三角形全等综合证明试题带答案

1、三角形全等综合证明试题一解答题（共13小题）1（2015于洪区一模）如图1，在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（1）如果AB=AC，BAC=90°，当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；当点D在线段BC的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果ABAC，BAC是锐角，点D在线段BC上，当ACB满足什么条件时，CFBC（点C、F不重合），并说明理由2（2013烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合）

2、，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明3（2013昭通）已知ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使DAF=60°，连接CF（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如

3、图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系4（2013东营）（1）如图（1），已知：在ABC中，BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E证明：DE=BD+CE（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立

4、？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF的形状5（2014泰安）如图，ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M（1）求证：FMC=FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由6（2011绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况探索结论当点E为AB的中点时，

5、如图1，确定线段AE与的DB大小关系请你直接写出结论：AEDB（填“”，“”或“=”）（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“”，“”或“=”）理由如下：如图2，过点E作EFBC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC若ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）7（2010临沂）如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD（1）判断ABC的形状，并说明理由；（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段A

6、D、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；（3）保持图2中ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明8（2014郑州二模）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射

7、线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数9（2014德州）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=120°，B=ADC=90°E，F分别是BC，CD上的点且EAF=60°探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DG=BE连结AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180°E，F分别是BC，CD上的点，且EAF=BAD，上述结论是否仍然成立，

8、并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离10（2015前郭县二模）（1）问题发现如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE填空：AEB的度数为；线段AD，BE之间的数量关系为（2）拓展探

9、究如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACB=DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE，请判断AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由11（2014齐齐哈尔）在等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MNBC，过点B为一锐角顶点作RtBDE，BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP（无需写证明过程）（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图3中

10、，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明12（2009沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图方式摆放，其中ACB=DEB=90°，A=D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图中的DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且0°60°，其它条件不变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图中的DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且60°180°，其它条件不变，如图你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立

11、，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由13（2008宁德）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE（1）求证：CE=CF；（2）在图1中，若G在AD上，且GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且DCE=45°，BE=4，求DE的长三角形全等综合证明试题参考答案与试题解析一解答题（共13小题）1（2015于洪区一模）如图1，在ABC

12、中，ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（1）如果AB=AC，BAC=90°，当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF、BD的数量关系为相等；当点D在线段BC的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果ABAC，BAC是锐角，点D在线段BC上，当ACB满足什么条件时，CFBC（点C、F不重合），并说明理由【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题；开放型【分析】（1）当点D在BC的延长线上时的结论仍成立由正方形ADEF的性质可推出DABFAC

13、，所以CF=BD，ACF=ABD结合BAC=90°，AB=AC，得到BCF=ACB+ACF=90°即CFBD（2）当ACB=45°时，过点A作AGAC交CB的延长线于点G，则GAC=90°，可推出ACB=AGC，所以AC=AG，由（1）可知CFBD【解答】证明：（1）正方形ADEF中，AD=AF，BAC=DAF=90°，BAD=CAF，又AB=AC，DABFAC，CF=BD，B=ACF，ACB+ACF=90°，即CFBD当点D在BC的延长线上时的结论仍成立由正方形ADEF得AD=AF，DAF=90度BAC=90°，DAF=B

14、AC，DAB=FAC，又AB=AC，DABFAC，CF=BD，ACF=ABDBAC=90°，AB=AC，ABC=45°，ACF=45°，BCF=ACB+ACF=90度即CFBD（2）当ACB=45°时，CFBD（如图）理由：过点A作AGAC交CB的延长线于点G，则GAC=90°，ACB=45°，AGC=90°ACB，AGC=90°45°=45°，ACB=AGC=45°，AC=AG，DAG=FAC（同角的余角相等），AD=AF，GADCAF，ACF=AGC=45°，BCF=AC

15、B+ACF=45°+45°=90°，即CFBC【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件2（2013烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AEBF，QE与QF的数量关系式QE=QF；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点

16、Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）证BFQAEQ即可；（2）证FBQDAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；（3）证AEQBDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可【解答】解：（1）AEBF，QE=QF，理由是：如图1，Q为AB中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，BFQ=AEQ=90°，在BFQ和AEQ中BFQAEQ（AA

17、S），QE=QF，故答案为：AEBF；QE=QF（2）QE=QF，证明：如图2，延长FQ交AE于D，Q为AB中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，QAD=FBQ，在FBQ和DAQ中FBQDAQ（ASA），QF=QD，AECP，EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，QE=QF=QD，即QE=QF（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ、FB交于D，Q为AB中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，1=D，在AQE和BQD中，AQEBQD（AAS），QE=QD，BFCP，FQ是斜边DE上的中线，QE=QF【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的

18、应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等3（2013昭通）已知ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使DAF=60°，连接CF（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出A

19、C、CF、CD之间存在的数量关系【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质菁优网版权所有【专题】几何综合题；压轴题【分析】（1）根据已知得出AF=AD，AB=BC=AC，BAC=DAF=60°，求出BAD=CAF，证BADCAF，推出CF=BD即可；（2）求出BAD=CAF，根据SAS证BADCAF，推出BD=CF即可；（3）画出图形后，根据SAS证BADCAF，推出CF=BD即可【解答】（1）证明：菱形AFED，AF=AD，ABC是等边三角形，AB=AC=BC，BAC=60°=DAF，BACDAC=DAFDAC，即BAD=CAF，在BAD和CAF中，BA

20、DCAF，CF=BD，CF+CD=BD+CD=BC=AC，即BD=CF，AC=CF+CD（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CFCD，理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，BAC=DAF=60°，BAC+DAC=DAF+DAC，即BAD=CAF，在BAD和CAF中，BADCAF，BD=CF，CFCD=BDCD=BC=AC，即AC=CFCD（3）AC=CDCF理由是：BAC=DAF=60°，DAB=CAF，在BAD和CAF中，BADCAF（SAS），CF=BD，CDCF=CDBD=BC=AC，即AC=CDCF【点评】本题考查

21、了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，注意：证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中4（2013东营）（1）如图（1），已知：在ABC中，BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E证明：DE=BD+CE（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点

22、（D、A、E三点互不重合），点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF的形状【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）根据BD直线m，CE直线m得BDA=CEA=90°，而BAC=90°，根据等角的余角相等得CAE=ABD，然后根据“AAS”可判断ADBCEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；（2）与（1）的证明方法一样；（3）由前面的结论得到ADBCEA，则BD=AE，DBA=CAE，根据等边三角形的性质得ABF=CAF=60

23、°，则DBA+ABF=CAE+CAF，则DBF=FAE，利用“SAS”可判断DBFEAF，所以DF=EF，BFD=AFE，于是DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60°，根据等边三角形的判定方法可得到DEF为等边三角形【解答】证明：（1）BD直线m，CE直线m，BDA=CEA=90°，BAC=90°，BAD+CAE=90°，BAD+ABD=90°，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立BDA=BAC=，DBA+BAD=BAD+CAE=180

24、76;，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（3）DEF是等边三角形由（2）知，ADBCEA，BD=AE，DBA=CAE，ABF和ACF均为等边三角形，ABF=CAF=60°，DBA+ABF=CAE+CAF，DBF=FAE，BF=AF在DBF和EAF中，DBFEAF（SAS），DF=EF，BFD=AFE，DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60°，DEF为等边三角形【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边

25、相等也考查了等边三角形的判定与性质5（2014泰安）如图，ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M（1）求证：FMC=FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形菁优网版权所有【专题】几何综合题【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出DFAE，DF=AF=EF，进而利用全等三角形的判定得出DFCAFM（AAS），即可得出答案；（2）由（1）知，MFC=90°，FD=EF，FM=FC，即可得出FDE=FMC=45°，即可理由平行线的判定得出答案【解答】（1）

26、证明：ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，DFAE，DF=AF=EF，又ABC=90°，DCF，AMF都与MAC互余，DCF=AMF，在DFC和AFM中，DFCAFM（AAS），CF=MF，FMC=FCM；（2）ADMC，理由：由（1）知，MFC=90°，FD=FA=FE，FM=FC，FDE=FMC=45°，DECM，ADMC【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，得出DCF=AMF是解题关键6（2011绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况探索结论当点E为AB的中点时，如图1

27、，确定线段AE与的DB大小关系请你直接写出结论：AE=DB（填“”，“”或“=”）（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“”，“”或“=”）理由如下：如图2，过点E作EFBC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC若ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）【考点】全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】计算题；证明题；压轴题；分类讨论【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出D=ECB=

28、30°，ABC=60°，求出D=DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；（2）作EFBC，证出等边三角形AEF，再证DBEEFC即可得到答案；（3）分为四种情况：画出图形，根据等边三角形性质求出符合条件的CD即可【解答】解：（1）答案为：=（2）答案为：=证明：在等边ABC中，ABC=ACB=BAC=60°，AB=BC=AC，EFBC，AEF=ABC，AFE=ACB，AEF=AFE=BAC=60°，AE=AF=EF，ABAE=ACAF，即BE=CF，ABC=EDB+BED，ACB=ECB+FCE，ED=EC，EDB=ECB，EBC=E

29、DB+BED，ACB=ECB+FCE，BED=FCE，在DBE和EFC中，DBEEFC（SAS），DB=EF，AE=BD（3）解：分为四种情况：如图1：AB=AC=1，AE=2，B是AE的中点，ABC是等边三角形，AB=AC=BC=1，ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），ACE=90°，AEC=30°，D=ECB=BEC=30°，DBE=ABC=60°，DEB=180°30°60°=90°，即DEB是直角三角形BD=2BE=2（30°所对的直角边等于斜边的一半），即CD=1+2=

30、3如图2，过A作ANBC于N，过E作EMCD于M，等边三角形ABC，EC=ED，BN=CN=BC=，CM=MD=CD，ANEM，BANBEM，=，ABC边长是1，AE=2，=，MN=1，CM=MNCN=1=，CD=2CM=1；如图3，ECDEBC（EBC=120°），而ECD不能大于120°，否则EDC不符合三角形内角和定理，此时不存在EC=ED；如图4EDCABC，ECBACB，又ABC=ACB=60°，ECDEDC，即此时EDEC，此时情况不存在，答：CD的长是3或1【点评】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识

31、点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键7（2010临沂）如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD（1）判断ABC的形状，并说明理由；（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；（3）保持图2中ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明【考点】等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质菁优网版权所有【专题】证明题；几

32、何综合题；压轴题；探究型【分析】（1）根据矩形的性质及勾股定理，即可判断ABC的形状；（2）（3）通过证明ACDCBE，根据全等三角形的性质得出即可得线段AD、BE、DE长度之间的关系【解答】解：（1）ABC是等腰直角三角形理由如下：在ADC与BEC中，AD=BE，D=E=90°，DC=EC，ADCBEC（SAS），AC=BC，DCA=ECBAB=2AD=DE，DC=CE，AD=DC，DCA=45°，ECB=45°，ACB=180°DCAECB=90°ABC是等腰直角三角形（2）DE=AD+BE理由如下：在ACD与CBE中，ACD=CBE=90

33、°BCE，ADC=BEC=90°，AC=BC，ACDCBE（AAS），AD=CE，DC=EBDC+CE=BE+AD，即DE=AD+BE（3）DE=BEAD理由如下：在ACD与CBE中，ACD=CBE=90°BCE，ADC=BEC=90°，AC=BC，ACDCBE（AAS），AD=CE，DC=EBDCCE=BEAD，即DE=BEAD【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大8（2014郑州二模）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都

34、为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质菁优网版权所有【专题】动点型【分析】（1）因为点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，所以AP=BQAB=AC，B=CAP=60°，因而运用边角边定理可知ABQCAP再用全等三角形的性质定理及三角

35、形的角间关系、三角形的外角定理，可求得CQM的度数（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4t分别就当PQB=90°时；当BPQ=90°时利用直角三角形的性质定理求得t的值（3）首先利用边角边定理证得PBCQCA，再利用全等三角形的性质定理得到BPC=MQC再运用三角形角间的关系求得CMQ的度数【解答】解：（1）CMQ=60°不变等边三角形中，AB=AC，B=CAP=60°又由条件得AP=BQ，ABQCAP（SAS），BAQ=ACP，CMQ=ACP+CAM=BAQ+CAM=BAC=60°（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4t当PQB=

36、90°时，B=60°，PB=2BQ，得4t=2t，t=；当BPQ=90°时，B=60°，BQ=2BP，得t=2（4t），t=；当第秒或第秒时，PBQ为直角三角形（3）CMQ=120°不变在等边三角形中，BC=AC，B=CAP=60°PBC=ACQ=120°，又由条件得BP=CQ，PBCQCA（SAS）BPC=MQC又PCB=MCQ，CMQ=PBC=180°60°=120°【点评】此题是一个综合性很强的题目本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质难度很大，有利于培养同学们

37、钻研和探索问题的精神9（2014德州）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=120°，B=ADC=90°E，F分别是BC，CD上的点且EAF=60°探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DG=BE连结AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180°E，F分别是BC，CD上的点，且EAF=BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（

38、O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题；探究型【分析】问题背景：根据全等三角形对应边相等解答；探索延伸：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出B=ADG，然后利用“边角边”证明ABE和ADG全等，根据

39、全等三角形对应边相等可得AE=AG，BAE=DAG，再求出EAF=GAF，然后利用“边角边”证明AEF和GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可；实际应用：连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出EOF=AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可【解答】解：问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，B+ADC=180°，ADC+ADG=180°，B=ADG，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AE=AG，BAE=DAG，EAF=BAD，GAF=D

40、AG+DAF=BAE+DAF=BADEAF=EAF，EAF=GAF，在AEF和GAF中，AEFGAF（SAS），EF=FG，FG=DG+DF=BE+DF，EF=BE+DF；实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，AOB=30°+90°+（90°70°）=140°，EOF=70°，EOF=AOB，又OA=OB，OAC+OBC=（90°30°）+（70°+50°）=180°，符合探索延伸中的条件，结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里答：

41、此时两舰艇之间的距离是210海里【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点10（2015前郭县二模）（1）问题发现如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE填空：AEB的度数为60°；线段AD，BE之间的数量关系为AD=BE（2）拓展探究如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACB=DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE，请判断AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由【考点】全等三角形的

42、判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形菁优网版权所有【分析】（1）易证ACD=BCE，即可求证ACDBCE，根据全等三角形对应边相等可求得AD=BE，根据全等三角形对应角相等即可求得AEB的大小；（2）易证ACDBCE，可得ADC=BEC，进而可以求得AEB=90°，即可求得DM=ME=CM，即可解题【解答】解：（1）ACB=DCE，DCB=DCB，ACD=BCE，在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS），AD=BE，CEB=ADC=180°CDE=120°，AEB=CEBCED=60°；（2）AEB=90°，AE=BE+2CM，理由：

43、如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=90°，ACD=BCE在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS），AD=BE，ADC=BECDCE为等腰直角三角形，CDE=CED=45°，点A、D、E在同一直线上，ADC=135°BEC=135°，AEB=BECCED=90°CD=CE，CMDE，DM=MEDCE=90°，DM=ME=CM，AE=AD+DE=BE+2CM【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证ACDBCE是解题的关键11（2014齐齐

44、哈尔）在等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MNBC，过点B为一锐角顶点作RtBDE，BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP（无需写证明过程）（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质菁优网版权所有【专题】几何综合题【分析】（1）如答图2，作辅助线，构造全等三角形BDF

45、PDA，可以证明BD=DP；（2）如答图3，作辅助线，构造全等三角形BDFPDA，可以证明BD=DP【解答】题干引论：证明：如答图1，过点D作DFMN，交AB于点F，则ADF为等腰直角三角形，DA=DF1+FDP=90°，FDP+2=90°，1=2在BDF与PDA中，BDFPDA（ASA）BD=DP（1）答：BD=DP成立证明：如答图2，过点D作DFMN，交AB的延长线于点F，则ADF为等腰直角三角形，DA=DF1+ADB=90°，ADB+2=90°，1=2在BDF与PDA中，BDFPDA（ASA）BD=DP（2）答：BD=DP证明：如答图3，过点D作D

46、FMN，交AB的延长线于点F，则ADF为等腰直角三角形，DA=DF在BDF与PDA中，BDFPDA（ASA）BD=DP【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识点，作辅助线构造全等三角形是解题的关键12（2009沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图方式摆放，其中ACB=DEB=90°，A=D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图中的DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且0°60°，其它条件不变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图中的DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且60°180°，其它条件不变，如图你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】证明题；压轴题；探究型【分析】（1）我们已知了三角形BED和CAB全等，那么DE=AF+CF，因此只要求出E