北师大版九年级数学上册知识点归纳

1、九年级数学上册知识点归纳第一章特殊平行IU!边形1 .菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质：具有平行四边形的性质，且四条边都相等，两条 对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形 是菱形。2 .矩形的性质与判定矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是 特殊的平行四边形。矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个 角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）矩形的判定：有一个内角是直

2、角的平行四边形叫矩形（根据 定义）。对角线相等的平行四边形是矩形。四个角都相等的四边形是矩形。推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。3.正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系（如图所示）：梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。一条腰和底垂直的梯形叫做直角

3、梯形。等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。夹在两条平行线间的平行线段相等。在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程1 .认识一元二次方程只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为“-+c=。（a、 b、c为常数，a/）的形式，这样的方程叫一元二次方程。把ax2 +bx + c = O （a、b、 c为常数，a#）称为一元二次方程的一 般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。2 .用配方法求解一元二次方程 配方法即将其变为Q + 的形式, 配方法解一元二

4、次方程的基本步骤把方程化成一元二次 方程的一般形式；将二次项系数化成1 ；把常数项移到方程的右边;两边加上一次项系数的一半的平方;把方程转化成的形式； 两边开方求其根。3 .用公式法求解一元二次方程 公式法、士 （注意在找abc时须先把方程化为一般 形式）4 .用因式分解法求解一元二次方程 分解因式法 把方程的一边变成另一边变成两个一次因 式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘吗5 .一元二次方程的根与系数的关系 根与系数的关系：当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2-4acv0时，方程无实数根。如果一元二次方程ax2

5、 +bx + c = 0 的两根分别为 XI、 X2, 则有bcXj + X1 = X X)= qa- a一元二次方程的根与系数的关系的作用：(1)已知方程的一根，求另一根;(2)不解方程，求二次方程的根XI、X2的对称式的值，特别注意以下公式:Q) X； +石=J +x2)2 -2xxx2(2)1+±=5±占 x2 xx2(MF)2 =(M +x2)2 -4%20)IXj -x21= yj(xl +x2)2 -4x2(§) X： + ¥=(Aj +x2)3 -3x,x2(x, + x2)(§)(I X I +1 x21)2 = (*i +x2

6、)2 -2xjX2 + 21 XjX2 I其他能用X或不表达的代数式O(3)已知方程的两根XI、X2,可以构造一元二次方程:J2 -(Xj +x2)x + x,x2 =0(4)已知两数XI、X2的和与积,求此两数的问题，可以转化的根为求一元二次方程X2 - (x, +x2)x + xx2 = 06 .应用一元二次方程 在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：设未知数(在设未知数时，大多数情况只要设问题为X ；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑);寻找等量关系(一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程)。处理问题的过程可以进一步概括为：问题分析求

7、解抽象检验一解答第三章概率的进一步认识频数与频率 频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数， 频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。概率的意义和大小：概率就是表示每件事情发生的可能性大 小，即一个时间发生的可能性大小的数值。必然事件发生的概 率为1;不可能事件发生的概率为0；不确定事件发生的概率 在。与1之间。【知识点1频率与概率的含义在试验中，每个对象出现的频繁程度不同，我们称每个对象出 现的次数为频数,而每个对象出现的次数与总次数的比值为频 率，即频率=黑把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的 概率。【知识点2通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率 在进行试

8、验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频 率稳定在相应的概率附近。我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率。【知识点3】利用画树状图或列表法求概率（重难点）第四章图形的相似一、线段的比1.成比例线段上如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD的长度 分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n，或写成 A m=一 B nX2.四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比, 即尸那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例 线段X3.注意点：a:b=k,说明a是b的k倍；由于线段a、b的长度都是正数，所以k是正数；比与所选线段的长度

9、单位无关,求出时两条线段的长度单位 要一致；除了 a=b之外声:b£b:a,:与2互为倒数； b a比例的基本性质:若贝IJ ad=be;若ad=be,贝心若 b ab a2平行线分线段成比例上平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.二、黄金分割XL如图L点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果与AB AC那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.仁日与1,。加8：1 2ACB图1派2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.3相似多边形1.一般地，形状相同的图形称为相似图形.X2.对应角相等、对应边成比例的两

10、个多边形叫做相似多边 形.相似多边形对应边的比叫做相似比.上在相似多边形中，最为简单的就是相似三角形.X2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相 似三角形对应边的比叫做相似比. 派3.全等三角形是相似三角的特例，这时相似比等于1.注意:证两个相似三角形，与证两个全等三角形一样，应把表示对应顶 点的字母写在对应的位置上.今相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.派5.相似三角形周长的比等于相似比.派6.相似三角形面积的比等于相似比的平方.相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.4探索三角形相似的条件上相似三角形的判定方法：一般三角形直角三角形基

11、本定理:平行于三角形的一边且和其他两边（或两边的延长一个锐角对应 相等；两条边对应成 比例：线）相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.两角对应相等；两边对应成比例,且夹角相等;三边对应成比例.a.两直角边对应成比例；b.斜边和一直角边对应成比例.义平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得 的对应线段成比例.如图2,/口/人,则崇第DE EFX3.平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线） 相交,所构成的三角形与原三角形相似.5相似三角形的判定定理的证明6利用相似三角形测高7相似三角形的性质8图形的位似第五章投影与视图A）三视图 主视图从正面看到的图左视图从左面看到的图俯

12、视图从上面看到的图 画物体的三视图时，要符合如下原则:大小：长对正，高平齐，宽 相等. 虚实:在画图时，看的见部分的轮廓通常画成实线，看不见部分 的轮廓线通常画成虚线.B）投影 物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就 是投影现象. 太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称 为平行投影。 在同一时刻，物体高度与影子长度成比例. 物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线（垂直于投 影面的平行光线）下的平行投影. 探照灯,手电筒，路灯，和台灯的光线可以看成是从一点出发的 光线，像这样的光线所形成的投影称为中心投影 皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子.它们是中心投影。C

13、）视点、视线、盲区的定义以及在生活中的应用。.眼睛所在的位置称为视点，.由视点发出的光线称为视线,.眼睛看不到的地方称为盲区第六章反比例函数知识点1反比例函数的定义 一般地，形如y' （k为常数，丘。）的函数称为反比例函数,X它可以从以下几个方面来理解：X是自变量，y是X的反比例函数;自变量x的取值范围是X。的一切实数，函数值的取值范围 日 .比例系数丘。是反比例函数定义的一个重要组成部分；反比例函数有三种表达式：y = "（k工。）,X（2）y = kx -I （kwo）,x.y = k （定值）（kwo）；函数（丘。）与X（k¥。）是等价的，所以当y是X的反 x

14、y比例函数时，X也是y的反比例函数。（k为常数，"。）是反比例函数的一部分，当k=0时，尸二X就不是反比例函数了，由于反比例函数y' （%。）中，只有一X个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从 而确定反比例函数的表达式。知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数yJ （丘。）中，只有一个待定系数，因此，只 X要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表 达式。知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别 位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由 于反比例函数中自变量函数中自变量X，。

15、，函数值所以它 的图像与X轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接 近坐标轴，但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤：列表；描点/连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点：列表时选取的数值宜对称选取;列表时选取的数值越多，画的图像越精确；连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光 滑的曲线连接，切忌画成折线； 画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标 轴相交知识点4反比例函数的性质 关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值 的增减情况，如下表：反比例函数>(kw°)k的符号k>0k<0图像JL47hv* Y性质x的取值范围是x*o, y 的取值范围是“0当k。时，函数图像的 两个分支分别在第一、X的取值范围是X*O, y的取值范围是“0 当k。时，函数图像 的两个分支分别在第第三象限，在每个象限二、第四象限，在每个 内，y随x的增大而减象限内，y随x的增大 小。而增大。注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限 内”否则，笼统地说，当k>。时，y随x的增大而减小“，就 会与事实不符的矛盾。反比例函数图像的位置和函数的增减性,是有反比例函数系数 k的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲