浅谈二次型和应用1

1、目 录摘要 1引言 21.二次型的相关定义与定理 32.二次型的应用 6 2.1在二次曲线中的应用 6 2.2在证明不等式中的应用 7 2.3在求极值中的应用 8 2.4在求某些曲线或曲面积分中的应用 10 2.5在多项式因式分解中的应用10参考文献 12致 1313 / 14浅谈二次型与其应用摘 要：二次型是高等代数的重要容之一，通过研究二次型的结构与性质，解决一些不等式的证明、求极值、因式解等初等问题.并比较正交变换和配方法化二次型为标准型的区别，给出了二次型在计算某些积分中的应用.再借助非退化线性替换判断二次曲线的形状，展现线性代数中的二次型知识在微积分中的应用.关键词：二次型；正定矩阵

2、；非退化线性替换；标准型；正交变换A Talk about Quadric Form and Its ApplicationAbstract: the quadric form is one of the important contents of higher algebra, through the study of the structure and the quadratic nature, solve some inequality proof, for extreme, factoring in elementary problems and solutions. And comp

3、ared with orthogonal transformation method HuaEr times and the difference between the standard model, and gives the second type in the calculation of the application of some points. Again the degradation of linear replace judgment by the shape of the quadratic curves, show linear algebra in the seco

4、nd type of the application of the knowledge in the calculus. Key Words: Quadratic; Positive definite matrix; The degradation of linear replacement; Standard; Orthogonal transformation 引言高等代数与初等代数的联系是密不可分的，在中学数学中，不等式的证明、求极值与因式分解问题都是重点问题.用初等数学方法去处理这些问题往往会相当麻烦，而如果利用高等代数中二次型的性质去解决，则会是很多问题化繁为简.用二次型来解决微积分

5、中的一些问题，有时也会起到意想不到的效果.由于二次型具有较高的综合性和抽象性，对于相当一部分非数学专业的学生来说，虽然能够按照化二次型为标准型的步骤将一个普通二次型化为标准型，但是仍然无法建立起二次型的直观概念，很多学生很疑惑：二次型到底是什么？它有什么几何意义？在化二次型为标准型时使用的正交变换和配方法有什么区别？二次型的标准形有什么用？等等这些问题我们将一一解决.1.二次型的相关定义与定理 二次型从本质上来说仍然是一个关于个变量的函数，只不过是一个比较特殊的二次其次函数，在表达式中出了平方项就是交叉项，没有一次项和常数项，只是希望利用矩阵的理论来研究二次型时才将二次型写为:定义1.1 每个

6、元二次型，都可唯一地表成,其中，为对称阵，称为二次型的矩阵，的秩称为的秩.定义1.2 实二次型 (为实对称阵，），若对于任意的，皆有，则称为正定（半正定，半负定）二次型，若既不是半正定也不是半负定的，则称为不定二次型. 定理1.1 实二次型 (为实对称阵）为正定二次型的充分必要条件为 1）的正惯性指数为; 2)的各阶顺序主子是都大于零; 3)与单位矩阵合同； 4）的特征值全大于零； 5）的主子式全大于零； 6）存在可逆的，使得.定理1.2 实二次型 为半正定的充要条件为 1）的正惯性指数与秩相等； 2）的各阶主子式大于或等于零； 3）的特征值全大于等于零；4）的正惯性指数，负惯性指数;5)与矩

7、阵合同，秩. 定理1.3 实二次型可经过变量的正交变换 (为正交阵）化为: (是矩阵的全部特征值）.定理1.4 设元二次型，则在条件下的最大（小）值恰为矩阵的最大（小）特征值.定理1.5一个实二次型可以分解为两个实系数的一次多项式乘积的充分必要条件是：它的秩等于2和符号差等于0，或者秩等于1.下面，我们来讨论论一般的元二次型极值的判定和求极值的一般方法.一般的元二次型多项式形如 （1）显然（1）存在极值当且仅当 （2）存在极值（上述两式中），易见是一个元二次型，设其矩阵为，我们有:定理1.6实元二次型（2），它的前一个和的矩阵为,秩为,则对二次型做非退化线性替换,使得为对角阵，如:1、 1正定

8、，,且（2）中一次项系数不全为零，则（2）存在极值； 2半正定，若,一次项所含新变量均在平方项中出现，则（2）有极小值； 3半正定，若,一次项所含新变数至少有一个不在平方项中出现，则（2)不存在极值；2、 1负定，,且一次项系数不全为零，则（2）有极大值； 2 半负定,且一次项所含新变量均在平方项中出现，则（2）有极大值； 3半负定，,且一次项所含新变量至少有一个不在平方项中出现，则（2）不存在极值.3、 不定，则（2)不存在极值.注：可逆阵P可经合同变换求得，即对施行一对列初等变换和行初等变换时，对施行同样列初等变换（与A同阶），当把化为对角阵时，就化成. 以上总结了二次型的一般理论，下面我

9、们就用其来解决一些应用问题.2二次型的应用2.1在二次曲线中的应用 事实上，化简二次曲线并判断曲线类型所用的坐标变换就是二次型中的非退化线性替换.已知当为正交矩阵时，线性替换称为正交变换，那么就有上式说明经过正交变换线段的长度保持不变，从而能够保持几何体的几何形状不变，因此可以利用二次型来判断二次曲线的形状.例1判断二次型的形状.解 设令则对施行非退化线性替换： 即则 从而 即 故曲线表示椭圆.例2化简二次曲线方程，若是封闭曲线，计算其面积. 解 记 令于是，对实施非退化线性替换： 即则 从而 即 故原曲线表示椭圆，它的两半轴分别为：2， 从而其面积为:2.2在证明不等式中的应用例3求证：.证

10、明 该二次型的矩阵为将第2,3，,n列加到第一列，则第1列元素全为零，故；同样可求出A的i阶主子式为（i=1,2,n-1）.因此A是半正定的，从而，二次型半正定，所以0，即例4求证：（其中x,y,z是不全为零的实数）.证明 设二次型则f矩阵是 因为A的各阶顺序主子式为：所以A正定，从而（因为x,y,z不全为零）. 即（其中x,y,z是不全为零的实数）.2.3在求极值中的应用例5已知实数满足，求的最大值与最小值.解 的矩阵为： 因此，特征值有上述定理可知在下的最大值是，最小值是.例6讨论是否有极值，若有，求其极值.解 设多项式为，则-的二次型部分矩阵为对做合同变换，得一可逆阵使,则易知半正定，做

11、线性替换化为， 其一次项所含字母均在平方项中出现，所以有极大值， 对上式配方得 : ， 故当 时，有极小值，即有极大值.例7设，且满足，求的最值. 解 二次型的矩阵是 则特征多项式为 特征值. 由二次型的相关定义与定理知，在条件下的最大值为3，最小值为0.2.4在求某些曲线或曲面积分中的应用利用二次型的正交变换可以方便的计算某些积分域为由二次曲线或二次曲面围成的特定积分.例8求，其中. 解 已知正交变换能够保持几何体形状不变，所以椭球1 与椭球 体积一样， 记：则:2.5在多项式因式分解中的应用 二次型的性质为二次多项式因式分解提供了理论依据，同时给出了判断能否分解的方法，并且可以很快得到分解

12、式.例9试判断下列多项式在R上能否分解，若能，分解之. 1） 2） 解 1）令， 则. 下面考虑的秩和符号差，对做非退化线性替换： 即 有.可见的秩为3，有预备定理知不能分解，从而也不能分解. 2） 令， 则。下面考虑的秩和符号差，对做非退化线性替换： 即有，从而，从而的秩为2，符号差为0，由二次型的相关定义与定理知可以分解, .结束语 本文主要根据二次型的结构特点与相关性质，将其理论运用于多项式因式分解，求极值，因式分解，判断二次曲线的形状并计算椭圆面积，求解过程未必简单，但提供了一种用二次型解决中学问题的方法与思路.参考文献 1北大数学系几何与代数研究小组，高等代数M。高等教育.2同济大学

13、数学教研社，高等代数M.：高等教育，1996.3禾瑞，郝邴新编，高等代数M,高等教育.4丘维生，高等代数：上册M。：高等教育。20025黎伯堂，桂真，高等代数解题技巧与方法M.：科学技术，2003.6许统生.也谈半正定二次型的判定J.抚州师专学报，2001（2）：33-34.7文杰.实二次型的半正定性质与应用J.渤海大学学报.2004（6）:127-1298吕凤.高等代数在中学数学中的应用1000例M.：东北师大学，1995.9建华.线性代数M第二版.：机械工业，2002:160-176.10同济大学应用数学系.高等数学（下册）M。第五版。：高等教育，2002:99-107.11尔雄等.线性代数M.人民教育，1993.致在论文完成之际，我在师学院四年的学习生活即将结束，我要特别感我的指导老师红杰老师的热情关怀和悉心指导.在我撰写论文的过程中，老师倾注了大量的心血和汗水，他广博的学识，深