外接球和内切球套路

1、9.3 空间几何外接球和内切球1 公式1.球的表面积：S4R22.球的体积：VR3二概念1. 空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的内切球2. 空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球考向一 长（正）方体外接球【例1】若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球的表面上，则此球的表面积为_【答案】【解析】因为长方体的顶点都在球上，所以长方体为球的内接长方体，其体对角线为球的直径，所以球的表面积为，故填.【举一反三】1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_【答案】【解析】设正方体棱

2、长为a，则6a218，a.设球的半径为R，则由题意知2R3，R.故球的体积VR3×3.2.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是_.【答案】【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱，如图所示：其中，三角形是腰长为的直角三角形，侧面是边长为4的正方形，则该几何体的外接球的半径为.该几何体的外接球的表面积为.故答案为.考向二 棱柱的外接球【例2】直三棱柱ABC-A'B'C'的所有棱长均为23，则此三棱柱的外接球的表面积为（ ）A12B16C28D36【答案】C【解析】由直三棱柱的底面边长为23，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r=

3、2，又由直三棱柱的侧棱长为23，则球心到圆O的球心距d=3，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R2r2+d2=7，外接球的表面积S4R2=28故选：C【举一反三】1. 设直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是40，AB=AC=AA1，BAC=120°，则此直三棱柱的高是_.【答案】【解析】设三角形BAC边长为，则三角形BAC外接圆半径为，因为所以 即直三棱柱的高是.2.直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知ABBC，AB=3，BC=4，AA1=5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_【答案】【

4、解析】ABC-A1B1C1是直三棱柱，A1AAC ，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上，A1C 是球的直径，R=A1C2 ；ABBC ，AC=32+42=5 ，A1C2=52+52=50 ；故该球的表面积为S=4R2=4A1C22=A1C2=50 考向三 棱锥的外接球类型一：正棱锥型【例3-1】已知正四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示，设底面正方形的中心为，正四棱锥的外接球的球心为底面正方形的边长为正四棱锥的体积为，解得在中，由勾股定理可得： 即，解得故选【举一反三】1.已知正四棱锥的

5、各条棱长均为2，则其外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】设点P在底面ABCD的投影点为,则平面ABCD,故而底面ABCD所在截面圆的半径,故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径R=,故外接球的表面积为故选C.2如图，正三棱锥的四个顶点均在球的球面上，底面正三角形的边长为3，侧棱长为，则球的表面积是ABCD【答案】C【解析】如图，设，又，在中，得：，故选：类型二：侧棱垂直底面型【例3-2】在三棱锥中， ， ， 面，且在三角形中，有（其中为的内角所对的边），则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设该三棱锥外接球的半径为.在三角形中， （

6、其中为的内角所对的边）.根据正弦定理可得，即.由正弦定理， ，得三角形的外接圆的半径为.面该三棱锥外接球的表面积为故选A.【举一反三】1.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 2143 B. 1273 C. 1153 D. 1243【答案】D【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体为三棱锥A-BCD其中AD=DC=2，BD=4且AD底面ABC，BDC=120°根据余弦定理可知：BC2-BD2+DC2-2BDDCcos120°=42+22-2×4×2×-12=28可知BC=27根据正弦定理可知BCD外接圆直径2r=B

7、CsinBDC=27sin120°=473r=2213，如图，设三棱锥外接球的半径为R，球心为O，过球心O向AD作垂线，则垂足H为AD的中点DH=1，在RtODH中，R2=OD2=22132+1=313外接球的表面积S=4R3=4×313=1243故选D2.已知三棱锥中， 平面，且， .则该三棱锥的外接球的体积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】， 是以 为斜边的直角三角形其外接圆半径 ，则三棱锥外接球即为以C为底面，以 为高的三棱柱的外接球三棱锥外接球的半径满足 故三棱锥外接球的体积 故选D.类型三：侧面垂直与底面型【例3】已知四棱锥P-ABCD的三视图如图

8、所示，则四棱锥P-ABCD外接球的表面积是（ ）A. 20 B. 1015 C. 25 D. 22【答案】B【解析】由三视图得，几何体是一个四棱锥A-BCDE,底面ABCD是矩形，侧面ABE底面BCDE.如图所示，矩形ABCD的中心为M,球心为O,F为BE中点，OGAF.设OM=x,由题得ME=5,在直角OME中，x2+5=R2(1)，又MF=OG=1,AF=32-22=5,AG=R2-1,GF=x,R2-1+x=5(2)，解（1）（2）得R2=10120,S=4R2=1015.故选B.【举一反三】1.九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研

9、究，如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A. 81 B. 33 C. 56 D. 41【答案】D【解析】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的四棱锥P-ABCD，其中ABCD是边长为4的正方形，平面PAB平面ABCD 设F为AB的中点，E为正方形ABCD的中心，O为四棱锥外接球的球心，O1为PAB外接圆的圆心，则球心O为过点E且与平面ABCD垂直的直线与过O1且与平面PAB垂直的直线的交点由于PAB为钝角三角形，故O1在PAB的外部，从而球心O与点P在平面ABCD的两侧由题意得PF=1,OE=O1F,OO1=EF，设球半径为R，则

10、R2=OE2+OB2=EF2+O1P2,即OE2+(22)2=22+(1+OE)2，解得OE=32，R2=(32)2+(22)2=414，S球表=4R2=41选D2已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在平面相互垂直，则球的表面积为【答案】C【解析】，的外接圆的半径为，和所在平面相互垂直，球心在边的高上，设球心到平面的距离为，则，球的表面积为故选：3三棱锥的底面是等腰三角形，侧面是等边三角形且与底面垂直，则该三棱锥的外接球表面积为A B C D 【答案】B【解析】 如图， 在等腰三角形中， 由，得，又，设为三角形外接圆的圆心，则，再设交于，可得，则在等边三角形中， 设其外心为，则过

11、作平面的垂线， 过作平面的垂线， 两垂线相交于，则为该三棱锥的外接球的球心， 则半径该三棱锥的外接球的表面积为故选：类型四：棱长即为直径【例3-4】已知底面边长为2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. 3 B. 2 C. 43 D. 4【答案】A【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1，将三棱锥补成一个正方体（棱长为1），则正方体外接球为正三棱锥外接球，所以球的直径为1+1+1=3，故其表面积为S=4××(32)2=3选A【举一反三】1已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径若平面平面，三棱锥的体积为，则球的体积为A

12、BCD【答案】B【解析】如下图所示，设球的半径为，由于是球的直径，则和都是直角，由于，所以，和是两个公共斜边的等腰直角三角形，且的面积为，为的中点，则，平面平面，平面平面，平面，所以，平面，所以，三棱锥的体积为，因此，球的体积为，故选：考向四 墙角型【例4】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）A B C D【答案】B【解析】根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径，则：.故选：B【举一反三】1.已知四面体ABCD的四个面都为直角三角形，且AB平面BCD，AB=BD=CD=2，若该四面体的四个顶

13、点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）A3B23C43D12【答案】D【解析】BD=CD=2且BCD为直角三角形 BDCD又AB平面BCD，CD平面BCD CDABCD平面ABD由此可将四面体ABCD放入边长为2的正方体中，如下图所示：正方体的外接球即为该四面体的外接球O正方体外接球半径为体对角线的一半，即R=1222+22+22=3球O的表面积：S=4R2=12本题正确选项：D2已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是ABCD【答案】D【解析】该几何体是把正方体 截去两个四面体 与，其外接球即为正方体 的外接球，由外接球的半径该几何体外

14、接球的表面积是故选：3在三棱锥一中，、两两垂直，则三棱锥的外接球的表面积为ABCD【答案】A【解析】在三棱锥一中，、两两垂直，以、为棱构造棱长为1的正方体，则这个正方体的外接球就是三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的半径，三棱锥的外接球的表面积为：故选：考向五 内切球【例5】正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切求球的表面积与体积【答案】，得：，【举一反三】1球内切于圆柱， 则此圆柱的全面积与球表面积之比是A B C D 【答案】C【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，此圆柱的全面积与球表面积之比是：故选：2若三棱锥中，其余各棱长均为 5 ，则三棱锥内切球的表面积

15、为【答案】【解析】由题意可知三棱锥的四个面全等， 且每一个面的面积均为设三棱锥的内切球的半径为，则三棱锥的体积，取的中点，连接，则平面，解得内切球的表面积为故答案为：3一个几何体的三视图如图所示， 三视图都为腰长为 2 的等腰直角三角形， 则该几何体的外接球半径与内切球半径之比为A B C D 【答案】A【解析】 由题意可知几何体是三棱锥， 是正方体的一部分， 如图： 正方体的棱长为 2 ，内切球的半径为，可得：，解得，几何体的外接球的半径为：，该几何体的外接球半径与内切球半径之比为：故选：考向六 最值问题【例6】已知球的内接长方体中，若四棱锥的体积为2，则当球的表面积最小时，球的半径为21【

16、答案】B【解析】由题意，球的内接长方体中，球心在对角线交点上，可得：四棱锥的高为是长方体的高），长方体的边长，设，高为，可得：，即，那么：，（当且仅当时取等号）故选：【举一反三】1已知，是球的球面上两点，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为【答案】C【解析】如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选：1已知正三棱柱的底面边长为3，外接球表面积为，则正三棱柱的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】正三棱柱的底面边长为3,故底面的外接圆的半径为：外接球表面积为 外接球的球心在上下两个底面的外心MN的连线的中点上，记

17、为O点，如图所示在三角形中， 解得 故棱柱的体积为： 故答案为：D.2已知，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，面，则球的体积为（ ）ABCD【答案】A【解析】取中点，连接且 四边形为平行四边形，又 为四边形的外接圆圆心设为外接球的球心，由球的性质可知平面作，垂足为 四边形为矩形，设，则，解得： 球的体积：本题正确选项：3已知三棱锥的各顶点都在一个球面上，球心在上，底面，球的体积与三棱锥体积之比是，则该球的表面积等于 （ ）ABCD【答案】D【解析】由于，且平面，所以，设球的半径为，根据题目所给体积比有，解得，故球的表面积为.4某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是（）ABCD【

18、答案】B【解析】根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体为：下底面为边长为2的等边三角形，有一长为2的侧棱垂直于下底面的三棱锥体，故：下底面的中心到底面顶点的长为：，所以：外接球的半径为：故：外接球的表面积为：故选：B5如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据三视图可知，几何体是底面为矩形，高为的四棱锥，且侧面PAB垂直底面ABCD，如图所示：还原长方体的长是2，宽为1，高为设四棱锥的外接球的球心为O，则过O作OM垂直平面PAB，M为三角形PAB的外心，作ON垂直平面ABCD，则N为

19、矩形ABCD的对角线交点， 所以外接球的半径 所以外接球的体积 故选A6九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A6B6C9D24【答案】B【解析】如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD底面ABCD为矩形，其中PD底面ABCDAB=1，AD=2，PD=1则该阳马的外接球的直径为PB=1+1+4=6该阳马的外接球的表面积为：4×(62)2=6故选：B7如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将ADE，BEF，CDF分别沿DE，

20、EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A'，若四面体A'EDF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A5B6C8D11【答案】B【解析】由题意可知A'EF是等腰直角三角形，且A'D平面A'EF三棱锥的底面A'EF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：1+1+4=6球的半径为62，球的表面积为4·(62)2=6故选：B8某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积是：（ ）A8B123C12

21、D48【答案】C【解析】由三视图还原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2把该三棱柱补形为正方体，则正方体对角线长为22+22+22该三棱柱外接球的半径为：3则球O的表面积是：4×(3)2=12故选：C9已知三棱锥O-ABC的底面ABC的顶点都在球O的表面上，且AB=6，BC=23，AC=43，且三棱锥O-ABC的体积为43，则球O的体积为（ ）A323B643C1283D2563【答案】D【解析】由O为球心，OAOBOCR，可得O在底面ABC的射影为ABC的外心，AB6，BC=23，AC=43，可得ABC为AC斜边的直角三角形，O在底面A

22、BC的射影为斜边AC的中点M，可得13OM12ABBC=16OM123=43，解得OM2，R2OM2+AM24+1216，即R4，球O的体积为43R3=4364=2563故选：D10我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，若，则堑堵的外接球的体积为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意，在直三棱柱中，因为，所以为直角三角形，且该三角形的外接圆的直径，又由，所以直三棱柱的外接球的直径，所以，所以外接球的体积为，故选C.11在三棱锥中.，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，由余弦定理可

23、求得，再由正弦定理可求得的外接圆的半径，因为，所以P在底面上的射影为的外心D，且，设其外接球的半径为，则有，解得，所以其表面积为，故选B.12一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为（ ）A6B12C32D48【答案】B【解析】由题得几何体原图如图所示，其中SA平面ABC,BC平面SAB,SA=AB=BC=2,所以AC=2,设SC中点为O,则在直角三角形SAC中，OA=OC=OS=,在直角三角形SBC中，OB=,所以OA=OC=OS=OB=,所以点O是四面体的外接球球心，且球的半径为.所以四面体外接球的表面积为.故选：B13已知在三棱锥中，平面平面，若三棱锥的顶

24、点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据题意, 为截面圆的直径, 设球心到平面 的距离为,球的半径为。平面平面， 到平面的距离为由勾股定理可得球的表面积为故选D。14已知三棱锥的体积为6，在中，且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，则球的表面积等于（ ）ABCD【答案】C【解析】在中，由余弦定理得 是直角三角形设三棱锥的高为则三棱锥体积，解得取边的中点为，则为外接圆圆心连接，则平面，如下图所示：则则球的表面积本题正确选项：14已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】原题如下图所示：由，得：则设外接圆圆

25、心为，则由正弦定理可知，外接圆半径：设到面距离为由为球直径可知： 则球的半径球的表面积本题正确选项：15已知三棱柱的侧棱与底面垂直，则三棱柱外接球的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，球的球心为，因为三棱柱的侧棱与底面垂直，所以球的球心为的中点，且直线与上、下底面垂直，且，所以在中，即球的半径为，所以球的体积为，故选D。16在三棱锥中，平面平面，则三棱锥的外接球体积为ABCD【答案】C【解析】平面平面，平面平面，平面，平面， ，所以，是边长为的等边三角形，由正弦定理得的外接圆的直径为，所以，该球的直径为，则，因此，三棱锥的外接球体积为故选：17已知三棱锥P-

26、ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）ABCD【答案】C【解析】底面中， ，的外接圆半径，面三棱锥外接球的半径，所以三棱锥外接球的表面积故选：C18三棱柱的侧棱垂直于底面，且 ,若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】由于底面是直角三角形，其外心是斜边的中点，设上下底面的外心为，由于三棱柱的侧棱垂直于底面，故球心位于的中点处，画出图像如下图所示.设球的半径为，则，故球的体积为，故选C.19一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）ABCD【答案】A【解析】根据几何体的三视图，可知

27、该几何体是一个四棱锥如图：该四棱锥的外接球是所对应长方体的外接球且长方体的长宽高分别为2，2,2故几何体的外接球半径R满足：4R2=4+4+12=20，解得： ，故：S= ，故选：A20我国古代九章算术将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖月需.如图是一个鳖月需的三视图，其中侧视图是等腰直角三角形，则该鳖月需的外接球的表面积是（ ）ABCD【答案】B【解析】还原该几何体为三棱锥，其中平面BCD，BDBC，把三棱锥扩展为长方体，长方体的体对角线的长，就是外接球的直径，此时2R=AC=该鳖月需的外接球的表面积是故选：B21在三棱锥中，底面，则三棱锥外接球的体积为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意

28、知，在三棱锥中，所以,又由底面，所以,在直角中，所以,根据球的性质，可得三棱锥外接球的直径为，即，所以球的体积为，故选B.22.已知四棱锥，平面，.若四面体的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为，所以，四点共圆，.由，得，所以.设的中点为，的中点为，因为平面，所以平面.易知点为四面体外接球的球心，所以，.故选：C23一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为ABCD【答案】A【解析】由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角

29、形的三棱锥，如图则这个几何体的外接球的球心在高线上，且是等边三角形的中心，这个几何体的外接球的半径则这个几何体的外接球的表面积为故选：A24已知四面体外接球的球心恰好在上，等腰直角三角形的斜边为2，则这个球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题可得：为的中点，取中点，则为的中位线，由等腰直角三角形可得：点为外接圆圆心，且所以平面，所以球心到面的距离为，外接球球半径为，故球表面积为.故选：C25已知三棱锥A-BCD中，BCCD，AB=AD=2，BC=1，CD=3，则该三棱锥的外接球的体积为()A43B83C823D36【答案】A【解析】如图：BCCD，BC=1，CD=3 BD=2AB=A

30、D=2 ABADBD的中点O为外接球球心故外接球半径为1体积V=43×13=43本题正确选项：A26已知三棱锥的体积为，各顶点均在以为直径球面上，则这个球的表面积为_。【答案】16【解析】由题意，设球的直径是该球面上的两点，如图所示，因为，所以为直角三角形，设三棱锥的高为，则，解得，取的中点，连接，根据球的性质，可得平面，所以,在直角中，,即球的半径为，所以球的表面积为.27表面积为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_【答案】【解析】如图所示，将正四面体补形成一个正方体，表面积为的正四面体，正四面体棱长为，解得，正方体的棱长是，又球的直径是正方体的对角线，设球半径是

31、R，球的体积为故答案为：28已知三棱锥中，侧棱,当侧面积最大时，三棱锥的外接球体积为_【答案】【解析】三棱锥的侧面积为：，相互之间没有影响当上述三个角均为直角时，三棱锥的侧面积最大此时，两两互相垂直以，为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥的外接球外接球半径三棱锥的外接球的体积：本题正确结果：29已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则球 的表面积为_【答案】【解析】直三棱柱中，底面是直角三角形，可以补成长方体，如下图所示：,所以球的直径为6，球的表面积为。30在三棱锥P-ABC中，平面PAB平面ABC，ABC是边长为23的等边三角形，其中PA=PB=7，则该三棱锥外接球的表面积为_【答案

32、】654【解析】如图所示，作AB中点D，连接PD、CD，在CD上作三角形ABC的中心E，过点E作平面ABC的垂线，在垂线上取一点O，使得PO=OC。因为三棱锥底面是一个边长为23的等边三角形，E为三角形的中心，所以三棱锥的外接球的球心在过点E的平面ABC的垂线上，因为PO=OC，P、C两点在三棱锥的外接球的球面上，所以O点即为球心，因为平面PAB平面ABC，PA=PB，D为AB中点，所以PD平面ABCCD=CA2-AD2=12-3=3，CE=23CD=2，DE=CD-CE=1，PD=PB2-BD2=2，设球的半径为r，则有PO=OC=r，OE=r2-4，(PD-OE)2+DE2=PO2，即(2-r2-4)2+12=r2，解得r2=6516，故表面积为S=4r2=654。31已知圆锥的母线长为5，底面半径为4，则它的外接球的表面积为_【答案】【解析】如图，可得，取中点，作交延长线于，则为的外心，也即圆锥外接球的球心，设，则，得，外接球半径，圆锥外接球的表面积32四棱锥中，底面为矩