直线平面平行的判定与性质

1、§8.4直线、平面平行的判定与性质2014高考会这样考1.考查空间平行关系的判定及性质有关命题的判定；2.解答题中证明或探索空间的平行关系复习备考要这样做1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程的叙述步骤要完整，避免因条件书写不全而失分；2.学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”1 直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab2. 面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a，b，abP，a，b，a，b，a结论aba难点正本疑点清源1证

2、明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行但一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内2在判定和证明直线与平面的位置关系时，除熟练运用判定定理和性质定理外，切不可丢弃定义，因为定义既可作判定定理使用，亦可作性质定理使用3辅助线(面)是解(证)线面平行的关键为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线(面)1 已知不重合的直线a，b和平面，若a，b，则ab；若a，b，则ab；若ab，b，则a；若ab，a，则b或b.上面命题中正确的是_(填序号)答案解析若a，b，则a，b平行或异面；若a，b，则a，b平行、相交、异面都有可能；若ab，b，则a或a.2

3、 已知、是不同的两个平面，直线a，直线b，命题p：a与b没有公共点；命题q：，则p是q的_条件答案必要不充分解析a与b没有公共点，不能推出，而时，a与b一定没有公共点，即pD/q，qp，p是q的必要不充分条件3 已知平面平面，直线a，有下列命题：a与内的所有直线平行；a与内无数条直线平行；a与内的任意一条直线都不垂直其中真命题的序号是_答案解析因为，a，所以a，在平面内存在无数条直线与直线a平行，但不是所有直线都与直线a平行，故命题为真命题，命题为假命题在平面内存在无数条直线与直线a垂直，故命题为假命题4 (2011·浙江)若直线l不平行于平面，且l，则 ()A内的所有直线与l异面B

4、内不存在与l平行的直线C内存在唯一的直线与l平行D内的直线与l都相交答案B解析由题意知，直线l与平面相交，则直线l与平面内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的5 (2012·四川)下列命题正确的是()A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案C解析利用线面位置关系的判定和性质解答A错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交；B错误，ABC的三个顶点中，A、B在

5、的同侧，而点C在的另一侧，且AB平行于，此时可有A、B、C三点到平面的距离相等，但两平面相交；D错误，如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选C.题型一直线与平面平行的判定与性质例1正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且APDQ.求证：PQ平面BCE.思维启迪：证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性质证明方法一如图所示作PMAB交BE于M，作QNAB交BC于N，连接MN.正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，AEBD.又APDQ，PEQB，又PMABQN，PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形，

6、PQMN.又MN平面BCE，PQ平面BCE，PQ平面BCE.方法二如图，连接AQ，并延长交BC延长线于K，连接EK，AEBD，APDQ，PEBQ，又ADBK，PQEK.又PQ平面BCE，EK平面BCE，PQ平面BCE.方法三如图，在平面ABEF内，过点P作PMBE，交AB于点M，连接QM.PM平面BCE，又平面ABEF平面BCEBE，PMBE，又AEBD，APDQ，PEBQ，MQAD，又ADBC，MQBC，MQ平面BCE，又PMMQM，BEBCB，平面PMQ平面BCE，又PQ平面PMQ.PQ平面BCE.探究提高判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平

7、行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa) 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，BAD60°，AB2，PA1，PA平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点求证：BE平面PDF.证明取PD中点为M，连接ME，MF，E是PC的中点，ME是PCD的中位线，ME綊CD.F是AB的中点且四边形ABCD是菱形，AB綊CD，ME綊FB，四边形MEBF是平行四边形，BEMF.BE平面PDF，MF平面PDF，BE平面PDF.题型二平面与平面平行的判定与性质例2如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB

8、，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.思维启迪：要证四点共面，只需证GHBC；要证面面平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行证明(1)GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E、F分别为AB、AC的中点，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綊EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG.A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.探究提高证明面面平行的方法：(1)面面平行的定

9、义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化 证明：若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线平行于两个平面的交线解已知：直线a平面，直线a平面，b.求证：ab.证明：如图所示，过直线a作平面，分别交平面，于直线m，n(m，n不同于交线b)，由直线与平面平行的性质定理，得am，an，由平行线的传递性，得mn，由于n，m，故n平面.又n，b，故nb.又an，故ab.题型三平行关系的综合应

10、用例3如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维启迪：利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，再建立目标函数求最值解AB平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH.ABFG，ABEH，FGEH，同理可证EFGH，截面EFGH是平行四边形设ABa，CDb，FGH (即为异面直线AB和CD所成的角或其补角)又设FGx，GHy，则由平面几何知识可得，两式相加得1，即y(ax)，SEFGHFG·GH·sin x··(ax)·sin x(ax)x>

11、;0，ax>0且x(ax)a为定值，当且仅当xax时，x(ax)，此时x，y.即当截面EFGH的顶点E、F、G、H为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大探究提高利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO?解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.证明如下：Q为CC1的中点，P为DD1的中点，QBPA.P、O分别为DD1、DB的中点，D1BPO.又

12、D1B平面PAO，PO平面PAO，QB平面PAO，PA平面PAO，D1B平面PAO，QB平面PAO，又D1BQBB，D1B、QB平面D1BQ，平面D1BQ平面PAO.立体几何中的探索性问题典例：(12分)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论审题视角(1)可过E作平面ABB1A1的垂线、作线面角；(2)先探求出点F，再进行证明B1F平面A1BE.注意解题的方向性规范解答解(1)如图(a)所示，取AA1的中点M，连接EM，BM.因为E是DD1的中点，

13、四边形ADD1A1为正方形，所以EMAD.2分又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EM平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，EBM为BE和平面ABB1A1所成的角4分 图(a)设正方体的棱长为2，则EMAD2，BE3.于是，在RtBEM中，sinEBM，5分即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.6分(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE.事实上，如图(b)所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接B1F，EG，BG，CD1，FG.因A1D1B1C1BC，且A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，因此D1CA

14、1B.又E，G分别为D1D，CD的中点， 图(b)所以EGD1C，从而EGA1B.这说明A1，B，G，E四点共面所以BG平面A1BE.8分因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FGC1CB1B，且FGC1CB1B，因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1FBG，10分而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE.12分答题模板对于探索类问题，书写步骤的格式有两种：一种：第一步：探求出点的位置第二步：证明符合要求第三步：给出明确答案第四步：反思回顾查看关键点，易错点和答题规范另一种：从结论出发，“要使什么成立”，“只需使什么成立”，

15、寻求使结论成立的充分条件，类似于分析法温馨提醒(1)本题属立体几何中的综合题，重点考查推理能力和计算能力(2)第(1)问常见错误是无法作出平面ABB1A1的垂线，以致无法确定线面角(3)第(2)问为探索性问题，找不到解决问题的切入口，入手较难(4)书写格式混乱，不条理，思路不清晰方法与技巧1 平行问题的转化关系2 直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质3 平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a.失误与防范1在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误2在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“

16、低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”3解题中注意符号语言的规范应用A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 若直线m平面，则条件甲：“直线l”是条件乙：“lm”的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案D2 已知直线a，b，c及平面，下列条件中，能使ab成立的是 ()Aa，b Ba，bCac，bc Da，b答案C解析由平行公理知C正确，A中a与b可能异面B中a，b可能相交或

17、异面，D中a，b可能异面3 在梯形ABCD中，ABCD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面内的直线的位置关系只能是 ()A平行 B平行和异面C平行和相交 D异面和相交答案B解析CD，CD和平面内的直线没有公共点4 设m、n表示不同直线，、表示不同平面，则下列结论中正确的是 ()A若m，mn，则nB若m，n，m，n，则C若，m，mn，则nD若，m，nm，n，则n答案D解析D中，易知m或m，若m，又nm，n，n，若m，过m作平面交平面于直线p，则mp，又nm，np，又n，p，n.二、填空题(每小题5分，共15分)5 过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的

18、直线共有_条答案6解析过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条6. 如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_.答案a解析平面ABCD平面A1B1C1D1，MNPQ.M、N分别是A1B1、B1C1的中点，AP，CQ，从而DPDQ，PQa.7. 如图所示，在正四棱柱ABCDA1

19、B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件_时，有MN平面B1BDD1.答案M线段HF解析由题意，得HN面B1BDD1，FH面B1BDD1.HNFHH，面NHF面B1BDD1.当M在线段HF上运动时，有MN面B1BDD1.三、解答题(共22分)8 (10分)如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：PAGH.证明如图，连接AC交BD于点O，连接MO，四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点，又M是PC的

20、中点，APOM.则有PA平面BMD.平面PAHG平面BMDGH，PAGH.9. (12分)如图，已知平行四边形ABCD中，BC6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点(1)求证：GH平面CDE；(2)若CD2，DB4，求四棱锥FABCD的体积(1)证明方法一EFAD，ADBC，EFBC.又EFADBC，四边形EFBC是平行四边形，H为FC的中点又G是FD的中点，HGCD.HG平面CDE，CD平面CDE，GH平面CDE.方法二连接EA，ADEF是正方形，G是AE的中点在EAB中，GHAB.又ABCD，GHCD.HG平面CDE，CD平面CDE，GH平面CDE.(2

21、)解平面ADEF平面ABCD，交线为AD，且FAAD，FA平面ABCD.ADBC6，FAAD6.又CD2，DB4，CD2DB2BC2，BDCD.SABCDCD·BD8，VFABCDSABCD·FA×8×616.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 设m，n是平面内的两条不同直线；l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是 ()Am且l1 Bml1且nl2Cm且n Dm且nl2答案B解析对于选项A，不合题意；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1m可得l1，同理可得l2，故可得，充

22、分性成立，而由不一定能得到l1m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B；对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D，由于nl2可转化为n，同选项C，故不符合题意综上选B.2 下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形是 ()A B C D答案A解析由线面平行的判定定理知图可得出AB平面MNP.3 给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面、的三个命题：若l与m为异面直线，l，m，则；若，l，m，则lm；若l，m，n，l，则mn.其中真命题的个数为()A3 B2 C1 D0答案C解析中当与不平行时，也能存在符合题意的l、m.中l与m也可能异面中lm，同理ln，