中值定理证明方法总结(1)

1、中值定理应用研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理泰勒公式推广微分中值定理的应用与技巧基本概念、内容、定理、公式一、罗尔( Ro le )定理 二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理机动目录上页下页返回结束中值定理一、罗尔( Rolle )定理y= f(x) 满足:(1) 在区间 a, b 上连续(2) 在区间 (a, b) 内可导(3)f( a) = f( b)在( a, b) 内至少存在一点 , 使 f() = 0.证:因 f(x) 在a , b上连续，故在 a, b上取得最大值 M和最小值 m.若 M= m,则 f(x) M

2、,xa, b ,因此 (a, b), f() = 0 .bxyoay= f(x)机动目录上页下页返回结束若 M m,则 M和 m中至少有一个与端点值不等,不妨设 M f(a) , 则至少存在一点 (a,b), 使f() = M, 则由费马引理得 f() = 0.注意:1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,0 x 10,x= 1yf(x) = x,x1yox 1,1f(x) = xf(x) = x yx0,1ox1o1x1机动目录上页下页返回结束limf(x) = limf(x)xa+xb在( a, b) 内至少存在一点 , 使 f() = 0.2) 定理条件只是充分的.本定理可

3、推广为y= f(x) 在 ( a, b) 内可导, 且证明提示: 设 F(x) =证 F(x) 在 a, b 上满足罗尔定理 .f(a+ ),x= af(x),a x bf(b ),x= b机动目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理y= f(x)满足:(1) 在区间 a, b 上连续 ?()(2) 在区间 ( a, b) 内可导至少存在一点 (a,b) , 使 f() = f(b) f(a).b aa bxyoy= f(x)思路思路思路思路: 利用逆向思维逆向思维逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然 , ?(x) 在 a, b 上连续 , 在 ( a, b) 内可导,

4、且?(a) = bf(a) af(b)= ?(b), 由罗尔定理知至少存在一点证: 问题转化为证?(x) = f(x) f(b) f(a) xb ab a(a,b), 使?() = 0, 即定理结论成立 .证毕拉氏目录上页下页返回结束= 0f(b) f(a)f() b a三、柯西(Cauchy)中值定理= 0f(b) f(a) F() f() F(b) F(a)?()分析:F(b) F(a) = F()(b a) 0f(x) 及 F(x) 满足 :(1) 在闭区间 a, b 上连续(2) 在开区间 ( a, b) 内可导(3)在开区间 ( a, b) 内F(x) 0至少存在一点 (a,b) ,

5、 使f(b) f(a) = f() .F()F(b) F(a)a b要证?(x) = f(b) f(a) F(x) f(x) F(b) F(a)柯西目录上页下页返回结束证: 作辅助函数( )( )F(b) F(a)?(x) = f(b) f(a) F x fx则?(x) 在a,b上连续, 在(a,b)内可导, 且?(a) = f(b)F(a) f(a)F(b) = ?(b)F(b) F(a)由罗尔定理知, 至少存在一点 (a, b),使 ?() = 0, 即f(b) f(a) = f() .F()F(b) F(a)思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f(b) f(a) = f()(b a),

6、(a, b)F(b) F(a) = F()(b a), (a, b)两个 不 一定相同错!机动目录上页下页返回结束上面两式相比即得结论.罗尔定理f() = 0yy= f(x)oabxF()f(b) f(a) = f()F(b) F(a)b af() = f(b) f(a)拉格朗日中值定理f(a) = f(b)f(a) = f(b)F(x) = x)n+ 1x x0(n+ 1) ( )(+ (n+ 1)! f 1 柯西中值定理F(x) = xyy= f(x)oab x泰勒中值定理f(x) = f(x0 ) + f(x0 )(x x0 )(n)n+ + n! f(x0 )(x x0 )1n= 0几

7、个中值定理的关系证明中值定理的方法辅助函数法直观分析逆向分析例如, 证明拉格朗日定理 : f(b) f(a) = f()(b a)要构造满足罗尔定理条件的辅助函数 .y = f(x)方法1. 直观分析 由图可知 , 设辅助函数oayxx+ Cby =f (b) f (a) b aF(x) = f(x) f(b) f(a) x Cb a(C为任意常数 )方法2. 逆向分析f(b) f(a) = f()(b a)要证 即证f() f(b) f(a) = 0b aF()F(x) = f(x) f(b) f(a)b a原函数法F(x) = f(x) f(b) f(a) xb a辅助函数同样, 柯西中值

8、定理要证(a, b)f(b) f(a) = f() ,g()g(b) g(a)即证f() f(b) f(a) g() = 0g(b) g(a)F(x) = f(x) f(b) f(a) g(x)g(b) g(a)原函数法F(x) = f(x) f(b) f(a) g( x)g(b) g(a)设* 中值定理的条件是充分的, 但非必要. 因此可适当减弱.例如, 设 f(x) 在(a,b) 内可导,且 f(a+ 0) = f(b 0),则至少存在一点证: 设辅助函数(a,b),使 f() = 0 . f(b 0) ,F(x) = f(x) , f(a+ 0),x= aa x bx= b显然 F(x)

9、在a,b 上连续, 在(a,b) 内可导, 由罗尔 定理可知 , 存在一点(a,b), 使 F() = 0 ,即 f() = 0 .* 中值定理的统一表达式设 f(x), g(x), h(x)都在a,b上连续 , 且在 (a,b)内可导, 证明至少存在一点 (a,b),使f() g()= 0 h()f(b)g(b)h(b)f(a)g(a)h(a)证: 按三阶行列式展开法有f()g()=h()f(b)g(b)h(b)f(a)g(a)h(a)h(b)f()g(a)h(a)g(b)( )h(b)f(a)h(a)f(b) g +f(b) h()g(b)f(a)g(a)利用逆向思维设辅助函数f(a)f(

10、b)f()g(a)g(b)g(a)g(b)g()=h(a)h(b)f()h(a)h(b)h()f(a)f(b) g +f(a)f(b) h()h(a)h(b)( )g(a)g(b)F(x)( )f(b)f(x)g(b)g(x)h(b)h(x)h(b)f(a)h(a)f(b) g xg(b)f(x) f(a)( ) =g(a)h(a)f(a)g(a)g(b)f(b) h x+显然 F(x) 在a, b 上连续 , 在 (a, b)内可导, 且F(a) = F(b) = 0 , 因此,由罗尔定理知至少存在一点 (a,b), 使 F() = 0 ,h(a)h(b)=g(a)即f(b)f()g(b)g

11、()= 0h(b)h()f(a)g(a)h(a)F() =说明若取 h(x) 1, g(x) = x, f(a) = f(b) ,即为罗尔定理;设 f(x), g(x), h(x)都在 (a,b) 上连续 , 且在a,b内可导, 证明至少存在一点 (a,b),使f() g()= 0 h()f(a)f(b)g(a)g(b)h(a)h(b)若取 h(x) 1, g(x) = x,即为拉格朗日中值定理;若取 h(x) 1, g(x) 0 ,即为柯西中值定理; ( 自己验证 )中值定理的主要应用与解题方法中值定理原函数的性质导函数的性质中值定理的主要应用(1) 利用中值定理求极限(2) 研究函数或导数

12、的性质(3) 证明恒等式(4) 判定方程根的存在性和唯一性(5) 证明有关中值问题的结论(6) 证明不等式反映反映反映反映（2） 应用中值定理的关键为：应用中值定理的关键为：如何构造合适的辅助函数？（难点、如何构造合适的辅助函数？（难点、 重点）重点）解题方法:从结论入手, 利用逆向分析法, 选择有关中值定 理及适当设辅助函数 .(1) 证明含一个中值的等式或证根的存在 , 常用 罗尔定理 , 此时可用原函数法设辅助函数.(2) 若结论中涉及到含一个中值的两个不同函数,可考虑用柯西中值定理 .注：注：（1） 几个中值定理中最重要、最常用的是几个中值定理中最重要、最常用的是:罗尔中值定理。罗尔中

13、值定理。(3) 若结论中含两个或两个以上中值 , 必须多次 使用中值定理 .(4) 若已知条件或结论中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 .(5) 若结论为恒等式 ,先证变式导数为 0 , 再利用 特殊点定常数 .(6) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.构造辅助函数的方法构造辅助函数的方法(1)不定积分求积分常数不定积分求积分常数法法.构造辅助函构造辅助函数数的步的步骤骤如如下下: 将欲证结论中将欲证结论中的的改改写为写为 ； 通通过恒过恒等等变变形将形将结论结论化化为易为易消消除导除导数数符号符号的的形形式式.(即易即易积积 分形分形式式)；

14、利利用观察用观察法法或不定或不定积积分分法法,方程两方程两边边同时积同时积分分； （ 或解或解微微 分方程分方程）解解出积分常出积分常数数,则则即为所求的辅即为所求的辅助助函函数数。以拉格朗日及柯西中值定理为以拉格朗日及柯西中值定理为例例， 说明辅助函说明辅助函数数的的构造作法构造作法：. 拉格朗日中拉格朗日中值定理的结值定理的结论论:将将 改写改写为为方程两边同时积方程两边同时积分分f(b) ) ) ) f f( ( ( (a a a a) ) ) ) xxxx+ + CC CC = = ff( (xx xx) ) b a解出积分常解出积分常数数，则则令辅助函令辅助函数数柯西中值定理的结柯西

15、中值定理的结论论:将将 改改写为写为直接积分消直接积分消不不去导数，故变形去导数，故变形为为方程两边同时积方程两边同时积分分解出积分常解出积分常数数，则则令辅助函令辅助函数数(2)常数变易常数变易法法此此法法适用于适用于常常数已分离数已分离出出来的命来的命题题, 构造辅构造辅助助函数的函数的步步 骤如骤如下下: 将常数部分设将常数部分设为为 恒等变恒等变形形,将等式一端变为将等式一端变为由由及及构成的代数构成的代数式式, 另另一端为一端为由由 及及构成的代数构成的代数式式. 分析关于端分析关于端点点的表达式的表达式是是否为否为对对称式或轮换称式或轮换对对称称式式 ,若若是是,只要把端只要把端点

16、点, 则换变量后的则换变量后的端端改改成成，改改成成点表达式为辅助函点表达式为辅助函数数.例1. 证明方程 x5 5x+ 1 = 0 有且仅有一个小于1 的 正实根 .证: 1) 存在性 .设 f(x) = x5 5x+1,则 f(x) 在 0 , 1 连续 , 且f(0) = 1, f(1) = 3. 由介值定理知存在 x0 (0,1), 使f(x0 ) = 0,即方程有小于 1 的正根 x0 .2) 唯一性 .假设另有x1 (0, 1), x1 x0 , 使 f(x1) = 0, f(x) 在以x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在x0 , x1 之间至少存在一点 , 使 f

17、() = 0.但 f(x) = 5(x4 1) 0,x( 0, 1), 矛盾, 故假设不真!机动目录上页下页返回结束5.2 .例题选讲例2.设 f(x)显然 ?(x) 在0,1 上满足罗尔定理条件, 因此至少存在 (0 ,1) ,使得?() = n n 1 f() +nf() = 0即nf() + f() = 0机动目录上页下页返回结束求证存在 (0 ,1) , 使 nf() + f() = 0.辅助函数辅助函数辅助函数辅助函数在0,1 连续，(0,1) 可导，且 f(1) = 0 ,证： 设辅助函数 ?(x) = xnf(x)如何想出来的？证: 取点 x0 (a,b),再取异于 x0的点 x

18、 (a,b),对 f(x) 在以x0 , x为端点的区间上用拉氏中值定理得f(x) f(x0 ) = f()(x x0 )( 界于 x0 与x 之间)f(x)=f(x0 ) + f()(x x0 )f(x0 )+f()x x0f(x0 )+ M(b a)令 K =f(x0 )+ M(b a),则对任意 x(a,b),f(x) K,即 f(x) 在(a,b) 内有界.例3. 设函数 f(x) 在(a,b) 内可导, 且证明 f(x) 在(a,b)内有界.f(x) M,例4. 设函数 f(x)在 0 ,1上连续, 在 (0 ,1) 内可导, 且 f(0) = 0 , 但当 x(0 ,1) 时 f(

19、x) 0 , 求证对任意自然数 n, 必有 (0 , 1) ,使nf() = f(1) f()f(1)分析分析分析分析: : 在结论中换 为 x,得nf(x) = f(1 x)积分积分积分积分 nln f(x) = ln f(1 x) + ln Cf(x)f(1 x)fn(x) f(1 x) = C显然 F(x) 在 0 ,1 上满足罗尔定理条件, 因此必有(0 , 1) , 使 F() = 0 ,即nfn 1() f() f(1) fn() f(1) = 0因 fn() f(1) 0 ,所以nf() = f(1) f()f(1)证: 设辅助函数 F(x) = fn(x) f(1 x)不定积分

20、不定积分不定积分不定积分求积分常数法!例5. 设函数 f(x)在 0 ,1 上二阶可导, 且f(0) = f(1) = 0 , 证明至少存在一点 (0 ,1) , 使f () = 2 f() .1分析分析分析分析: 在结论中将 换为 x, 得f (x) =2积分积分积分积分lnf(x) = 2 ln(1 x) + ln Cf(x)1 x(1 x)2 f(x) = C证: 设辅助函数F(x) = (1 x)2 f(x)因 f(x)在 0 ,1 上满足罗尔定理条件,所以存在(0 ,1) , 使 f() = 0.因此 F(x) 在 ,1上满足罗尔定理条件,故必存在 (,1) , 使 F() = 0即

21、有f () = 2 f() ,(, 1) (0 ,1) 1不定积分 求积分常数法!例6. 设 f(x)在 a,b 上连续, 在 (a,b)内可导,且 0 a b, 证明存在 (a, b) ,使2af(b) bf(a) = f() f()ab(b a)证: 方法1 . 因为所证结论左边为b aa b(b a)af(b) bf(a) =baf(b)f(a)设辅助函数xF(x) = f(x)由于F(x) 在 a,b上满足拉氏中值定理条件,且F(x) = xf(x) f(x) ,易推出所证结论成立 .x2方法2 . 令2af(b) bf(a) = f() f()ab(b a)= kab(b a)af(

22、b) bf(a)af(b) bf(a) = kab(b a)af(b) kab2= bf(a) ka2bbaf(b) kb2f(a) ka2=因此可考虑设辅助函数x( ) kxF(x) =f x 2由于 F(x)在 a,b上满足罗尔定理条件,(a, b),使 F() = 0 ,由此可推得故存在k = ()x=f(x)x故所证结论成立.常数变易法*例7. 设 f(x)在 a,b 上连续, 在 (a,b)内可导,且 f(a) = f(b) = 1,证明存在 ,(a, b) , 使e f() + f() = 1证:转化为证 即证e f() + ef() = e设辅助函数 F(x) = exf(x),

23、 由于它在 a,b 满足 拉氏中值定理条件,因此存在 (a, b) ,使exf(x) x= = (ex) x=F(b) F(a) = F() b a= e f() + f()b ae eba再对 ?(x) = ex转化为证e f() + ef() = e在 a,b 上用拉氏中值定理 ,则存在 (a,b), 使= eb ae eba因此,(a, b)e f() + ef() = ee f() + f()eb ea b a=(a, b) ,*例8. 设 f(x)在 0 ,1上连续, 在 (0 ,1)内可导,且 f(0) = 0 , f(1) = 1, 试证对任意给定的正数 a, b,存在 ,(0 , 1) , 使 a证:转化为证= 1f()f() 1, a+b+ a+b因0 aa+ b f(1)a+ b由连续函数定理可知,存在(0 , 1) , 使f() = a,a+ bf()f() b即 f(0) 0 时(x) = 1 + 1 (42(x) = 1 22 1 = 1 2x+1 x(x+1)1 022 (x+ 1 )2 124x+ 1又因 (0) =41(+ ) = lim 1 +