相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答

1、、相似三角形判定的基本模型认识一） A 字型、反 A 字型（斜 A 字型）平行）不平行）二） 8 字型、反 8 字型（平行）三）母子型蝴蝶型）四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景五）一线三直角型：六）双垂型：相似三角形判定的变化模型旋转型： 由 A 字型旋转得到。一线三直角的1如图，梯形 ABCD中，ADBC，对角线 AC、 BD交于点 O，BECD 交 CA延长线于 E求证： OC2=OA? OE2如图，在 ABC中， AB=AC=10， BC=16，点 D是边 BC上（不与 B，C重合）一动点， ADE=B=， DE交 AC于点 E下列结论：A

2、D2=AE? AB； AE< 10；当 AD=2时， ABD DCE；DCE为直角三角形时， BD为 8 或其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）3已知：如图， ABC 中，点 E在中线 AD上， DEB=ABC 2求证：（1） DB2=DE? DA；（2）DCE=DAC24已知：如图，等腰 ABC中，AB=AC，ADBC于 D，CGAB，BG分别交 AD、AC于 E、F求证： BE2=EF? EG5如图，已知 AD为 ABC的角平分线， EF 为 AD的垂直平分线求证： FD2=FB? FC6已知：如图，在 RtABC中， C=90°， BC=2， AC=4，P

3、是斜边 AB上的一个动点， PDAB，交边 AC于点 D（点 D与点 A、C都不重合），E 是射线 DC上一点，且 EPD=A设 A、 P两点的距离为 x，BEP的面积为 y1）求证： AE=2PE；2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；BD、 CE分别是 AC与 AB边上的高，求证：BC=2DE8如图，已知 ABC 是等边三角形，点 D、B、 C、E在同一条直线上，且（1）图中有哪几对三角形相似请证明其中的一对三角形相似；DAE=12°0 9（已知：如图，在 RtABC中， AB=AC，DAE=45°求证：10如图，在等边 ABC中，边长为 6，D是BC边

4、上的动点， EDF=60°（1）求证： BDE CF D；（2）当 BD=1，CF=3时，求 BE 的长11（1）在ABC中， AB=AC=5，BC=8，点 P、Q分别在射线 CB、AC上（点 P不与点 C、点 B重合），且保持 APQ=ABC 若点 P 在线段 CB上（如图），且 BP=6，求线段 CQ的长；若 BP=x， CQ=y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形 ABCD的边长为 5（如图），点 P、Q分别在直线 CB、DC上（点 P 不与点 C、点 B重合），且保持 APQ=90度当 CQ=1时，写出线段 BP 的长（不需要计算过程，请直接写

5、出结果） 13已知梯形 ABCD中，ADBC，且 AD< BC，AD=5，AB=DC=2（ 1）如图， P 为 AD上的一点，满足 BPC=A，求 AP的长；（2）如果点 P在 AD边上移动（点 P 与点 A、D 不重合），且满足 BPE=A， PE交直线 BC于点 E，同时交直 线 DC于点 Q当点 Q在线段 DC的延长线上时，设 AP=x， CQ=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；14如图，在梯形 ABCD中，ADBC， AB=CD=BC=，6 AD=3点 M为边 BC的中点，以 M为顶点作 EMF=B， 射线 ME交腰 AB于点 E，射线 MF交腰

6、CD于点 F，连接 EF（1）求证： MEF BEM；（2）若 BEM是以 BM为腰的等腰三角形，求 EF的长；15已知在梯形 ABCD中， ADBC， AD<BC，且 BC=6，AB=DC=，4 点 E是 AB的中点（ 1）如图， P 为 BC上的一点，且 BP=2求证： BEP CPD；（2）如果点 P在 BC边上移动（点 P与点 B、C不重合），且满足 EPF=C， PF 交直线 CD于点 F，同时交直 线 AD 于点 M，那么16如图所示，已知边长为 3 的等边 ABC，点 F在边 BC上， CF=1，点 E是射线 BA上一动点，以线段 EF为 边向右侧作等边 EFG，直线 EG

7、，FG交直线 AC于点 M， N，（ 1）写出图中与 BEF 相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似；（ 3）设 BE=x，MN=y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（4）若 AE=1，试求 GMN的面积17如图所示， 已知矩形 ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点 （与 A、D不重合），过点 P作PECP 交直线 AB于点 E，设 PD=x， AE=y，（ 1）写出 y 与 x 的函数解析式，并指出自变量的取值范围；（2）如果 PCD的面积是 AEP 面积的 4倍，求 CE的长；（3）是否存在点 P，使 APE沿 PE翻折后，点 A落在

8、BC上证明你的结论18如图，在 RtABC中， C=90°， AB=5，点 D 是 BC的中点，点 E 是 AB边上的动点， DFDE交射线 AC于点 F（ 1）求 AC和 BC的长；（2）当 EFBC 时，求 BE的长； C=90°， AC=BC， BC相交于点 F19如图，在 Rt ABC 中， 重合），DFDE， DF与射线如图 2，如果点 D是边 AB 的中点，求证： 如果 AD：DB=m，求 DE： DF的值； 如果 AC=BC=6， AD：DB=1：2，设 AE=x，BF=y， y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；D是 AB边上一点， E 是在 AC边上的

9、一个动点（与点 A、C不（1）（2）（3）求DE=DF；x 的值；若不可能，请说明理由20如图，在ABC中，C=90°，AC=6，D是 BC边的中点， E为 AB边上的一个动点， 作DEF=90°，EF 交射线 BC于点 F设 BE=x， BED的面积为 y（ 1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（ 2）如果以线段 BC为直径的圆与以线段 AE为直径的圆相切，求线段 BE的长；（3）如果以 B、E、F为顶点的三角形与 BED 相似，求 BED的面积21如图，在梯形 ABCD中，ABCD， AB=2，AD=4，tanC= ，ADC=DAB=90&

10、#176;， P 是腰 BC上一个动点（不含点 B、C），作 PQAP 交 CD于点 Q（图 1）1）求 BC 的长与梯形 ABCD的面积；2）当 PQ=DQ时，求 BP的长；（图 2）3）设 BP=x， CQ=y，试求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域1. 解 证明： ADBC， 答：，又 BE CD，= ，即 OC2=OA? OE2. 解 解： AB=AC， B=C，2 AD2=AE? AB，答： 又 ADE=B ADE= C， ADEACD，故正确， 易证得 CDE BAD，BC=16，3. 答：4. 答：= ，整理得：设 BD=y， CE=x， =2即（ y 8） =64 10

11、x， 0<x，AE=AC CE=10 x， AE< 10故正确 作 AGBC 于 G，AB=AC=1，0 ADE=B=， cos=2y 16y+64=64 10x ， BC=16， AG=6，AD=2， DG=2， CD=8， AB=CD， ABD当 AED=90°时，由可知： ADE ACD， ADC=AED， AED=90°， ADC=9°0 ，与DCE全等；故正确；即 ADBC， AB=AC， BD=C，D ADE=B= 且 cos=，AB=10，BD=8当 CDE=9°0 时，易 CDE BAD， CDE=9°0 ， BAD

12、=90°，= AB=10， cosB= = ， BD= 故正确解 B= 且 cosDEB=ABC，BDE=ADB， BDEADB， ， BD2=AD? DE（ 2） AD是中线， CD=B，D CD 2=AD? DE，又 ADC=CDE， DEC DCA， DCE=DAC 证明：连接 CE，如右图所示，AB=AC，ADBC， AD 是 BAC的角平分线， BE=CE， EBC=ECB， 又 ABC=ACB， ABCEBC=ACBECB， 即ABE=ACE， 又CGAB， ABE=CGF， CGF=FCE， 又FEC=CEG， CEFGEC，CE： EF=EG： 22即 CE2=EF?

13、 EG，又 CE=BE， BE2=EF? EGCE，又 EF 为 AD的垂直平分线， AF=FD， CAF=B，DAF=ADF， DAC+CAF=B+BAD，=，=，AFC=AFC， ACF BAF，即22 AF2=CF? BF，即 FD2=CF? BF6. 解 答： ADP ABC，A=A，= = ，= = ，EPD=A，PED=AEP， EPDEAP= = AE=2PE2）由 EPD EAP，得PE=2DE，AE=2PE=4D，E 作 EH AB，垂足为点 H， AP=x， PD= x， PDHE，又AB=2 ，y= （2 x）定义域是 0< x<? x，即 y= HE= x

14、2x +x PE=2DEAE=2PE=4DEAE=ABE= ×x×2=另解：由 EPD EAP，得×x，x，2x定义域是 0< x<3）由 PEH BAC，得y=x+= ， PE= x? 当BEP与ABC相似时，只有两种情形： BEP=C=90°或 EBP=C=90° 解得 x= i ）当 BEP=90°时， y= x××5+= ，= ，×=×x= xii ）当 EBP=90°时，同理可得7. 解 答：证明： BD、 CE分别是 AC与 AB边上的高， BEC=BDC， B

15、、 C、D、E四点共圆， AED=ACB，而A=A，AEDACB，BDAC，且 A=60°， ABD=30°，AD= ， BC=2DE8. 解 答：E+CAE=60°ABC是等边三角形 ABC=ACB=BAC=60° D+DAB=60°， DAE=12°0 ， DAB+EAC=60° D=CAE，E=DAB D=D，E=E， DAEDBAACE（2） DBAACE，DB： AC=AB： CE2 AB=AC=B，C DB=2，CE=6BC2=DB? CE=12，BC> 0，BC=2 9. 解 证明：（ 1）在 Rt AB

16、C中， 答： AB=AC， B=C=45°BAE=BAD+DAE，DAE=45°， BAE=BAD+45° 而ADC=BAD+B=BAD+45°，BAE=CDA ABEDCA（2）由 ABE DCA，得BE? CD=AB? AC2 2 2 2 2 2而 AB=AC， BC2=AB2+AC2， BC2=2AB2BC2=2BE? CD10. 解 （ 1）证明： ABC 为等边三角形， B=C=60°， 答： EDF=60°，BED+EDB=EDB+FDC=12°0 ，BED=FDC， BDE CFD；2）解：由（ 1）知 BDE

17、CFD，BC=6，BD=1， CD=BC BD=5，=，解得 BE= 11. 答：解 解：（ 1） APQ+CPQ= B+BAP，APQ=ABC， BAP=CQP 又AB=AC， B=CCPQ BAP，AB=AC=，5 BC=8， BP=6，CP=86=2，若点 P在线段 CB上，由（ 1）知，BP=x， BC=8， CP=BC BP=8x，又 CQ=y， AB=5，即故所求的函数关系式为， 若点 P 在线段 CB的延长线上，如图0<x< 8）APQ=APB+CPQ，ABC=APB+PAB，APQ=ABC， CPQ= PAB又 ABP=180° ABC， PCQ=18&#

18、176;0 ACB， ABC=ACB，ABP=PCQ QCPPBABP=x， CP=BC+BP=8+，x AB=5， CQ=y，（ 2）当点 P在线段 BC上，即 5：（ 5BP）当点 P 在线段APQ=9°0 ， APB+QPC=9°0 ， PAB+APB=90°， PAB=QPC， B=C=90°， ABPPCQ，AB： PC=BP：CQ，=BP： 1，解得：，或 ，BC的延长线上，则点 Q在线段 DC的延长线上，同理可得： ABPPCQ， AB： PC=BP：CQ，5：（ BP5）=BP： 1，解得：，BP+5）=BP：1，解得： 当点 P 在线段

19、 CB的延长线上，则点 Q在线段 DC的延长线上， 同理可得： ABPPCQ， AB： PC=BP：CQ，5：13. 解 答：解：（ 1）ABCD是梯形， ADBC， AB=DC A=D ABP+APB+A=180°， APB+DPC+BPC=18°0 ， BPC=AABP=DPC， ABP DPC，即：解得： AP=1或 AP=4（ 2）由（ 1）可知： ABP DPQ ，即：当 CE=1时，1< x< 4）或PDQ ECQ， ，解得： AP=2 或（舍去）14. 答：解 证明：（ 1 ）在梯形 ABCD中，ADBC， AB=CD， B=C， BMF=EMB+

20、 EMF=C+MFC，又 EMF=B， EMB= MFC， EMB MFC，MC=M，B，又 EMF=B， MEFBEM；（ 2）解：若 BEM是以 BM为腰的等腰三角形，则有两种情况： BM=M，E那么根据 MEF BEM， = ， = ，即 EF=MF 根据第（ 1）问中已证 BME MFC， = ，即 MF=FC， FMC= C，又 B=C， FMC= B，MFAB延长 BA和 CD相交于点 G，又点 M是 BC的中点，MF是 GBC的中位线， MF= GB，又ADBC， GAD GBC，= = = ， =1，即 AG=AB=，6 GB=12， MF=EF=6BM=BE=，3 点 E 是

21、 AB的中点，又 MEFBEM， = =1，即 MF=ME，EF是梯形 ABCD的中位线， EF= （AD+BC）= （3+6）= ； （ 3） EFCD，15. 答：解一：过点 E作 EHBC，则可得 EHM 等腰直角三角形， 故 EH=M，H 设 BE=x，则 BH=，EH=MH= ，解二：过点 M作 MNDC， MC=3，NC= MN=FN， FC=，BE=，得 BE= 由MEF MFC有，即（ 1）证明：在梯形 ABCD中，ADBC， AB=DC， B=CBE=2，BP=2，CP=4，CD=4 BEPCPD2）解： B= C=EPF2EFC=90°，MEFBEM，MFE=MF

22、C= BME=4°5 ，180B=180EPF=BEP+BPE=BPE+CPF2< x<4）BEP=FPC， BEP CPF，当点 F 在线段 CD的延长线上时，FDM= C=B，BEP=FPC=FMD， BEP DMF，2x 3x+8=0，< ，故当点 F 在线段 CD的延长线上时，不存在点0此方程无实数根P 使；， ， BEP CPF，当点 F 在线段 CD上时，同理 BEPDMF，当时， BP的长为 1 x 9x+8=0，解得 x 1=1， x 2=8由于 x2=8 不合题意舍去 x=1，即 BP=116. 解 解：（ 1）BEFAME CFNGM；N 答：证

23、明：（ 2）在 BEF与 AME中， B=A=60°， AEM+ AME=12°0 ， GEF=60°， AEM+ BEF=120°， BEF=AME， BEF AME；解：（ 3）（i ）当点 E在线段 AB上，点 M、N在线段 AC上时，如图，BEF AME，BE： AM=BF：AE，即： x： AM=2：（ 3x）， AM=，同理可证 BEFCFN；BE： CF=BF：CN，即： x： 1=2：CN，CN= ，AC=AM+MN+，CN 3=+y+ ， y=（1x3）；（ii ）当点 E 在线段 AB上，点 G在ABC内时，如备用图一，同上可得： A

24、M=， CN= ，AC=AM+CN MN， 3=+ y ， y=（0<x1）；（iii ）当点 E在线段 BA的延长线上时，如备用图二， AM= ， CN= ，AC=MN+CN AM， 3=y+ ，y=（ x>3）；综上所述： y=（0<x1），或 y=（x1）；（4）（i ）当 AE=1时， GMN是边长为 1 等边三角形，SGM=N × 1× = ；（ 1 分）SGMN × × ；（ 分）（ii ）当 AE=1时， GMN是有一个角为 30°的 Rt，x=4， y= ， NG=FGFN=4×1× = ，

25、S = ×× =SGM=N ×× =GMN17. 答：又CD=2，AD=3，设 PD=x， AE=y，0<x<3；2）解：当 PCD 的面积是 AEP 面积的4 倍，则：相似比为2：1，解 （ 1）解： PECP，可得： EAPPDC，CD=2，AP=1， PD=2，PE= ， PC=2 ， EC= （ 3）不存在作 AFPE，交 PE 于 O， BC于 F，连接 EF AFPE，CPPEAF=CP=， PE= CDP POA = ， OA=18. 答：若 OA= AF，FDE=C=90° EFDFDCFD2=EF? CD，即 9k

26、2+4=2（ 4 4k），设 AC=3k， BC=4k，AB=5k=5， k=1，AC=3， BC=4；（2）过点 E 作 EHBC，垂足为 H易得 EHB ACB 设 EH=CF=3k， BH=4k， BE=5k； EFBCEFD=FDC负值舍去）， ；（3）过点设 EH=3k， HED+HDE=9°0 FDC+HDE=9°0E 作 EHBC，垂足为 H易得 EHB ACB BE=5kEHD=C=90°EHDDCFHED=FDC，当DEF和ABC相似时，有两种情况：1°解得，综合 1°、2°，当DEF和ABC相似时， BE的长为 或

27、 2°， ，即 解得19.解 （ 1）证明：如图 2，连接 DC答： ACB=90°， AC=BC， A=B=45°，点 D是 AB中点，BCD=ACD=4°5 ，CD=BD， ACD= B=45°EDDF，CDAB，EDC+CDF=90°，CDF+FDB=90°， EDC=FDB，CED BFD（ ASA）， DE=D；F2化简，得 9k2+8k 4=0解得（ 2）解：如图 1，作 DPAC，DQBC，垂足分别为点 Q，P B=A，APD=BQD=9°0 ， ADPBDQ，DP： DQ=AD：DB=m CPD=C

28、QD=9°0 ， C=90°， QDP=9°0 ， DFDE， EDF=90°， QDF=PDE， DQF=DPE=90°， DQFDPE，DE： DF=DP：DQ， DE： DF=DP：DQ=AD：DB=m；（ 3）解：如备用图 1，作 EGAB，FHAB，垂足分别为点 G、H 在 RtABC中， C=90°， AC=BC=6，AB=，AD： DB=1：2， 由AGE=BHF=90°可得 AG=EG= AD=， DB=， A=B=45°，BH=FH= ，GD= ，HD= ，易证 DGEFHD，作 OMAB 于 M， y=8 2x，定义域是0<x4如备用图 2，取 CE的中点 O，M= AB相切，则可得 CE=6 x， AO=， O若以 CE为直径的圆与直线20.