331几何概型 (2)

1、几何概型（几何概型（1）X 民和第一中学民和第一中学 刘永宏刘永宏教学目标教学目标 n1、正确理解几何概型的概念；n2 掌握几何概型的概率公式：n3、 会判别某种概型是古典概型还是几何概型； 复习复习n古典概型的两个基本特点古典概型的两个基本特点: :（1 1）所有的基本事件只有有限个）所有的基本事件只有有限个; ;（2 2）每个基本事件发生都是等可能的）每个基本事件发生都是等可能的. . 那么对于有无限多个试验结果的情况那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢相应的概率应如果求呢? ? 2 2. .射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环. .从外向从

2、外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色, ,金色金色靶心叫靶心叫“黄心黄心”. .奥运会的比赛靶面直径为奥运会的比赛靶面直径为122cm,122cm,靶心直径为靶心直径为12.2cm.12.2cm.运动员在运动员在70m70m外射箭外射箭, ,假设假设每每箭都能中靶箭都能中靶, ,且射中靶面内任一点都是等可能的且射中靶面内任一点都是等可能的, ,那那么射中黄心的概率是多少么射中黄心的概率是多少? ?射中靶面直径为射中靶面直径为122cm122cm的的大圆内的任意一点大圆内的任意一点. .这个问题能否用古典概型的方法来求解呢这个问题能否用古典概型的方法来

3、求解呢? ? 怎么办呢怎么办呢? ?基本事件基本事件: :问题情境一问题情境一1 1. .取一根长度为取一根长度为30cm30cm的绳子，拉直后在任意位的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm10cm的的概率有多大？概率有多大？从从30cm30cm的绳子上的任意一点剪断的绳子上的任意一点剪断. .基本事件基本事件: :问题情境二问题情境二能否用古典概型的公式来求解能否用古典概型的公式来求解?n1、这两个概率问题与古典概型有什么区别？n2、有没有和古典概型相同的地方呢？n3、这两个例题的概率与什么有关？想一想3 31 1A A) )事事件

4、件A A发发生生的的概概率率P P( (0 0. .0 01 11 12 22 24 41 11 12 2. .2 24 41 1( (B B) )事事件件B B发发生生的的概概率率为为P P2 22 2事事件件B B发发生生. .的的黄黄心心内内时时, ,c cm m1 12 2. .2 2 4 41 1而而当当中中靶靶点点落落在在面面积积为为的的大大圆圆内内, ,c cm m1 12 22 2 4 41 1为为面面积积由由于于中中靶靶点点随随机机地地落落在在黄黄心心”为为事事件件B B, ,对对于于问问题题2 2. .记记“射射中中2 22 22 22 2对于问题对于问题1. 1.记记“剪

5、得两段绳长都不小于剪得两段绳长都不小于10cm”10cm”为事件为事件A. A. 把绳子三等分把绳子三等分, ,于是当剪断位置处在中间一段上时于是当剪断位置处在中间一段上时, ,事件事件A A发发生生. .由于中间一段的长度等于绳长的由于中间一段的长度等于绳长的1/3.1/3. 对于一个随机试验对于一个随机试验, ,我们将每个基本事件理解为从某我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地个特定的几何区域内随机地取一点取一点, ,该区域中的每一个点该区域中的每一个点被取到的机会都一样被取到的机会都一样, ,而一个随机事件的发生则理解为恰而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的好取

6、到上述区域内的某个指定区域中的点某个指定区域中的点. .这里的区域可这里的区域可以是以是线段、平面图形、立体图形线段、平面图形、立体图形等等. .用这种方法处理随机用这种方法处理随机试验试验, ,称为称为几何概型几何概型. .几何概型的特点几何概型的特点: :(1)(1)基本事件有无限多个基本事件有无限多个;( (2)2)基本事件发生是等可能的基本事件发生是等可能的.建构数学 一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:注:(1)(1)当当DD分别是分别是线段、平面图形、立体图形线段、平面图形、立体图形时时, ,相应的相应的“区区域域”分别

7、是分别是长度、面积和体积长度、面积和体积. .（2 2）区域应指）区域应指“开区域开区域” ” ，不包含边界点；在区域，不包含边界点；在区域 内随机取点是指：该点落在内随机取点是指：该点落在 内任何一处都是等可能的，内任何一处都是等可能的，概率的大小与随机事件所在的区域的形状、位置无关至于概率的大小与随机事件所在的区域的形状、位置无关至于该区域的大小有关。该区域的大小有关。DD( )P ADd的区域长度（面积或体积）区域长度（面积或体积）古典概型与几何概型的相同点古典概型与几何概型的相同点和不同点是什么？和不同点是什么？相同：相同：两者基本事件发生的可能性都是相等的；两者基本事件发生的可能性都

8、是相等的；不同：不同：古典概型要求基本事件有有限个，古典概型要求基本事件有有限个，每个每个基本事件发生的概率都是基本事件发生的概率都是1/n,几何概型要求基本事件有无限多个。几何概型要求基本事件有无限多个。每个基本每个基本事件的概率都是事件的概率都是0.注意：基本事件的注意：基本事件的“等可能性等可能性”的判断的判断 是不能忽略的。是不能忽略的。随堂练习随堂练习: :图中有两个转盘图中有两个转盘. .甲乙两人甲乙两人玩转盘游戏玩转盘游戏, ,规定当指针指向规定当指针指向B B区域时区域时, ,甲获胜甲获胜, ,否则乙获胜否则乙获胜. .在两种情况下分别在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少求甲获

9、胜的概率是多少? ?答：他等待的时间不超过答：他等待的时间不超过10分钟分钟”的概率为的概率为60501( ),606P A例例1 1 某人午觉醒来某人午觉醒来, ,发现表停了发现表停了, ,他打开收音机他打开收音机, ,想想听电台报时听电台报时, ,求他等待的时间不多于求他等待的时间不多于1010分钟的概率分钟的概率. .16解解: 设设A=等待的时间不多于等待的时间不多于10分钟分钟.我们所关心的事件我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时恰好是打开收音机的时刻位于刻位于50, 60时间段内时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得因此由几何概型的求概率的公式得数学应用说明：说明：在本例中，到

10、站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从0,60上的均匀分布，X为0,60上的均匀随机数例例2.2.在在1L1L高产小麦种子中混入了一粒带高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病麦锈病的种子的种子, ,从中随机取出从中随机取出10mL,10mL,含有麦锈病种子的含有麦锈病种子的概率是多少概率是多少? ?这这一一事事件件记记为为A A. .则则其其中中含含有有病病种种子子 取取出出1 10 0m ml l麦麦种种, ,: :解解麦种中“从 L1. .1 10 00 01 1为为含含有有麦麦锈锈病病种种子子的的概概率率答答1 10 00 01 11 10 00 0

11、0 01 10 0所所有有种种子子的的体体积积取取出出种种子子的的体体积积P P( (A A) )例1和例2的本质山是一致的。都可以理解为一个点随机放入一个区域内，求这个点刚落入指定区域内的概率。n知识归纳和梳理：解决几何概型问题的一般方法解决几何概型问题的一般方法：度可以把问题抽象成一个元素随机放入一个集：度可以把问题抽象成一个元素随机放入一个集合，求该元素刚好放入一个指定子集的概率，则合，求该元素刚好放入一个指定子集的概率，则此概率就等于两个几何的长度（线段）、面积（此概率就等于两个几何的长度（线段）、面积（平面图形）、体积（立体图形）之比。平面图形）、体积（立体图形）之比。 1.1.在在

12、1 1万平方公里的海域中有万平方公里的海域中有4040平方公里的大陆贮平方公里的大陆贮藏着石油藏着石油. .假如在海域中任意一点钻探假如在海域中任意一点钻探, ,钻到油层面钻到油层面的概率是多少的概率是多少? ?练一练练一练: :练一练练一练ABCDA1B1C1D1A2B2C2D2M2.正方体正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为1，在正方体内随机取点在正方体内随机取点M，求使四棱锥，求使四棱锥M-ABCD的体积小于的体积小于1/6的概率的概率.课堂小结课堂小结n1.1.古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型的区别. .相同：相同：两者基本事件的发生都是等可能的；两者基本事件的发生都是等可能的；不同：不同：古典概型要求基本事件有有限个，古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个几何概型要求基本事件有无限多个. . n2.2.几何概型的概率公式几何概型的概率公式. . n3.几何概型概率的求解关键是如何从几何概型概率的求解关键是如何从实际背景中抽象出几何区域。实际背景中抽象出几