）问应如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？分别利用软件和最终单纯型表回答剩余问题。解 设，分别表示在计划期内药品和的产量（千克），表示这个期间的制药厂利润则计划期内生产、两种药品的利润总额为（元）但是生产、两种药品在设备

2、上的加工台时数必须满足；在设备上的加工台时数必须满足；在设备上的加工台时数必须满足；在设备上的加工台时数必须满足；生产、两种药品的数量应是非负的数，即于是上述的问题归结为：目标函数 约束条件 单纯型法求解：首先将线性规划问题标准化，即在约束条件中引入松弛变量、，则标准化后的线性规划模型为： 此时约束方程组已为典型方程组，根据上述线性规划模型可以列出初始单纯形表（表2-4）：表2-4 单纯形法求解例2-1（1）2003000000022100012601201008404000101600400011232003000000=0表2-4中： 为典型方程组中变量的系数，为规划中出现的变量，为变量在

3、目标函数中的系数，为基本变量，为基本变量在目标函数中的系数，为典型方程组右端常数项（非负值），为确定出基变量的商值， （），为变量的检验数，为此时目标函数值，根据初始单纯形表可以看出：初始基本可行解是，此时目标函数值0检验数200200 300300 =0（基本变量的检验数总等于零）由于，所以初始基本可行解非最优解又由于，所以确定为进基变量进一步求最小值：即从第4个方程中算出的商值最小，而第4个方程中的基本变量是，于是为出基变量表中给第4个约束方程中的系数4加上方括号以突出其为枢元接下去的工作是将取代，表2-4中的约束方程化为以、和为基本变量，和为非基本变量的典型方程，以便求出新的基本可行解从

4、表2-4中可以看到，只需对方程组实行初等变换，使枢元位置变成1，而枢列中的其它元素变为零（即以枢元为中心的初等变换）就可以了此处可先将第4个方程除以4，使枢元位置变成1；然后用新得到的第4个方程乘以（-2）后分别加到第1个和第2个方程上，使枢列中的第1个和第二个方程所在位变为零这样我们可以得到新的单纯形表（表2-5）表2-5给出的新的基本可行解是0，3，6，2，16，0此时目标函数值900检验数200-200 0- =0（基本变量的检验数总等于零）表2-5 单纯形法求解例2-1（2）2003000000020100630100102204000101643000100032000000-75=

5、900由于，所以此时基本可行解非最优解，确定为进基变量进一步计算最小值：即从第2个方程中算出的商值最小，而第2个方程中的基本变量是，于是为出基变量接着进行第二次迭代，将取代，表2-5中的约束方程化为以、和为基本变量，和为非基本变量的典型方程，以便求出新的单纯形表重复单纯形法计算第2 步第5步，一直到没有新的非基本变量可以改善目标函数为止（见表2-6和表2-7）表2-6 单纯形法求解例2-1（3）20030000000001-20242001001020000-4128430001000312000-200025=1300表2-7 单纯形法求解例2-1（4）20030000000001-1002

6、001000040000-21430001002000-1500=1400表2-7中：目标函数值=1400检验数=0-=-150 =0-= =0（基本变量的检验数总等于零）由于，所以此基本可行解，即为最优解，最优值为Z*1400与前面图解法求解结果一致为了加深对单纯形法基本思想的理解，不妨将表2-4、表2-5、表2-6、表2-7和图2-1进行对照，可以发现表2-4给出的基本可行解对应于图中可行域顶点0，表2-5给出的基本可行解对应于顶点，表2-6给出的基本可行解对应于顶点，表2-7给出的最优解对应于顶点线性规划问题有无穷多个可行解，应用单纯形法可以高效率地求解此类问题（2）药品的价格在什么范围

7、内变动，不影响原来的生产计划安排，但制药厂收益变化了设基本变量在目标函数中的系数变化了；这时表2-7的最终计算表便成为表2-16所示表2-16 基本变量利润系数变化的灵敏度分析20030000000001-1002001000040000-214300010020000=14002这时要保持最优解不变，则必须满足下列不等式：-150-=-150-0-=-0 即可在0,400间变动，不影响原来的生产计划安排，但制药厂收益变化了（3）设备C在计划期内有效台时数在什么范围内变动时，原来最优解的基本变量不变，但最优解的值发生变化第三个约束条件发生变化，变化量为，为了使最后的解仍为可行解，应满足下列不等

8、式：所以在8,0之间变动时（即的变化范围在8,16时），原来最优解的基本变量不变，但最优解的值发生变化例如，为2时（即14），则最优解*，最优值*1375，见表2-17表2-17 右端常数变化后的最优解20030000000001-10200100000000-2133000100000-1500=1375如果的变化超出了8,0的范围，这时最优解的基本变量就发生变化在这种情况下要用对偶单纯形法继续求出新的最优解例如为2时（即18），则则最终单纯形表变为表2-18表2-18 右端常数变化后的对偶单纯形法求解20030000000001-10200100000000-2153000100000-1

9、500=142515050000-44102200101-10040002-401430001100200-50-10000=1400新的最优解*，最优值Z*1400（4）若计划生产的药品的工艺结构有了改进，相应地生产单位药品所需设备的台时改为（3,2,5,2），它的利润也提高到每千克400元试分析已求得的最优计划有何变化？解 当的系数列向量变化后,原最终单纯形表（表2-7）中的系数列向量变成: =原最终单纯形表变成表2-19：表2-19 决策变量系数改变对最优解的影响（1）4003000000001-10040000004000-2143001002由的系数列向量可知，到此尚未完成行变换，所

10、以需继续使的系数列向量变成单位列向量，于是得到表2-20表2-20 决策变量系数改变对最优解的影响（2）40030000000001-10400100000000-213000100000-150-200=1520因为0，所以新的最优解，最优值*1520元.（5）设该制药厂除生产药品、以外，还有第三种药品可供选择生产药品每千克需要使用设备的台时分别为3，2，6，3；每千克可得利润500元问该制药厂的计划中要不要安排这种药品的生产，若要安排，应当生产多少？解 设表示计划期内生产药品的数量（单位为千克），则原最终单纯形表（表2-7）中增加了一列,这新的一列为：= 将新增一列列入原最终单纯形表中，计

11、算检验数，见表2-21由于此时相应的检验数为正值，所以此单纯形表给出的基本可行解不是最优解，继续用单纯形法求解结果，最后得最优解，最优值*1650元，比原计划增加了利润250元表2-21 增加变量的灵敏度分析20030000005000001-1002001000040000-21242300010028000-1500125=140000010120010001500000-1123000100000-250=1650（6）若制药厂为了提高药品质量，考虑给药品、增加一道精加工工序，并在设备上进行、两种药品分别需要的加工台时数为（2，2.4）已知设备的计划工作时间为12个台时，试问增加一道精加

12、工工序后，对原计划有何影响？解 上述问题相当于在原问题的基础上增加了一个约束条件 设为新增的松弛变量，则得到原最终单纯形表（表2-7）新增一行和一列，见表2-22此时原最终单纯形表中的和的系数列向量不再是单位向量了，所以继续进行行变换在行变换后得到的新单纯形表中，检验数均小于等于零，但右端项出现负值，所以可用对偶单纯形法继续运算最后得最优解，最优值*1350元表2-22 增加约束条件的灵敏度分析200300000000001-100020010000040000-21043000100020200001120001-100020010000040000-21043000100020000010

13、00-1500012500010012001000030000-5012300010000000610-54000-7500=13502. 某医院有一批长度为15分米的胶皮管原料为了作输液管、止血带和听诊器胶管，需要截成长度分别为5.7分米，4.2分米和3.1分米的短管各100根，100根和200根试问应如何安排截法，所用的胶管原材的总根数最少，而且每根料头不能超过2分米？解 先分析一下截取短管的方法如果先考虑尽输液管截，然后考虑尽止血带截，再考虑尽听诊器胶管截，则截取的方法如下表2-23：表2-23 短管截取方法截法输液管止血带听诊器胶管总长（分米）料头（分米）5.7（分米）4.2（分米）3

14、.1（分米）120114.50.5212014.10.9311113.02.0410315.00.0502214.60.4601313.51.5为了得到短管5.7分米100根，4.2分米100根和3.1分米200根，需混合截取原料令表示第种截法所用原材的根数，得到如下线性规划模型： ，且为整数在上述约束条件中添加人工变量、，得到其典型方程组： ，且为整数用大法求解，如表2-24因为非基本变量的检验数为0，所以有多重最优解，其中一个最优解为*，最优值为*=110即按第2种方法截取40根原材，按第4种方法截取60根原材，按第5种方法截取10根原材，总共截取110根原材表2-24 大法求解短管截取问

15、题 1111112111001001001000210210101001013230012001-3M1-3M1-3M1-4M1-4M1-4M000=400M10-11002102101100501011001-3M0000=M110-10003110101101000 01-3M0=100+M11100401-10011011010600000*=1103. 医院放射科目前可以开展线平片检查和检查业务，现拟购买磁共振仪，以增设磁共振检查业务为此医院收集了有关信息，以决策是否购买磁共振仪经过资料收集，医院估计今后放射科如果开展此3项业务，在现有放射科医务人员力量和病人需求的情况下，每月此3项业

16、务的最多提供量为1800人次平均每人次检查时间、每月机器实际可使用时间、平均每人次检查利润如下表2表2 放射科3项检查时间与利润及机器可使用时间放射科业务项 目线平片检查检查磁共振检查平均每人次检查时间（小时/次）0.10.250.5每月机器实际可使用时间（小时）300120120平均每人次检查利润（元/次）206010设每月线平片检查、检查和磁共振检查的业务量分别为,和人次，则使医院放射科此3项业务收入最多的线性规划模型如下： 利用单纯形法可得最终单纯形表（见表2-26）表2-26 放射科业务安排最终单纯形表20601000000x4001016860x201004004800x600001

17、012020x11010-401132000-100-1600-20*=55200最优解*，最优值*55200从最终单纯形表上可读出如下信息：1医院从放射科收益的角度考虑，不应购买磁共振机.2在每月线平片检查和检查业务量各为1320人次和480人次时，放射科利润最大，达55200元3在最优业务安排情况下，每月光机仍有168小时未实际利用，故它的影子价格为0元/小时；每月机可使用的时间已完全利用，它的影子价格为160元/小时，如果市场上能租到机的价格低于影子价格160元/小时，那么就应当租用机，增加检查业务，以求得更高的利润如果医院购买了磁共振机，而在最优业务安排情况下，并无利用，所以其影子价格

18、为0元/小时4在最优业务安排情况下，每月线平片检查和检查的服务量已达到现有医务人员服务提供和病人需求的最大量医院如果想通过从人才市场上聘用医务人员以增加放射科的服务能力，并通过宣传扩大病人对其医院医疗服务（包括放射科业务）的需求，则只有当增加一个病人的服务量所需额外增加的人员招聘费和宣传费低于20元时，才是适宜的，可使放射科的利润更高4. 某省医疗队从A1、 A2 、A3三所省级医院抽调骨干医护人员配备必要设备去B1、B2、B3、B4四个贫困县进行巡回医疗扶贫，各医院抽调的人数、各县需要人数、以及从医院到各县的人均（包括设备交通）费用如表3所示，问如何安排可使总费用最小？表3 运输问题的人均费

19、用表B1 B2 B3 B4医院抽出人数人均费用（单位：百元） A1 A2 A3 县需求人数2 9 10 7 9 1 3 4 2 58 4 2 5 73 8 4 6 （1）西北角法 所谓西北角法就是从表3-4的左上角第一格开始安排运输计划 方法是：取其对应医院抽出数与县城需要数的最小值作为初始基本可行解的第一个分量值（） 这样第一列的需求已经满足，用线划去第一列，再看第二列、第一行，由于抽出数还有9-3=6，与B2的需求数8比较，取最小值6（）填入该格 依此次序进行，即可得到第一个基本可行解，见表3-4 表3-4 运输问题作业表西北角法县城医院B1B2B3B4医院抽出人数A132691079A2

20、1342523A38425716县需人数3846（2）最小费用法 西北角法的优点是简单、易实现，但没有考虑最小费用 可能要经过许多次迭代才能得到最优解 而最小费用法的基本思想是就近供应， 优先考虑最小单位运费对应的， 这样得到的方案会更接近最优方案以例3-1来说明具体步骤表3-5 运输问题作业表最小费用法县城医院B1B2B3B4医院抽出人数A1291079A213425A38 4257县需人数3846在运输表3-5中，单位运费最小的是. 这个格子处于A2行B1列，因而最多可供5人，但需求量为3人，于是，在这个格子里填上尽可能大的数是. 这个格子填上数后，B1的要求满足了，可用线划去该列.于是只

21、需考虑B2、B3、B4的需求. 从表3-5看到，在未划线的格子中最小者是. 任选一个，比如考虑所在的格子. 此处的供求情况是：最多可供7，但最多需要4. 于是应填入的数是. 这样B3的需求也满足了，用线划去该列.后面只需考虑B2和B4的需求. 这时最小的cij（c11，c13）是c24=2. 此处，最大可供量为53=2（c21处已占用了），需求量为6，从而应令. 这时A2的供应量用完了，用线划去该行. 后面只需考虑A1和A3的供应、B2和B4需求了，这样依次分析下去，便得到：将上述六个数填在运输表内（为了与其它数字相区别，用圈号标记），其余为非基变量取0值，就可作为初始调运方案（见表3-5）.

22、 从表3-5容易算出，这个初始方案的总运费是 59+47+31+22+34+42 =100（百元）， 即10000元. （3）以上两种方法在求初始基可行解时，均会遇到一些特殊情况，一般称为“退化”. 大致有两种情况：当选定元素后，发现该元素所在行的供给量等于需求量时，此时只能划去一行或一列，不能同时划去. 当选定元素后，发现对应供给量和需求量均为0，那么，此时仍应把作为基变量，把0值填入相应格子中（即基变量取0，退化）. （二）最优性检验上面已经得到初始基可行解，那是否为最优解呢？需要验证. 依单纯形法原理，要求出各变量的检验数；由于基变量的检验数恒为0，所以只要求出非基变量的检验数. 另外运

23、输问题是极小化的线性规划问题，只要检验数全部非负即达最优解. 在表上作业法中常有闭回路法和位势法. （1）闭回路法 我们试从定义出发计算检验数. 先看的检验数，分析一个闭回路（表3-6中虚线所示）. 由于供求条件的限制，当从0增加到1时，将引起连锁反应：减少1，增加1，减少1. 于是根据检验数的定义得到=1c11+（-1）c21+1c24+（-1）c14= c11-c21+c24-c14=2-1+2-7= -4，即每增加1个单位，将使运费减少4个单位，这说明初始解非最优. 类似地，我们可以求出其他非基变量的检验数，但是，一般说来这种求检验数的方法是比较繁琐的. 例如，求的检验数时，必须考虑下面

24、那样的复杂闭回路(表3-6中实线所示)表3-6 运输问题作业表县城医院B1B2B3B4医院抽出人数A1x11291079A213425A3 x318 4257县需人数3846（2） 用位势法 位势法又叫U-V法，它是由解运输问题的对偶问题引出来的. 平衡型运输问题的对偶问题为：对偶模型里的变量与个供应约束方程对应，与个需求约束方程对应，分别称它们为原问题变量的行位势和列位势. 定理3-2 运输问题的决策变量的检验数. (证明略)由于基变量的检验数等于0，所以对于基变量有： . 而平衡型运输问题中的基变量个数为，从而得到个类似这样方程构成的方程组. 但它有个未知量，要解出这个方程组，必须给其中一

25、个自由未知量赋值，比如令（这样不会影响结果），就可求出所有变量的位势，进而算出所有非基变量的检验数. 仍用例3-1来说明具体求法. 对于最小费用法得到的初始基本可行解（见表3-5），得到方程组 令 ，解得：计算非基变量的检验数：，与闭回路法结果一致，其它检验数可类似求出填入作业表中，用（ ）圈起来，见表3-7. 表3-7 运输问题作业表位势法求检验数县城医院6977医院抽出人数 B1 B2B3B40 A1（-4）291079（3）-5 A213425（-1）（2）-5 A3（7）8 4257（3）县需人数3846从表3-7可以看出，x11的检验数=-4（与前面用定义求得的结果是一致的）是所有检

26、验数中负值最小者. 这说明应当让x11进基，以改进表3-5中的初始方案. （三）用闭回路法调整运输方案改进基本可行解 如果经过检验所得的解不是最优的，就需要对基变量进行迭代. 前面已经有选取进基变量的规则，即在所有非基变量中取检验数是负值最小者为进基变量. 下面，用闭回路法选取出基变量及基变量取值的调整量，以实现解的改进. 步骤是： 找出入基变量所在的闭回路，并以该变量所在格为起点，沿闭回路顶点依次交替把它们所取的值前面加“+”、“-”号. 如表3-8所示； 所有被标“-”号格子中变量取值最小者作为出基变量，即被标“-”号的圆圈中数字最小者：. 在表3-8中. 表3-8 基变量迭代调整表县城医

27、院6977医院抽出人数 B1 B2B3B40 A1+（-4）291079（3）- -5 A213425- （-1）（2）+ -5 A3（7）8 4257（3）县需人数3846表3-9 迭代后的运输方案表县城医院2977医院抽出人数 B1 B2B3B40 A1291079（3） -5 A213425 （4）（-1）（2） -5 A3（11）8 4257（3）县需人数3846 进行基的迭代,出基变量当然取值为0，即将所有带“+” 号的格子原取值加，带“-”号的格子原取值减,就得到一个新的调运方案（闭回路不涉及的基变量取值不变动，见表3-9）. 再求检验数，重复上述步骤，直至最优. 从表3-9中容易

28、算出，这个方案的总运费是 32+59+17+52+34+42 =88（百元）， 即8800元. 比初始表的方案优秀了，但在表中求出各非基变量的检验数显示，它还不是最优的. 要作为入基变量. 再经过迭代得到调运方案如表3-10所示. 表3-10 再次迭代后的运输方案表县城医院2977医院抽出人数 B1 B2B3B40 A12-91079（3）+-5 A21+3425 （4）（-1） （2） -5 A3（11）8 4257（3）县需人数3846从表3-10容易得出，其它非基变量为0；这时的总费用为：32+67+53+34+42 =83（百元）， 即8300元. 这时算出非基变量的所有检验数均非负，

29、从而是最优的运输方案. 在计算过程中需要注意的是，可能会有非基变量（空格）的检验数为0的情况，这时，该供销平衡的运输问题存在无穷多最优解. 在已得到的一个最优解的表格中，从这样的空格出发做闭回路重新进行调整，可以得到另一个最优解. 5. 某卫生防疫站准备选拔防疫科、食品科、总务科的三名科长. 几经筛选，仅剩下赵、钱、孙三名候选人. 根据民主评议的统计结果，他们主持各个科的工作能力（以得分多少来衡量）如表4所示. 试从工作能力出发，确定各科长的指定方案，使总体效能最大. 表4 工作能力表防疫食品总务工 作 能 力（分）赵353027钱373529孙382832分析： 用i=1,2,3 分别表示赵

30、、钱、孙三人；用j=1,2,3 分别表示防疫、食品、总务三个科. 则可以设于是数学模型为实际上，只要找出效率矩阵中的最大元素，用减去矩阵中的每个元素，得到的矩阵我们称为原矩阵对应的缩减矩阵（）. 易见越小表示原效率矩阵中第i个人去作第j项任务的收益越大，反之则收益越小. 因此求的最大化问题解，等价于求它对应的缩减矩阵最小化问题的解. 解由于中的最大元素为:,所以它对应的缩减矩阵为. 用匈牙利法求的最优解-3-1 -2 -7可见最优解为，这也是原最大化指派问题的最优解，即派赵、钱、孙分别担任防疫科、食品科和总务科的科长，这样可使总的工作能效达到最大值102分. 2. 效率矩阵不是方阵 在实践中，

31、往往出现人少任务多或人多任务少的情况. 对效率矩阵来说，表现为矩阵不是方阵. 甚至要求某人不能完成某项任务或某项工作不能由某人去作. 这都需要作适当改进，再应用匈牙利法去解决. 对于效率矩阵不是方阵，可以虚设几行或几列，使其构成方阵，虚设的行（列）的元素要根据目标函数的具体情况确定. 对于后一问题，只要将效率矩阵相应的元素取得充分大（极小问题）或充分小（极大化问题），使得最优指派方案不可能取在该元素上. 6. 某公司生产A、B两种药品，这两种药品每小时的产量均为1000盒，该公司每天采用两班制生产，每周最大工作时间为80小时，按预测每周市场最大销量分别为70000盒和45000盒A种药每盒的利

32、润为2.5元，B种为15元试确定公司每周A、B两种药品生产量x1和x2（单位：千盒），使公司的下列目标得以实现：P1：避免每周80小时生产能力的过少使用 P2：加班的时间限制在10小时以内 P3：A、B两种药品的每周产量尽量分别达到70,000盒和45,000盒，但不得超出，其权系数依它们每盒的利润为准 P4：尽量减少加班时间 解 先建立这个问题的线性规划模型，依题意分别建立各项目标约束权系数是指它们在目标函数中的重要程度，由2.51.5=53，故：目标函数为：建立单纯形表运算如下：表4-5 单纯形表cj00P15P33P30P4P2CBXBx1x2bP1111000-10805P310010

33、00 0 703P3010010004500000011-110 -1 -1000010P100000001P2-5-3000000P300000010P4P1011-100-1 0 100x110010000703P3010010004500000011-1100 -1 010010P100000001P20-3050000P300000010P40x2011-100-10100x110010000703P300-1110103500000011 -1 1000100000P100000001P2003200 -3 0P300000010P40x2011-1010-1200x11001000

34、0703P300-111-10125P40000011-1 1000100000P100000001P20032030-3P300000-101P4至此，由于P1 P2 P3P4 ，可知各检验数均非负，从而得最优解为：x1=70，x2=20，, , , , ,即生产A种药品70 000盒，B种药品20 000盒，P1，P2级目标可完全实现因，故每周需加班10小时，每周利润为：7000025+2000015=205000（元）7. 某高校有各类教职员工如下：助教、助研、讲师、教授助理、副教授、教授、兼职教师、专家及职工, 各类人员所承担的工作性质、工作量和工资各不相同，预计在下一学年要招收一定数

35、量的本科生与研究生，现应用目标规划来确定聘用各类人员的人数，既要保持各类人员之间的适当比例，完成学校的各项工作，同时又要取得最好的经济效益设聘用各类人员的人数如下：x1助研（可由研究生兼任） y1教授助理（有博士学位）x2助教（可由研究生兼任） y2副教授（有博士学位）x3讲师 y3教授（有博士学位）x4教授助理（无博士学位） y4兼职教师（有博士学位）x5副教授（无博士学位） y5专家（有博士学位）x6教授（无博士学位） w1所有教职工的工资总基数x7兼职教师（无博士学位） w2所有教职工的工资比上一年的总增加数x8专家（无博士学位）x9职工现各类人员承担的工作量，工资及所占比例见表5 校方

36、确定的各级决策目标为：P1：要求教师有一定的学术水平，即75%的教师是专职的，担任本科生教学工作的教师中，至少有40%的人具有博士学位担任研究生教学的至少有75%的人具有博士学位 P2：要求各类人员增加工资的总额不得超过176000美元，其中x1，x2和x9增加的工资数为其原工资数的6%，而其它人员为8% P3：要求能完成学校的各项教学工作，即学校计划招收本科生1820名、研究生100名要求为本科生每周开课共910学时，研究生每周开课100学时，并要求本科生教师与学生人数比为120，研究生教师与学生人数比为110 表5 各类人员工作量，工资及所占比例表变 量承担的教学工作量（学时/周）所占教师

37、的百分比（%）年工资（美元）本科生研究生最大最小x100-3000 x2607-3000x31207-8000x49015-13000x5905-15000x6602-17000x7301-2000x803-130000x9-4000y163-2113000y263-1415000y333-2317000y4032-2000y503-230000P4：要求各类教学人员之间有适当的比例，即x2所占全体教师比例不超过7%，x3不超过7%，x4不超过15%，x5不超过5%，x6不超过2%，x7不超过1%，x8不低于1%，y1不低于21%，y2不低于14%，y3不低于23%，y4不超过2%，y5不低于

38、2% P5：要求教师与行政管理职工x9之比不超过41P6：要求教师与助研x1的比不超过51 P7：要求所有人员总工资基数尽可能地小 （1） 75%的的教师是专职的:本科生教学中至少40%有博士学位：研究生教学中至少75%有博士学位：（2） 教学任务本科生：研究生：教师数：， （3） 教学人员比例：令T=（4） 教师与职工（x9）之比不超过41 ： （5） 教师与助研（x1）之比不超过51 ： （6） 全体人员工资增加总额 这里助研x1,助教x2和职工x9的工资增长率为6%，其它人员的工资增长率为8%，为目标期望值 （7） 全体人员工资总基数约束其中为目标期望值 目标优先级别如前面要求，在P3级中，校方认为有关研究生开设的课与师生之比的重要性是本科生的2倍，建立目标函数如下经计算可得这个问题的解为各级目标实现情况：P1级：（基本实现）教师的学术水平实现P2级：增加工资总额实现P3级：完成学校的各项教学工作目标实现，师生数比例实现 P4级：各类教师之间的比例实现P5级：教师与行政人员之比目标实现P6级：教师与助研人员之比例目标实现P7级：全体人员工资总基数超过了预期目标 （未实现）这时，学校只要能争取到充分的经费，达到2 471 000美元，则以上7个目标都能实现如校方无法得到比1 850