立体几何复习专题

1、.专题 : 空间角一、基础梳理1. 两条异面直线所成的角（ 1）异面直线所成的角的范围：(0, 。2（ 2）异面直线垂直： 如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线 a,b 垂直，记作 a b 。（ 3）求异面直线所成的角的方法：（ 1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线；（ 2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。1：三棱柱 OABO1 A1B1 ，平面 OBB1O1 平面 OAB ，O1OB 60 ,AOB90 ，且 O

2、B OO1 2,O1B1OA3 ，求异面直线A1 B 与 AO1 所成角的余弦。A1OBA2直线和平面所成的角（简称“线面角”）（ 1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0 角。直线和平面所成角范围：0，。2（ 2）最小角定理： 斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。Pa（ 3）公式： 已知平面 的斜线 a 与 内一直线 b 相交成角，且 a 与 相交成 1 角， a 在 上的射影 c 与 b 相交成 2 角，则有 cos 1 cos2cos。A

3、由（ 3）中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角。12cOBb.考点二：直线和平面所成的角例 2. 如图，在三棱柱 ABC A B C 边形 A ABB 是菱形，四边形 BCC BC中，四是矩形，CB AB, CB 2,AB 4, ABB 600， AB求 AC 与平面 BCC B 所成角的正切。CAB3：（ 1）在 1200 的二面角 P a Q 的两个面 P 与 Q 内分别有两点 A、B ，已知点 A 和点 B 到棱的距离分别为 2cm,4 cm ，且线段 AB 10cm。求：直线 AB 和棱 a 所成角的正弦值；直线A

4、B 和平面 Q 所成角的正弦值。（ 2）（ 08 全国 11）已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 内的射影为 ABC 的中心，则 AB1 与底面ABC 所成角的正弦值等于（）A 1B 2C 3D 233333ABCD中， AB 3 3,BC3，沿对角线BD将BCD折起，使点C移到（ ）如图，在矩形C 点，且 C 点在平面ABD 上的射影 O 恰在 AB 上。求直线AB 与平面 BC D 所成角的大小。33C (C)BA3OABCDD.（ 4） AB 为平面的斜线，则平面内过 A点的直线 l 与 AB 所成的最小角为 _ ，最大角为 _ 。平面内过A 点

5、的直线 l 与 AB 所成角的范围为 _ 。 AB 与平面内不过 A 点的直线所成的角的范围为 _ 。BA Bl直线 l1 与平面所成的角为300 ，直线 l2 与 l1 所成角为 600 ，则 l 2 与平面所成角的取值范围是 _ 。设直线 l 平面，过平面外一点 A 与 l ,都成 300 角的直线有且只有( )（）条（）条（）条（）条过正方体的顶点A 作截面， 使正方体的 12 条棱所在直线与截面所成的角皆相等。试写出满足条件的一个截面_ （注：只须任意写出一个），并证明。3二面角（ 1）二面角的概念： 平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半

6、平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。若棱为l ，两个面分别为 ,的二面角记为l。（ 2）二面角的平面角：Ol过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA, OB ，则AOB 叫做二面角l 的平面角。说明： 二面角的平面角范围是0,，因此二面OA BO'A'B'角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直。（ 3）二面角的求法：（ 4）（一）直接法：作二面角的平面角的作法： 定义法；棱的垂面法；三垂线定理或逆定理法；（注意一些常见模型的二面角的平面角的作法

7、）.（二）间接法： 面积射影定理的方法。（ 4）面积射影定理：面积射影定理： 已知ABC 的边 BC 在平面内，顶点 A。设ABC 的面积为 S ，它在平面内的射影面积为S1 ，且平面与 ABC 所在平面所成的二面角为(00900 ) ，则cosS1 。AS注：面积射影定理反映了斜面面积、射影面积S和这两个平面所成二面角的平面角间的关系；ABC 可以推广到任意的多边形。A1在二面角的平面角不易作时，经常采用“面积射影定理法” 。BDS1C例 3如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 SD 底面 ABCD，E，F 分别为 AB， SC 的中点。S（ 1）证明 EF 平面

8、 SAD；（ 2）设 SD 2DC ，求二面角 A EF D 的大小。FDCAEB如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，ACB900 , CB1,C1CA3, AA16 ， M 为侧棱 CC1 上一点，AMBA1 。A1B1（ 1）求证： AM平面 A1BC ；M（ 2）求二面角 BAM C 的大小；（ 3）求点 C 到平面 ABM 的距离。CAB.四棱锥 ABCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面ABC底面 BCDE ，ABC2，CD2， ABAC。证明： ADCE ；设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45o ，求二面角 CADE 的大小。BECDS 为直角梯形 ABCD 所在平

9、面外一点 ,ABC 900 , SAS面 ABCD , SA AB BC 1， AD1，求平面 SCD 与平面2SAB所成二面角的大小。BACD等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ，二面角 C ABD 的余弦值为3 ，M， N 分别是 AC，BC 的中点，则 EM ， AN 所成角的余弦值等于3。.例 4如图所示，已知平行六面体ABCDA1 B1C1D1 的底面 ABCDC1是矩形，且侧面ABB1 A1底面D1ABCD ， AB1BB1, AN3NB,M 、 E 分别是 B1C 、 AB 的中点，A1B1F 是 EC 的中点， AB 4,MN2M，侧棱与底面ABCD 成

10、450 的角。DC（ 1）求证： MF底面 ABCD ；（ 2）求二面角 M ABC 的大小；F（ 3）求 MN 与平面 B1CE 所成角的大小。AENBC1（ 1）已知正三棱柱ABC A 1B1C1 中， A 1B CB 1，则ABA 1B 与 AC 1 所成的角为（）（ A）4500C 1（B）60（ C）900（ D） 1200A 1B 1（ 2）（ 08 全国 10）已知正四棱锥 SABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是 SB的中点，则 AE，SD 所成的角的余弦值为（）A 1B2C3D 23333（ 3） Rt ABC 的斜边在平面内，顶点 A在 外， BAC 在平面内的射影是B

11、AC ，则BA C 的范围是 _ 。（ 4）从平面外一点 P 向平面引垂线和斜线，A 为垂足， B 为斜足，射线 BC，这时PBC 为钝角，设PBCx,ABCy ，则（）A. x yB.xyC.x yD.x, y 的大小关系不确定（ 5）相交成 60°的两条直线与一个平面所成的角都是45°，那么这两条直线在平面内的射影所成的角是（）A 30°B 45°C 60°D 90°（ 6）一条与平面相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm， 3cm，这条线段与平面所成的角是；若一条线段与平面不相交，两端点到平面的距离.分别是

12、 2cm， 3cm，则线段所在直线与平面所成的角是。（7） 、是从P点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线与平面PABPAPB PCPC所成角的余弦值是（）A 1B2C6D3223D13C1（ 8）如图，在正方体ABCDA1 B1C1 D1 中，M , N分别是 A A, AB 上的点，若NMC1900 ，1AB1那么NMB1 的大小是（）1A. 大于 900B.小于 900MDCC. 900D.不能确定（ 9）已知 SOANABC 所在平面于 O 点，且 S 到 A, B, C 三点等距离，若cosA cosBsin Asin B ，则 O 点（）A. 必在ABC 的某一

13、边上B.必在 ABC 外部（不含边界）C. 必在ABC 内部（不含边界）D.以上都不对（ 10）如果直角三角形的斜边与平面平行，两条直角边所在直线与平面BABC 中，有所成的角分别为1 和 2，则（A sin21sin 22C sin 21sin 22（ 11）如图，A，B 到 l 的距离分别是是和，AB在，则（）A， mnC， mn）1B sin 21sin 21D sin 21sin2Il， A，B，a 和 b ， AB 与，所成的角分别内的射影分别是m 和 n ，若 ab ，B， mnD， mn2 12 1AalbB（ 12）与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是_。2.

14、 已知直三棱柱ABC A1 B1C1 , AB AC, F 为 BB1 上一点， BF BC2a, FB1 a 。（ 1）若 D 为 BC 的中点， E 为 AD 上不同于 A、 D 的任意一点，证明：EF FC1 ；（ 2）若 A1B13a ，求 FC1 与平面 AA1B1B 所成角的正弦值。DBCEAFB1C1A1.3. 已知直角三角形ABC 的两直角边 AC2, BC 3 ， P 为斜边 AB 上的一点，现沿CP 将ACP 折起，使 A 点到 A 点，且 A 在面 BCP 内的射影在 CP 上。当 A B7 时，求二面角PAC B的大小。A (A)APP2C3BCBC1DA4如图正三棱柱

15、ABCA B C 中，底面边长为 a ，侧棱FB11111长为2 a ，若经过对角线AB1且与对角线BC1 平行的平E G2面交上底面于 DB1 。（ 1）试确定 D 点的位置，并证明你C的结论；（ 2）求平面AB1D 与侧面 AB1 所成的角及平面AB1 D 与底面所成的角； （ 3）求 A1到平面 AB1 D 的距离。AB5如图 , 在直四棱柱 ABCD A 1B 1C1D1 中， AB AD 2，DC 2 3 ， AA 1 3 ， AD DC， AC BD, 垂足为 E。（ I）求证： BD A 1C；（ II ）求二面角 A 1 BD C 1 的大小；（ III ）求异面直线 AD 与

16、 BC 1 所成角的大小。.6.如图，平面 ABEF平 面ABCD ，四边形 ABEF 与 ABCD都是直角梯形，BADFAB90o， BC 1AD，BE1AF。22（）证明： C， D，F，E 四点共面；（）设 AB BCBE ，求二面角 A EDB 的大小。FEADBC7（ 08 江西 20）如图，正三棱锥 O ABC 的三条侧棱 OA，OB，OC 两两垂直，且长度均为2。 E，F 分别是 AB，AC 的中点， H是 EF 的中点，过 EF 的一个平面与侧棱OA，OB，OC或其延长线分别相交于A1， B1， C1 ，已知 OA13。2（ 1）证明： B1C1 平面 OAH ；（ 2）求二面角 O A1 B1 C1 的大小。OA1FCAC1HEBB1.8如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1 的底面为正方形，O1 、 O 分别为上、下底面的中心，且 A1在底面 ABCD 上的射影是 O 。（ 1）求证：平面 O1 DC平面 ABCD ；（ 2）若点 E, F 分别在棱 AA1, BC 上，且 AE2EA1 ，问点 F 在何处时， EFAD ？（ 3）若 A1 AB600，求二面角 C AA1B 的大小（用反三角函数表示） 。D 1A 1O1C1EB1DCAOFB9如图，正四棱柱ABCD A1B1C1 D