线段的垂直平分线的性质与判定

1、13 . 1.2线段的垂直平分线的性质（2课时）第1课时线段的垂直平分线的性质与判定教学目标掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题.重点线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题.难点灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题.教学设计一、问题导入我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴.那么，线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课我们就来研究它.二、探究新知（一）线段的垂直平分线的性质教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什么发现？如图，直线I垂直平分线段AB, Pi, P2, P3是I上的点，分别量一

2、量点Pi, P2, P3到点A 与点B的距离，你有什么发现？学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.性质的证明：教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线MN是 线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上任意一点，连接PA, PB,我们要证明的是 PA二 PB.教师分析证明思路：图中有两个直角三角形, APC和厶BPC,只要证明这两个三角形全等，便可证得PA二PB.教师要求学生自己写已知，求证，自己证明.学生证明完后教师板书证明过程供学生对照.已知：MN丄AB,垂足为点C, AC二BC,点P是直线MN上任意一点.求证：PA

3、二PB.证 明：在厶APC和厶BPC中，/ PC二 PC （公共边），/ PCB =Z PCA （垂直定义），AC 二 BC （已知）， APCBPC （SAS）.PA二PB （全等三角形的对应边相等）.因为点P是线段的垂直平分线上一点，于是就有：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点 的距离相等.（二）线段的垂直平分线的判定你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果那么”的形状， 要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果那么”的形式，逆命题就容 易写出鼓励学生找出原命题的条件和结论.原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点与这

4、条线段两个端点的距离相等”.此时，逆命题就很容易写出来.“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.”写出逆命题后，就想到判断它的真假.如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明.请同学 们自行在练习册上完成.学生给岀了如下的四种证法.已知：线段AB,点P是平面内一点，且PA二PB.求证：P点在AB的垂直平分线上.证法一过点P作已知线段AB的垂线PC, / PA二PB, PC二PC, RtAPAC" RtA PBC （HL） . AC二BC,即P点在AB的垂直平分线上.证法二取AB的中点C,过P.C作直线I PA二PB, PC二PC, AC二CB ,A

5、PCN BPC（SSS）./PCA二Z PCB（全等三角形的对应角相等）.又/ PCA + Z PCB 二 180° , PCA = Z PCB 二 90° ，即 PC 丄 AB , P 点在 AB 的 垂直 平分线上.证法三 过P点作/ APB的平分线./ PA二 PB, / 1 = Z2, PC= PC, APC 也厶 BPC（SAS）. AC二BC, / PCA二ZPCB（全等三角形的对应边相等,对应角相等）.又/PCA+ ZPCB二180° , / PCA二ZPCB二90° , P点在AB的垂直平分线上.证 法四过P作线段AB的垂直平分线PC.:

6、 AC 二 CB , / PCA 二 Z PCB 二 90°, / P 在 AB 的垂直平分线上.四种证法由学生表述后，有学生提问：“前三个同学的证明是正确的，而第四个同学的证明我有点弄不懂.”师生共析：如图（1）, PD丄AB, D是垂足，但D不平分AB ;如图（2）, PD平分AB ,但 PD不垂直于AB.这说明一般情况下，“过P作AB的垂直平分线”是不可能实现的,所以第四个同 学的证法是错误的.I)从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定.要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这

7、条线 段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线.下面我们一同来写出已知、求作、作法 ，体会作法中每一步的依据.例1尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB外一点C.（如下图）求作：AB的垂线，使它经过点C.作法：（1）任意取一点K ,使点K和点C在AB的两旁.（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.1（3）分别以点D和点E为圆心，大于“DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？请与同伴进行交

8、流.生：从作法的第（2） （3）步可知CD二CE, DF二EF,C, F都在AB的垂直平分线上（线段的垂直平分线的判定）.-CF就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线）.师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段AB的屮点，所以我们也用这种方法找线段的中点.三、课堂练习教材第62页练习第1, 2题.四、课堂小结本节课我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，并学会了用尺规作线段的垂直平分线.五、布置作业1. 教材习题13.1第6题.2. 补充题：下图是某跨河大桥的斜拉索，图中PA二PB, P0丄AB,则必有AO二BO,为什么?(2)如左下图， ABC中，AC二16 cm, DE为AB的垂直平分线, BCE的周长为26 cm.求 BC的长.(3)有A, B, C三个村庄(如右上图)，现准备建一所学校，要求学校到三个