第四章不定积分

1、第四章不定积分由求运动速度、 曲线的切线和极值等问题产生了导数和微分，构成了微积分学的微分学部分； 同时由已知速度求路程、已知切线求曲线以及上述求面积与体积等问题，产生了不定积分和定积分，构成了微积分学的积分学部分.前面已经介绍已知函数求导数的问题，现在我们要考虑其反问题：已知导数求其函数，即求一个未知函数，使其导数恰好是某一已知函数. 这种由导数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分. 本章将介绍不定积分的概念及其计算方法 .b5E2RGbCAP即微分法 : F ( x)( ? ) 积分法 : ( ? )f ( x)第一节不定积分的概念与性质内容要点：1.原函数的概念2.不定积分的概念3.不定

2、积分的性质4.基本积分表5.直接积分法一、原函数与不定积分的概念定义 1：原函数：若对xI， F ( x)f ( x) 或 dF ( x)f (x)dx ，那么函数 F ( x)就称为 f (x) （或 f ( x) dx ）在区间 I 上的原函数。例 (ln x )1 ，故在（， 0）(0,) 上有 ln x 是 1 的原函数 .xx 什么情况下函数具有原函数，若原函数存在, 它如何表示?原函数存在定理：连续函数一定有原函数.即： f (x) 在 I 上连续，必有可导函数F ( x) ，xI ,使 F (x)f (x) .说明：（ 1）初等函数在定义区间上连续，所以初等函数在定义区间上有原函

3、数（ 2）若 F (x) 是 f (x) 的原函数，则F (x)C 也是 f (x) 的原函数，则f (x) 有无限多个原函数。（ 3 ）若 F ( x) 是 f (x) 的原函数，则f ( x) 的所有原函数可记为1/31F ( x) C (C 为任意常数） 。 p1EanqFDPw定义 2：不定积分：在区间 I上，函数 f ( x) 的带有任意常数项的原函数称为f ( x) （或 f (x)dx ）在区间 I 上的不定积分，记作：f (x)dx其中积分号， f ( x) 被积函数，f ( x) dx 被积表达式， x 积分变量。若 F (x)f (x) ， 则 f (x)dx F (x)

4、C 。注 : 由定义知 , 求函数f ( x) 的不定积分 , 就是求f (x) 的全体原函数 , 在 f ( x) dx 中,积分号表示对函数f ( x) 实行求原函数的运算, 故求不定积分的运算实质上就是求导 (或求微分 )运算的逆运算； DXDiTa9E3d例 1、 1 dx x当 x0时，由于 (ln x)1，所以1 dxln xC (x(0,)x11x1dx当 x0时，由于 ln(x)，故ln(x)C( x ( ,0)1 dx ln | x |xxx所以C 。x例 2、 设曲线通过点（ 1， 2），且其任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程。解：设曲线方程为 yf x

5、 由于由于 kf (x)2x，而 2xdxx2C ，故必有某常数 C，使f ( x) x2C，若f ( x)过点（12），则2 1CC 1，所以曲线方程为yx21。积分曲线：函数f ( x) 的原函数的图形。 （不定积分曲线是一族曲线。）不定积分和导数、微分之间的关系：2/31设 F (x)f (x) ，d f ( x)dx f (x) ， d f (x)dx f ( x) dx 。dx 因f ( x)dxF ( x)C ，故 F (x)f (x) F ( x)dxF (x)C ，dF ( x)F ( x)C ，即：积分运算， 以记号表示，微分运算， 以记号 d 表示，当和 d 连在一起时，或

6、者抵消，或者抵消后差一个常数。二、基本积分表（188 页 1 15，205 页 16 24）（ 1）kdxkxC（ k 是常数）（ 2）x dxx11)C, (u1（ 3）1 dxln | x | Cx（ 4）dxarl tan xC1 x2（ 5）dxarcsin x C1x2（ 6）cos xdxsin xC（ 7）sin xdxcos xC（ 8）1dxtan xC2cosx（ 9）1sin 2 xdxcot xC（ 10） secx tan xdx secxC（ 11）cscx cot xdxcsc xC（ 12）exdx exC3/31（ 13） ax dxaxC ， ( a0,且a

7、 1)ln a（ 14） shxdx chx C（ 15） chxdx shx C（ 16）212dx1 arc tan xCaxaa（ 17）212dx1 ln | x a | Cxa2ax a（ 18）1dxarc sin xCa2x2a（ 19）1dxln( xa2x2 ) Ca2x2（ 20）dxa2ln | xx2a2 | Cx2（ 21） tan xdxln |cos x | C（ 22） cot xdxln | sin x |C（ 23） secxdxln | secxtan x |C（ 24） cscxdxln | csc xcot x |C注： 1、从导数基本公式可得前15

8、个积分公式，(16)-(24) 式后几节证。2、以上公式把x 换成 u 仍成立， u 是以 x 为自变量的函数。3、复习三角函数公式：sin 2 x cos2 x 1, tan2 x 1 sec2 x,sin 2 x 2sin x cos x, cos2 x1 cos2 x ，24/31sin 2 x1 cos 2x 。2三、不定积分的性质:(前提： f ( x) 、 g (x) 都有原函数 )性质 1：函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和即： f (x)g( x)dxf ( x)dxg( x)dx证明：上式右端求导，有f ( x)dxg( x)dx'f ( x) dx'

9、;g (x)dx 'f ( x)g ( x) 。故 f (x)g( x)dxf (x)dxg( x)dx （因右端已含任意常数）性质2：求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外面来，即kf ( x)dxkf ( x)dx四、计算不定积分例 3、(1)x2xdx2 x3xC (2)dx3C7x 3x3x直接积分法： 利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分的方法 .5173例、x( x25)dx(x 25x2 ) dx2 x210 x2C73例 5、( x 1)3x33x23x 1dx3 1x2dxx2( x 32 )dxx xx23x3ln | x |1c2

10、x例 6、1x42 dxx4121dx( x21)dx12 dxx3x arctanx Cx1x1x3例 7、 2x ex dx12x exCln 25/31例 8、tan2 xdx(sec2 x1)dxtan xxC例 9、142xx dx(sin x)2 dx4csc xdx4cot x Csin22cos22例 10、 sin2xdx1 xsin xC22例 11、 2x4x23dx2 x214dx2 x3x 4arctan x Cx21x213课堂练习1、若 e x 是 f ( x)的原函数 , 则 x2 f (ln x)d x1x2C2提示： f (x) (e x )e x f (ln x)e ln x1x2、若 f ( x) 的导函数为sin x ，则 f( x) 的一个原函数是（）( A) 1 sin x ; ( B)