第二章 控制系统的数学模型

1、1第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型v2.1 控制系统的时域模型控制系统的时域模型v2.2控制系统的频域模型控制系统的频域模型v2.3 控制系统的方框图与信号流控制系统的方框图与信号流图图v2.4 脉冲相应脉冲相应2本章本章主要内容主要内容本章重点本章重点 本章介绍了本章介绍了建立控制系统数建立控制系统数学模型和简化的学模型和简化的相关知识。包括相关知识。包括线性定常系统微线性定常系统微分方程的建立、分方程的建立、非线性系统的线非线性系统的线性化方法、传递性化方法、传递函数概念与应用、函数概念与应用、方框图及其等效方框图及其等效变换、梅逊公式变换、梅逊公式的应用等。的应用等。

2、通过本章学习，应着通过本章学习，应着重了解控制系统数学模型重了解控制系统数学模型的基本知识，熟练掌握建的基本知识，熟练掌握建立线性定常系统微分方程立线性定常系统微分方程的建立、传递函数的概念的建立、传递函数的概念和应用知识、控制系统方和应用知识、控制系统方框图的构成和等效变换方框图的构成和等效变换方法、典型闭环控制系统的法、典型闭环控制系统的传递函数的基本概念和梅传递函数的基本概念和梅逊公式的应用逊公式的应用。3v 2.1.1 控制系统的时域模型v 2.1.2 非线性运动方程的线性化2.1控制系统的时域模型控制系统的时域模型42.1.1控制系统的时域模型控制系统的时域模型v控制系统的运动方程控

3、制系统的运动方程 是根据描述系统特性的物理学定律写出。是根据描述系统特性的物理学定律写出。v 步骤步骤 1.找出输入量和输出量；找出输入量和输出量； 2.根据基本定律，从输入量开始，列写方程组；根据基本定律，从输入量开始，列写方程组； 3.消去中间变量消去中间变量,写成标准形式：写成标准形式：f(y)=f(x)，降幂排，降幂排列。列。 5例例1：222212d UdULCRCUUdtdtLCR2U1U11diURiLidtdtC21idtUC消去中间变量算子形式221(1)LCpRCpUU6例例2：7假定不考虑两节滤波电路的负载效应：11U1为C1两端电压89例例3：1011例例4：画出例：画

4、出例1的系统方框图。的系统方框图。122/()URILIpUUICp12d iUR iLUd t21idtUC消去中间变量1RLP1CpU1U2I122.1.2 非线性运动方程的线性化非线性运动方程的线性化13142.2 线性系统的复域模型线性系统的复域模型2.2.1 传递函数传递函数2.2.2 控制系统的传递函数控制系统的传递函数152.2.1 传递函数传递函数工具：拉普拉斯变换工具：拉普拉斯变换DDD161011211011( )( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbXsM sX sD sa sa sasa1011211011( )( )( )( )( )mmmmnnnnb s

5、bsbsbXsM sG sX sD sa sa sasa上式写成：上式写成：17例例8：LCR2U1U221(1)( )( )LCsRCsUsU s221( )1( )( )(1)UsG sU sLCsRCs18传递函数性质：传递函数性质：v 传递函数的唯一确定性传递函数的唯一确定性v 表明系统的固有特性表明系统的固有特性v 是复变量是复变量s的有理分式，分子分母多项式为的有理分式，分子分母多项式为实系数实系数v 零极点模型：零极点模型：v不能反应系统以及元件的物理结构不能反应系统以及元件的物理结构191.串联环节等效传递函数的求取串联环节等效传递函数的求取相互无负载效应的环节串联时，串联后等

6、效环节的相互无负载效应的环节串联时，串联后等效环节的传递函数等于每个串联环节空载时的传递函数的乘积。传递函数等于每个串联环节空载时的传递函数的乘积。20212.并联环节等效传递函数的求取并联环节等效传递函数的求取环节同向并联时，并联后等效环节的传递函数等于环节同向并联时，并联后等效环节的传递函数等于各个同向并联环节的传递函数之和。各个同向并联环节的传递函数之和。22233.反馈回路传递函数的求取反馈回路传递函数的求取负反馈：负反馈：正反馈：正反馈：24前向通道传递函数前向通道传递函数：输入端对应比较器输出：输入端对应比较器输出 e(s) 到输出端到输出端输出输出 X2(s) 所有传递函数的乘积

7、，记为所有传递函数的乘积，记为 G(s) 反馈通道传递函数反馈通道传递函数：输出：输出 X2 (s) 到到 输入端比较器的反馈信输入端比较器的反馈信号号 Y(s) 之间的所有传递函数之乘积，记为之间的所有传递函数之乘积，记为 H(s)开环传递函数开环传递函数：反馈引入点断开时，输入端对应比较器输：反馈引入点断开时，输入端对应比较器输出出e(s) 到输入端对应的比较器的反馈信号到输入端对应的比较器的反馈信号Y(s) 之间所有传之间所有传递函数的乘积，记为递函数的乘积，记为GK(s), GK(s)=G(s)H(s)闭环传递函数：？闭环传递函数：？252.2.2 控制系统的传递函数控制系统的传递函数

8、前向通道的传递函数：反馈通道的传递函数：G1G2H126112122( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )X sG ssXsX sX sC sG s XsY sH s C ssR sY s12728若不存在扰动信号，即若不存在扰动信号，即F(s)=0,R(s)C(s):若不存在输入信号，即若不存在输入信号，即R(s)=0,F(s)C(s):(单位反馈，单位反馈，H=1)29若不存在扰动信号，即若不存在扰动信号，即F(s)=0,R(s)E(s):以偏差作为输出：以偏差作为输出：302.3 控制系统的方框图与信号流图控制系统的方框图与信号流图

9、2.3.1 控制系统方框图控制系统方框图2.3.2 控制系统方框图的等效简化控制系统方框图的等效简化2.3.3 信号流图信号流图312.3.1 控制系统方框图控制系统方框图信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。间函数或象函数。 控制系统的结构图是描述系统各组成元件之间信号传控制系统的结构图是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形递关系的数学图形原理图元件数学模型。特点：直观。原理图元件数学模型。特点：直观。（1）方框（方块）方框（方块）:表示输入到输出单向传输间表示输入到输出单向传输

10、间 的函数关系。的函数关系。(G(s)R(s)C s)信信号号线线方方框框r(t)c t)32（2）比较点（汇合点、综合点）比较点（汇合点、综合点） 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。 “+”表示相加，表示相加，“-”表示相减。表示相减。“+”号可省略不写号可省略不写。 注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。33(3) 引出线（分支点、测量点）表示信号测量或引出的位置 X ( s )X ( s )R ( s )C ( s)(1sG)(2sG注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。 34R RC Ci i（a a）iuou解：由图2-

11、17，利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得：cidtuRuuiooi对其进行拉氏变换得： ( )( )( )( )( )iooU sUsI sRI sUssC画出下列RC电路的方框（结构）图。35（b b）I I( (s s) )(sUi)(sUoI I( (s s) )（c c）)(sUoI I( (s s) )（d d）)(sUo)(sUo)(sUi 将图（将图（b b）和）和(c)(c)组合起来即得到图组合起来即得到图(d)(d)，图，图(d)(d)为该一阶为该一阶RCRC网络的方块图。网络的方块图。362.3.2 控制系统方框图的等效简化控制系统方框图的等效简化 为了由系统的方块图方

12、便地写出它的闭环为了由系统的方块图方便地写出它的闭环传递函数，通常需要对方块图进行等效变换。传递函数，通常需要对方块图进行等效变换。方块图的等效变换必须遵守一个原则，即变换方块图的等效变换必须遵守一个原则，即变换前后各变量之间的传递函数保持不变。在控制前后各变量之间的传递函数保持不变。在控制系统中，任何复杂系统主要由响应环节的方块系统中，任何复杂系统主要由响应环节的方块经经串联、并联和反馈串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。三种基本形式连接而成。三种基本形式的等效法则一定要掌握。其他变三种基本形式的等效法则一定要掌握。其他变化（化（比较点的移动、引出点的移动、比较点和比较点的移动、引出点的移

13、动、比较点和引出点之间引出点之间不能不能互移互移）以此为基础（目标）。）以此为基础（目标）。37R R( (s s) )分分支支点点（引引出出点点）前前移移G(s)C C( (s s) )C C( (s s) ) 分分支支点点（引引出出点点）后后移移R R( (s s) )G(s)R R( (s s) )C C( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)G(s)()()(sGsRsC)()(1)()()(sRsGsGsRsR（1） 分支点的移动（前移、后移）分支点的移动（前移、后移） “前移前移”、“后移后移”的定义：按信号流向定义，也即的定义：按信号流向定义，也

14、即信号从信号从“前面前面”流向流向“后面后面”，而不是位置上的前后。，而不是位置上的前后。C( s )R( s )G(s)R( s )38C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )比比较较点点前前移移 比比较较点点后后移移C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) ) G(s)C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)G(s)Q Q( (s s) )()()()()()()()(sGsGsQsRsQsGsRsC)()()()()(

15、)()()(sGsQsGsRsGsQsRsC（2）相加点（比较点）的移动（前移、后移）相加点（比较点）的移动（前移、后移） “前移前移”、“后移后移”的定义：按信号流向定义，也即信的定义：按信号流向定义，也即信号从号从“前面前面”流向流向“后面后面”，而不是位置上的前后。，而不是位置上的前后。 39（4）分支点之间互移）分支点之间互移（3）相加点之间互移）相加点之间互移（5）相加点和分支点之间不能互移）相加点和分支点之间不能互移X(s)Y(s)Z(s)C(s)X(s)Y(s)Z(s)C(s)X(s)Y(s)Z(s)C(s)X(s)Y(s)Z(s)C(s)ababX(s)Z(S)=C(s)Y(s

16、)C(s)X(s)Y(s)C(s)Z(S)=C(s)40补充结论：控制系统方块图简化的原则补充结论：控制系统方块图简化的原则1.利用串联、并联和反馈的结论进行简化利用串联、并联和反馈的结论进行简化2.变成大环路套小环路变成大环路套小环路3.解除交叉点解除交叉点 相加点移向相加点：相加点之间可以互移相加点移向相加点：相加点之间可以互移 分支点移向分支点：分支点之间可以互移分支点移向分支点：分支点之间可以互移注：注：相加点和分支点之间不能互移相加点和分支点之间不能互移41例例10：绘制如图所示系统的方框图，求传递函数。：绘制如图所示系统的方框图，求传递函数。42434445例例11：46)()(1

17、)GG(GG ) 1)(11)(1)()()(4321243212143211243212114321211GGGGHGGGHGGGHGGGHGGGGGGHGGGsRsCsG472.3.3 信号流图信号流图节点：节点：用以表示变量或信号的点称为节点，用用以表示变量或信号的点称为节点，用符号符号“。”表示。表示。传输：传输：两个节点之间的增益或传递函数称为传两个节点之间的增益或传递函数称为传输。输。支路：支路：联系两个节点并标有信号流向的定向线联系两个节点并标有信号流向的定向线段称为支路。段称为支路。源点：源点：只有输出支路，没有输入支路的节点称只有输出支路，没有输入支路的节点称为源点，它对应于

18、系统的输入信号，或称为输为源点，它对应于系统的输入信号，或称为输入节点。入节点。阱点：阱点：只有输入支路，没有输出支路的节点称只有输入支路，没有输出支路的节点称为阱点，它对应于系统的输出信号，或称为输为阱点，它对应于系统的输出信号，或称为输出节点。出节点。48混 合 节 点1X2X3X4Xabcd5X输入节点输入节点（源点）（源点）输出节点输出节点（阱点）（阱点）输入节点输入节点（源点）（源点）49混合节点：混合节点：既有输入支路，又有输出支路的既有输入支路，又有输出支路的节点称为混合节点。节点称为混合节点。通路：通路：沿支路箭头方向而穿过各相连支路的沿支路箭头方向而穿过各相连支路的途径，称为

19、通路。如果通路与任一节点相交途径，称为通路。如果通路与任一节点相交不多于一次，就称为开通路；如果通路的终不多于一次，就称为开通路；如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其它节点相点就是通路的起点，并且与任何其它节点相交的次数不多于一次，称为闭通路或回路；交的次数不多于一次，称为闭通路或回路；如果通路通过某一节点多于一次，那么这个如果通路通过某一节点多于一次，那么这个通路既不是开通路，又不是闭通路。通路既不是开通路，又不是闭通路。回路增益：回路增益：回路中各支路传输的乘积，称为回路中各支路传输的乘积，称为回路增益。回路增益。50不接触回路：不接触回路：如果一些回路没有任何公如果一些回路没有任何

20、公共节点，就把它们叫做不接触回路。共节点，就把它们叫做不接触回路。自回路：自回路：只与一个节点相交的回路称为只与一个节点相交的回路称为自回路。自回路。前向通路：前向通路：如果在从源点到阱点通路上，如果在从源点到阱点通路上，通过任何节点不多于一次，则该通路称通过任何节点不多于一次，则该通路称为前向通路。前向通路中各支路传输的为前向通路。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路增益。乘积称为前向通路增益。51信号流图的绘制信号流图的绘制 由微分方程绘制由微分方程绘制 方程，这与画方块图差不多。方程，这与画方块图差不多。由系统方块图绘制。由系统方块图绘制。 s求如求如所示系统方块图的传递函数。所示系统

21、方块图的传递函数。HRBC1G2G3G4G1A2A解：解：用小圆圈表示各变用小圆圈表示各变量对应的节点量对应的节点在比较点之后的引出点在比较点之后的引出点 只需在比较点后设置只需在比较点后设置一个节一个节点点便可。也即可以与它前面便可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。的比较点共用一个节点。 在比较点之前的引出点在比较点之前的引出点B B，需设，需设置置两个节点两个节点，分别表示引出点和，分别表示引出点和比较点，注意图中的比较点，注意图中的 1e2eR1e1-H2G1G3G4G1e2e例例121252梅森(Mason)公式 信号流图特征式，它是信号流图所表示的方组的系数矩阵的行列式。在同一

22、个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是 ，变化的只是其分子。 kkPP1式中 :P 系统总增益（总传递函数） :k 前向通路数 kP第k条前向通路总增益：: )() 1 () 1(1mmfedcbaLLLLLLLLaLbccbLLL)1 ()() 1 (mmLLL所有不同回路增益乘积之和； 所有任意两个互不接触回路增益乘积之和； 所有任意m个不接触回路增益乘积之和。 :k为不与第k条前向通路相接触的那一部分信号流图的 值，称为第k条前向通路特征式的余因子。 53求如图所示信号流图的总增益求如图所示信号流图的总增益?)()(15sXsX(a)1x2x3x4x12a23a34a42a32a45a44a5x35a52a(b)1x2x3x4x5x11453423121aaaaP(c)2x1x3x5x44235231211 aaaaP例例13132P2P2P54(d)互互不不接接触触(e)(f)(g)互互不不接接触触2x2x2x2x3x3x4x4x5x5x32231aaL 4234232aaaL 443aL 524534234aaaaL 5235235aaaL 44322312aaaL 4452352325aaaaL (a)1x2x3x4x12a23a34a42a32a45a44a5x35a52a445235234