空间向量与立体几何知识点归纳总结

1、一对一授课教案学员姓名：年级：所授科目：上课时间：年月日时分至时分共小时老师签名学生签名教学主题空间向量与立体几何上次作业检查本次上课表现本次作业一知识要点。1. 空间向量的 概念 ：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（ 1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（ 2）向量具有 平移不变性2. 空间向量的 运算 。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。OBOAABab ; BAOAOBab ; OPa(R)运算律： 加法交换律：abba加法结合律：数乘分配律：(ab)ca(bc)(ab )ab运算法则：三角形法则、平行四边形

2、法则、平行六面体法则3. 共线向量。（ 1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作 a / b 。ab b0a / bab（ 2）共线向量定理 ：空间任意两个向量、（），存在实数 ，使 。（ 3）三点共线 ： A 、 B、 C 三点共线 <=> ABACxOA yOB(其中<=> OCxy1)（ 4）与 a 共线的单位向量为aa4. 共面向量（ 1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（ 2）共面向量定理：如果两个向量a,b 不共线，p 与向量 a, b

3、 共面的条件是存在实数x , y 使 p xa yb 。（ 3）四点共面：若A 、 B、 C、 P 四点共面 <=> APx AByAC<=> OP xOA yOBzOC ( 其中 xy z1)15. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b, c 不共面， 那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x, y, z ，使 p xa yb zc 。若三向量ab,c 不共面，我们把 a,b ,c 叫做空间的一个基底， a,b , c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推 论 ： 设 O, A, B, C 是 不 共 面 的 四 点 ， 则 对 空

4、 间 任 一 点 P ， 都 存 在 唯 一 的 三 个 有 序 实 数 x, y, z ， 使。OPxOAyOBzOC6. 空间向量的直角坐标系：（ 1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz 中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(x, y, z) ，使 OAxiyizk ，有序实数组 ( x, y, z) 叫作向量A 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，记作A(x, y, z) ， x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。注：点A（x,y,z ）关于 x 轴的的对称点为(x,-y,-z), 关于 xoy 平面的对称点为(x,y,-z). 即点关于什么轴/平面对称，什么坐标

5、不变，其余的分坐标均相反。在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz 中的点设为(0,y,z)（ 2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用,i j, k 表示。空间中任一向量 axiy jzk=（ x,y,z ）（ 3 ）空间向量的直角坐标运算律：若，则11 22 33，a (a, a2, a3 )b(b1, b2, b3 )a b (a1b , a b , a b )a b (a 1b1, a2 b2 , a3b3 )，a ( a1, a2 , a3 )(R) ，a b a 1b1a2b2 a3b3 ，a / ba1b1, a2b2 ,a 3b3 (

6、 R) ，aba b a b2a b0 。若 A(x1, y11 1233) ，则 AB (x2z1 ) 。, z1 ) ， B(x2, y2, z21, y212xy, z一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定比分点公式：若A( 1x , 1y , 1z，) B(x2 , y2 , z2 ) ，APPB ，则点P坐标为( x1x2, y1y2,z1z2)。推导 ：设 P（ x,y,z）则(xx1, y y1, z z1)( x2 x, y2 y,z 2z),显然，1112 , y2 , z当 P 为 AB 中点时， P( x1x1y1z2 )22

7、2, (,),(,y3,)，三角形重心坐标为xxxyABC 中， A （x1y1z 1）Bx2y2z2C x3z3PP(y3 ,zz2z123, 1y213 )3222 ABC 的五心 ：内心 P：内切圆的圆心，角平分线的交点。ABAC （单位向量）AP()ABAC外心 P：外接圆的圆心，中垂线的交点。PAPBPC垂心 P：高的交点：PA PBPA PCPB PC （移项，内积为0，则垂直）重心 P：中线的交点，三等分点（中位线比）AP1(ABAC )3中心：正三角形的所有心的合一。（ 4）模长公式 ：若 a(a , a , a )， b (b ,b , b ) ，123123则 | a |a

8、 aa12a2 2a3 2 ， | b | b bb1 2 b22b3 2（ 5）夹角公式：cos a ba ba1b1a2b2a3b 3。| a | |b |a12 a22a3 2 b 12 b22b32ABC 中 ABAC0 <=>A 为锐角 ABAC0<=>A 为钝角，钝角（ 6）两点间的距离公式：若A( x1, y1, z1) ， B(x2, y2 , z2 ) ，2x1) 22 ( z2z1) 2则|AB|AB( x2( y2y1)，或 d( x2x1 )2( y2y1 )2( z2z1)2A, B7. 空间向量的数量积。（ 1）空间向量的夹角及其表示：已知两

9、非零向量a,b ，在空间任取一点O ，作 OAa, OBb ，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,bb,a；若a, b，则称 a2与 b 互相垂直，记作：ab 。（ 2）向量的模：设OA a ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：| a | 。（ 3 ） 向 量 的 数 量 积 ： 已 知 向 量 a,b ， 则 | a |b | cos ab, 叫 做 a, b 的 数 量 积 ， 记 作 a b ， 即a b| a | |b| cos a b,。（ 4）空间向量数量积的性质： a e| a |cosa, e。 aba b0 。 |

10、a |2aa 。（ 5）空间向量数量积运算律： (a) b(ab)a( b ) 。 a bb a （交换律） 。 a (bc)a ba c （分配律）。 不满足 乘法结合率：(a b)ca(bc)二空间向量与立体几何1线线平行两线的方向向量平行1-1 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行两面的法向量平行2 线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1 线面垂直线与面的法向量平行2-2 面面垂直两面的法向量垂直3 线线夹角（共面与异面） 0 O ,90 O 两线的方向向量n1 , n 2的夹角或夹角的补角，coscosn1, n233-1 线面夹角 0O ,90O ：求线面夹角

11、的步骤：先求线的方向向量AP 与面的法向量n 的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角. sincos AP, n3-2 面面夹角（二面角） 0O ,180 O ：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量n1, n 2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角 .coscos n 1 , n24点面距离h：求点 Px0 , y 0到平面的距离：在平面上去一点Q x, y ，得向量 PQ ； 计算平面的法;向量 n ;.PQnhn4-1 线面距离（线面平行）：转化为点面距离4-2 面面距离（面面平行）：转化为点面距离【典型例题】1基本运算与基本知识

12、（）例 1. 已知平行六面体ABCD ABCD，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。ABBC ；AB ADAA ；AB11AD AA) 。ADCC； (AB23MG例 2. 对空间任一点O 和不共线的三点A, B, C ，问满足向量式：OP xOA yOB zOC（其中xyz 1 ）的四点P, A, B, C是否共面？例 3 已知空间三点A （ 0， 2， 3）， B（ 2，1， 6）， C（ 1， 1， 5）。求以向量AB, AC 为一组邻边的平行四边形的面积S；若向量分别与向量AB, AC 垂直，且 |3a 的坐标。aa ，求向量42基底法（如何找，转化为基底运算）3坐标法（如何建立空

13、间直角坐标系，找坐标）4几何法例 4. 如图，在空间四边形OABC 中， OA8， AB6， AC4， BC5， OAC45 ，OAB 60 ，求OA 与 BC 的夹角的余弦值。OACB说明：由图形知向量的夹角易出错，如OA, AC135 易错写成OA, AC45 ，切记！例 5. 长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 4 ， E 为 AC 1 1 与 B1 D1 的交点， F 为 BC1 与 B1C 的交点，又 AF BE ，求长方体的高 BB 1 。【模拟试题】1. 已知空间四边形ABCD ，连结 AC , BD，设 M , G 分别是 BC ,CD 的中点，化简下列各表达

14、式，并标出化简结果向量：（ 1） AB BCCD ；1；1BC)（2） AB( BD（3AG(AB AC)。）222. 已知平行四边形ABCD ，从平面AC 外一点 O 引向量。OE kOAOF,。kOBOG, kOC, OH kOD（ 1）求证：四点 E, F ,G, H 共面；（ 2）平面 AC / 平面 EG 。513. 如图正方体ABCDA1 B1C1D1 中， B1E1D1F1A1 B1 ，求 BE 1 与 DF 1 所成角的余弦。45. 已知平行六面体ABCD ABCD 中，AB 4, AD3, AA5,BAD90BAADAA60，求 AC的长。6 参考答案 1. 解：如图，（ 1

15、）（ 2）ABBC CDACCDAD ；AB1 (BDBC )AB1 BC1BD 。2；22AB BMMGAG（3） AG1(ABAC )AGAMMG 。22. 解：（ 1）证明：四边形ABCD 是平行四边形， ACAB AD，EG OGOE ，k OCkOAk(OCOA)k ACk ( AB AD )k (OBOAODOA)OFOEOHOEEFEH E,F,G,H共面；（ 2）解：EFOFOE k(OB OA)k AB ，又 EGk AC ， EF / AB, EG / AC。所以，平面AC/ 平面 EG 。3. 解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系O xyz ，则 B(1,1,0) ， E1 (1,3，D(0,0,0)， F1(0,1,1) ，,1)1414 BE1(0,1)， DF 1,1) ，(0,44 BE1DF 117 ，114BE1 DF115 。00()11441615cos BE 1, DF 1161715 。171744AB AC14. 分析：AB(2, 1,3), AC(1, 3,2),cosBAC| AB|AC|2 BAC 60 &#