高考数学 向量中的三角形四“心”探究知识分析VIP

1、向量中的三角形四“心”探究三角形的四“心”与平面向量有着千丝万缕的关系，对这两者进行一定的探究，有助于我们更准确把握向量的本质在10年全国卷里有这样一道高考题：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足 ，则P点的轨迹一定通过的（ ）XA图1.AMOYCPQNBA外心 B内心 C重心 D垂心简析：本题通过考察平面向量中的单位向量与相关运算相关知识，来探究三角形中的四“心”问题 取 ， ，则、是单位向量，如图1，四边形AMQN是菱形，且AQ是的角平分线 ， 即，点的轨迹就是射线，点的轨迹一定通过的内心，故选B.这里我们很自然地会联想：满足条件的点P的轨迹通过的内心，那么能不能构

2、造一个类似的向量式子，使点P的轨迹通过的外心，重心或垂心？变题1：O是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三点，动点P满足 ，则P点的轨迹一定通过的 （ ）A外心 B内心 C重心 D垂心简析：如图2，取BC边上的中点D，连接AD.BX.ACDOY.P图2P，图2点的轨迹就是射线.点的轨迹一定通过的重心，故选C.其实众所周知，在平面向量中，三角形的重心还有一个非常重要的结论：点G为的重心的充要条件是：证明：若点G是的重心，O是任意一点，易得，当O与G重合时得；另一方面，以GC、GB为边作平行四边形GBEC，则，A、G、E三点共线，可知G必为的重心应用1：（2010年全国联赛）的三边长，G为

3、的重心，若满足，则的形状是 （ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D钝角三角形简析：G为重心，则有代入，得，故，所以应选C应用2：（2010年全国联赛） 设O点在内部，且有，则 的面积与的面积比为（ ）A2 B C3 DBOCFE图3简析：如图3，延长至，使；延长至，使， 由题意知，可知O是的重心有，而同理得，所以，故有，所以选C.变题2：O是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三点，动点P满足 ，则P点的轨迹一定通过的 （ ）A外心 B内心 C重心 D垂心Y图4B.ACXOP.简析：在式子的两边点乘，=0， （如图4） 点的轨迹过点A且垂直于边BC，点的轨迹一定通过的垂心，故

4、选D.变题3：O是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三点，动点P满足 ，则P点的轨迹一定通过的 （ ）A外心 B内心 C重心 D垂心图5P.BACDXOY.简析：如图5，取BC边上的中点D，如图4所以式子可化简成在式子的两边点乘， = 0 ， 点的轨迹过边BC的中点D且垂直于边BC点的轨迹一定通过的外心，故选A.通过前面几个变题的探究，我们看到了平面向量与三角形四“心”的内在联系，当然三角形四“心”在向量中的表现形式不是唯一的，我们再来欣赏其它的向量等式：1已知O是所在平面上的一点，若有，则O是 的内心简证：，所以题中可变为：，可知，与共线，即：是的角平分线，同理可得：分别为的角平分线，所以O是的内心2已知O是所在平面上的一点，若有，则O是的内心简证：由题知，所以点O是的三条角平分线的交点，即O是的内心3设O为所在平面上的一点，若 ，则点O为的垂心 简证：由题得，即，同理可证、，所以O为的垂心4设外心为O，若点M满足，则点M为垂心简证：， 而，故，所以有，同理，所以点M为垂心.5设O为所在平面上的一点，若，点O为的外心 简证：由题可得所以：，故，可得点O为的外心向量的内涵是十分丰富的，本文从向量这个角度对三角形的四“心”进行一定的总结归纳，使我们对三角形的四“心”在向量中的表现形式有了进一步的认识，看到了它