线性系统的根轨迹法

1、 第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法 4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 先通过一个简单的例子先通过一个简单的例子, 了解一下根轨迹的本质是什么了解一下根轨迹的本质是什么.设有二阶代数方程设有二阶代数方程0232Kss, 由韦达定理由韦达定理, 可求出其二个根可求出其二个根为为:Ks25. 05 . 12, 1, 由于代数方程是二阶的由于代数方程是二阶的, 求其根很方便求其根很方便即便如此即便如此, 当可变参数当可变参数K从从0连续变化到正无穷大时连续变化到正无穷大时, 计算这两个计算这两个根的所有值是相当麻烦的根的所有值是相当麻烦的. 那么能否在根平面即那么能否在根

2、平面即S平面上画出这平面上画出这两个根随两个根随K从从0连续变化到正无穷大时的变化轨迹呢连续变化到正无穷大时的变化轨迹呢? 下面从两下面从两个根的表达式着手来画个根的表达式着手来画. (1)K=0, 则则 2, 121ss, 在在S平面上的位置如下图所示平面上的位置如下图所示:0-1 -2j (2) 当当0K=0.25时时, 一个根的绝对值随一个根的绝对值随K的增大而增大的增大而增大, 另另一个根的绝对值随一个根的绝对值随K的增大而减小的增大而减小, 两根的变化轨迹如下图所示两根的变化轨迹如下图所示:0-1 -2j -1.5当当K=0.25时时, 两根相等两根相等, 均为均为-1.5 (3)

3、0.25K m时时,有有n-m条根轨迹的终点隐藏于条根轨迹的终点隐藏于S平面上的无平面上的无穷远处穷远处;当当nn时时, 有有m-n条根轨迹从条根轨迹从无穷远处的极点沿无穷远处的极点沿1, 2 , 1 , 0) 12(1nmknmknmpzanjjmiia一组渐近线进入有限零点一组渐近线进入有限零点, 这一组渐近线的这一组渐近线的由下式计算由下式计算: :a和和a 法则法则5 根轨迹的分离点根轨迹的分离点:两条或两条以上的根轨迹分支在两条或两条以上的根轨迹分支在S平面平面上相遇又分开的点称为上相遇又分开的点称为分离点分离点. 一般常见的分离点多位于实一般常见的分离点多位于实轴上轴上, 但有时也

4、产生于共軛复数对中但有时也产生于共軛复数对中(即在复平面上即在复平面上).分离点必为分离点必为重根点重根点, 分离点分离点d的值可由下式计算的值可由下式计算:miinjjzdpd1111由上式算得的由上式算得的分离点分离点d值必须使值必须使K0, 或者讲必须在根轨迹上或者讲必须在根轨迹上. 当开环传递函数没有一个零点时当开环传递函数没有一个零点时, 分离点分离点d的值由下式计算的值由下式计算: 011njjpd现计算例子中的现计算例子中的分离点分离点d值值, 由于由于:271271101113413415 . 015 . 0181611jdjdddjdjdjdjdddd对上式整理得对上式整理得

5、:用手工解十次代数方程相当麻烦用手工解十次代数方程相当麻烦. 但在实轴上的分离点有以下两但在实轴上的分离点有以下两个特点个特点: (1) 实轴上两个相邻的极点或两个相邻的零点之间的区段如实轴上两个相邻的极点或两个相邻的零点之间的区段如是根轨迹是根轨迹, 则其上必有一个分离点则其上必有一个分离点. 这两个相邻的极点或两个相这两个相邻的极点或两个相邻的零点中有一个可以是无限极点或零点邻的零点中有一个可以是无限极点或零点. (2) 实轴上某区段是根轨迹的话实轴上某区段是根轨迹的话, 如这区段的两个端点一个是如这区段的两个端点一个是极点极点, 而另一个是零点而另一个是零点, 则此区段上要么没有分离点则

6、此区段上要么没有分离点, 如有如有, 则不则不止一个止一个. 利用以上两个特点可初步判断实轴上那些区段上有分离点利用以上两个特点可初步判断实轴上那些区段上有分离点,然后用试探法求近似的分离点值然后用试探法求近似的分离点值, 求出一个后求出一个后, 对整理后的方程对整理后的方程可降一阶可降一阶.040677525.6709175.640674625.58474375.499357233825.572799375.543075.6215 .382345678910dddddddddd 法则法则6 起始角与终止角起始角与终止角:根轨迹离开开环复数极点处的切线根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹

7、角与正实轴的夹角,叫起始角叫起始角,以以ip标识标识; 根轨迹进入开环复数零根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角点处的切线与正实轴的夹角,叫叫终止终止角角,以以iz标识标识, 且且:)()(1)(1)(11njzpmijjzzznijjppmjpzpijijiijiji上两式中上两式中 ip表示下标序号为表示下标序号为i的开环复数极点的开环复数极点的起始角的起始角.ipijpz表示以下标序号为表示以下标序号为j的开环零点的开环零点jz为始点指向为始点指向ip的矢量与正实轴方向的夹角的矢量与正实轴方向的夹角.表示以下标序号为表示以下标序号为j的开环极点的开环极点表示下标序号为表示下标序号

8、为i的开环复数零点的开环复数零点ijppjp为始点指向为始点指向ip的矢量的矢量与正实轴方向的夹角与正实轴方向的夹角.iziz的的终止终止角角.ijzz表示以下标序号为表示以下标序号为j的开环零点的开环零点jz为始点指向为始点指向iz的矢量与的矢量与正实轴方向的夹角正实轴方向的夹角.ijzp表示以下标序号为表示以下标序号为j的开环极点的开环极点jp为始点指向为始点指向iz的矢量的矢量与正实轴方向的夹角与正实轴方向的夹角. 现以所举例子中序号为现以所举例子中序号为4即即i=4的开环复数极点为例的开环复数极点为例, 说明它说明它的起始角的计算过程的起始角的计算过程. 由计算起始角的公式可得由计算起

9、始角的公式可得:417)4(1)(444jjjpppzpjj43pz上式中上式中:(弧度弧度)7718.74324.01526.021049.01071.15 .635 .6125 .915 .01111141444342414ggggpzpzpzpzjpzttttj0p1123-1z1p4p5p6-6p2-8p3-10z2p7z3z4jj41pz44pz42pz46pp同理可得同理可得:(弧度弧度)5283.108520. 05191. 0221326. 01799. 01071. 15 . 345 . 32225 . 715 . 515 . 01111117)4(1474645434241

10、4gggggppppppppppppjjpptttttj0p1123-6p2-8p3-10z2-1z1p4p5p6p7z3z4jj41pp47pp45pp42pp43pp从而从而:由于根轨迹的对称性由于根轨迹的对称性, 则则:9783.213834.05283.107718.74p9783.215p 其它开环复数极点的起始角和开环复数零点的其它开环复数极点的起始角和开环复数零点的终止终止角同理角同理计算计算. 法则法则7 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点:若根轨迹与虚轴有交点若根轨迹与虚轴有交点, 则则交点处的临界根轨迹放大倍数交点处的临界根轨迹放大倍数KC值和值和值可令值可令s=j代入闭

11、环特代入闭环特征方程征方程 1+1+G G0 0( (s)=0, 再令其实部和虚部分别等于零而求得再令其实部和虚部分别等于零而求得; 也可由也可由劳斯判据求得劳斯判据求得. 下面举例说明绘制概略根轨迹七条法则的应用下面举例说明绘制概略根轨迹七条法则的应用. 例例: 设负反馈系统的开环传递函数为设负反馈系统的开环传递函数为:)23)(23)(5 . 3)(1()(0jSjSSSSKsG要求画概略根轨迹图要求画概略根轨迹图.解解: (1)0523, 23, 5 . 3, 1, 054321mnjpjpppp有五条根轨迹分支有五条根轨迹分支.(2) 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹: 见下图见下图 (3

12、) 渐近线渐近线: P1, 021-2-3.5 p3P2, -1p4p5jj-1-359,57,53,54, 3 ,2, 1 ,05)12(1 .2523235 .3104321051aaaaaajjakkjjmnp渐近线见下图渐近线见下图: (4)出射角出射角:P1, 021-2-3.5 p3P2, -1p4p5jj-1-3-2.12734.2676648.423258.14588.025 .02)22()32(1115)4ggppppppppjjppptttj出射角相当于出射角相当于92.7266度度, 由于对称性由于对称性, (5) 分离点分离点:7266.92

13、5p0136625 . 311112312315 . 311111251ddddddjdjddddpdjj上式手工求解较为麻烦上式手工求解较为麻烦, 采用试探法采用试探法. 由于实轴上由于实轴上0与与-1之间必有之间必有分离点分离点, 若使若使d=-0.4, 则上式左边约为则上式左边约为-0.027, 接近接近0. (6) 根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点: 由由G0(s)可得闭环特征方程为可得闭环特征方程为: 05 .455 .795 .435 .10)(2345KssssssD则则:05 .455 .4305 .795 .103524K令上式实部和虚部分别为零令上式实部和虚部分别为零, 得

14、得:05 .455 .795 .435 .10)(2345KjjjjD解上面联立方程解上面联立方程:28.153845 . 6002314.73036. 1cccKKK后两组舍去后两组舍去. 现现用劳斯判据求用劳斯判据求根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点, 由闭环特征方程列出由闭环特征方程列出劳斯行列表表头并计算各行各列的值劳斯行列表表头并计算各行各列的值, 得如下劳斯行列表得如下劳斯行列表:02123455 .10249755 .1136362875.1545425.3775 .10249755 .1075.4775 .1025.3775 .795 .105 .455 .431KsKKKsKK

15、sKsKss由令由令1s行第一列为零得行第一列为零得:05 .1136362875.154542KK, 解得解得:0562.15528,1812.73ccKK(舍去舍去), 将将1812.73cK代入代入2s行得辅助方程行得辅助方程:01812.7324.682s, 解此辅助方程得解此辅助方程得:036. 1 js完整的概略根轨迹如下图完整的概略根轨迹如下图:课外习题课外习题: P.166 第第4-3题题,第第4-4题题(1) (3),第第4-5题题(1) 第第4-6题题(2),第第4-10题题(2) (3)P1, 021-2-3.5 p3P2, -1p4p5jj-1-3-2.1 4-3 广义

16、根轨迹广义根轨迹 1. 参数根轨迹参数根轨迹 绘制根轨迹常以系统开环增益绘制根轨迹常以系统开环增益K或开环根迹增益或开环根迹增益K作为参变作为参变量量. 但当但当K或或K固定固定, 而系统其它某一个参数变化时而系统其它某一个参数变化时,也可利用绘也可利用绘制根轨迹的法则制根轨迹的法则, 以非以非K或非或非K为参变量绘制概略根轨迹为参变量绘制概略根轨迹, 这时这时绘制的根轨迹叫以非绘制的根轨迹叫以非K或非或非K为参变量的根轨迹为参变量的根轨迹, 简称参数根轨简称参数根轨迹迹. 设闭环系统的开环传递函数为设闭环系统的开环传递函数为: )()()(0sPsQsG则闭环系统的特征方程为则闭环系统的特征

17、方程为:0)()()()()(1)(10sPsQsPsPsQsG令令:)()()(sQsPsD, D(s)叫特征多项式叫特征多项式, D(s)=0叫特征方程叫特征方程,可可见闭环系统的特征方程等于开环传递函数的分母加分子见闭环系统的特征方程等于开环传递函数的分母加分子.例例: 设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为:)2(1)(0ssassG, K固定固定, a 可在可在0和和+ 间连续变化间连续变化, 则有上面的叙述则有上面的叙述,01) 2()(assssD由上式经整理由上式经整理, 将含有参变量将含有参变量a的项归并在一起的项归并在一起, 即即:称作等效开环传递函数称作等效开环传递

18、函数, 由由012)(2assssD将上面特征方程两边同时除以不含将上面特征方程两边同时除以不含a的的s多项式多项式, 得得:)(1012102sGssas)(0sG)(0sG, 即可用绘制根轨迹的法即可用绘制根轨迹的法 则则, 绘制以绘制以a为为参变数的参变数的概略根轨迹概略根轨迹. 课外习题课外习题: P.168第第4-13题题(2),第第4-14题题(2) 2. 附加附加开环零开环零极点的作用极点的作用 若闭环系统的控制性能不理想若闭环系统的控制性能不理想, 可通过附加开环零可通过附加开环零极点改极点改变闭变闭环系统的控制性能环系统的控制性能, 其实质是其实质是改变了改变了根轨迹的形状根

19、轨迹的形状. (1) 增加开环增加开环极点极点 设设闭环系统的原开环传递函数为闭环系统的原开环传递函数为)2)(1()(0ssKsG其根轨迹见下图其根轨迹见下图:0-1 -2j -1.5由图可分析得由图可分析得: 无论无论K多大多大, 闭环始终稳定闭环始终稳定, 但是个有差系统但是个有差系统. 如如给给G0(s)附加一个附加一个s=0的极点的极点, 即串接一个积分环节即串接一个积分环节, 则则:)2)(1()(0sssKsG其根轨迹图如下其根轨迹图如下:附加一个开环附加一个开环极点后极点后, ,根轨迹向右弯曲根轨迹向右弯曲, 当当K增至一定值后增至一定值后, 系统系统由稳定变为不稳定由稳定变为不稳定, 动态性能变坏动态性能变坏; 但系统在阶跃信号作用下由但系统在阶跃信号作用下由有差系统变为无差系统有差系统变为无差系统. 0-1 -2j (2) 增加开环增加开环零点零点设原开环传递函数增加一个设原开环