大学数学：第7章 1线性相关性

1、线性方程组及其解法 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构线性方程组的求解线性方程组的求解第七章第七章学习要求学习要求了解向量的概念，掌握向量的线性运算法则；了解向量的概念，掌握向量的线性运算法则； 理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法；线性无关的有关性质及判别法；理解向量组的极大无关组和秩的概念，会求向理解向量组的极大无关组和秩的概念，会求向量组的极大无关组及秩；量组的极大无关组及秩； 了解向量组等价

2、的概念，了解矩阵的秩与其行、了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行、列向量组的秩之间的关系。列向量组的秩之间的关系。 向量与线性方程组向量与线性方程组 引例引例 一个方程对应一组数一个方程对应一组数1 12212,nnna xa xa xba aa b矩阵的一行对应一组数矩阵的一行对应一组数线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。向量的定义向量的定义由由n个数个数12,na aa组成的组成的有序数组有序数组12(,)na aa称为一个称为一个 n 维行向量维行向量，记作，记作12(,)na aa，其中，其中称为向量称为向量ia的第的第i

3、个个分量分量（或（或坐标坐标）。）。如果将有序数组写成一列的形式，则称向量如果将有序数组写成一列的形式，则称向量为列向量。为列向量。12naaa实际上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。实际上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。几个概念几个概念1、同维向量同维向量：分量个数相等的向量称为同维向量。：分量个数相等的向量称为同维向量。2、相等向量相等向量：如果向量：如果向量 与与 是同维向量，而且对应是同维向量，而且对应 的分量相等，则称向量的分量相等，则称向量 与与 相等。相等。3、零向量零向量：分量都是：分量都是0的向量称为零向量，记作的向量称为零向量，记作O。4、负向量负

4、向量：称向量：称向量 为向量为向量 的负向量，记作的负向量，记作 。12,naaa12,na aa12,n 5、向量组向量组：如果：如果n个向量个向量 是同维向量，则称为是同维向量，则称为 向量组向量组 12,n 向量的线性运算向量的线性运算1、向量的加减法、向量的加减法，称向量，称向量设设1212, , =,nna aab bb，则称向量，则称向量1122,nnab abab为向量为向量 与向量与向量 的的和向和向量量，记作，记作1122,nnab abab为向量为向量 与向量与向量 的的差向量差向量，记作，记作 。2、数乘向量、数乘向量向量的加、减、数乘运算称为向量的向量的加、减、数乘运算

5、称为向量的线性运算线性运算。12(,), ,na aaR设向量设向量则称向量则称向量12(,)naaa为数为数 与向量与向量 的数称向量，记作的数称向量，记作 向量线性运算的运算律向量线性运算的运算律1 （）交换律交换律结合律结合律分配律分配律2 （ ） （）（）(4) ()o o（3）(8) () (5) 1(6) ()()() (7) （）=例例1210 11334 设向量（ ， ， ） ， （， ， ），求 343 2104113 63 04 412 10712 ， ， ， ， ， ，解解 练习练习：已知：已知 ，求，求 3,5,7,9 ,1,5,2,0 , 解解 4,0, 5, 9 向

6、量空间向量空间 设设S是一非空是一非空n维实向量集，在维实向量集，在S中定义加法和数乘运算，如果中定义加法和数乘运算，如果对于对于S中任意两向量中任意两向量 和实数和实数 ，都有，都有则称则称S为一个为一个n维向量空间，记作维向量空间，记作, k,S kSnSR如如 10, ,Sx y x yR21, ,Sx y x yR是向量空间是向量空间 不是向量空间不是向量空间 向量的线性相关关系向量的线性相关关系解解 设设1122kk则则121122122512382613kkkkkkkk所以所以122线性组合的概念线性组合的概念：设有同维向量：设有同维向量 ，如果存在，如果存在一组数一组数 ，使得，

7、使得 成立，成立，则称向量则称向量 可由向量组可由向量组 线性表示，或称向量线性表示，或称向量 是向量组是向量组 的线性组合。的线性组合。12,n 12,nk kk1122nnkkk12,n 12,n 例例212121（， ， ），（2，3，6）， =（5，8，13），设设判断向量判断向量 能否由向量组能否由向量组 线性表示？如果可以，求出线性表示？如果可以，求出表达式。表达式。12，1122nnxxx小结：小结： 可由向量组可由向量组线性表示线性表示 线性方程组线性方程组 有解有解12n， ，线性相关、线性无关的概念线性相关、线性无关的概念显然：含有零向量的向量组是线性相关的。显然：含有零向

8、量的向量组是线性相关的。因为因为121000nOO 12n， ，12,nk kk1122nnkkko12n， ，设有向量组设有向量组 ，如果存在一组，如果存在一组不全为零的数不全为零的数 ，使得，使得 成立，则称成立，则称向量组向量组 线性相关线性相关，否则，称向量组，否则，称向量组 线性无关。即线性无关。即当且仅当当且仅当 全为零时全为零时， 才成立，则称向量组才成立，则称向量组 线性无关线性无关。12n， ，1122nnkkko12n， ，12,nk kk1210 0001000 0 0n， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，1证明证明例例3证明下列向量组线性无关。证明下列向量

9、组线性无关。 1 122nnkkko设设 120 00nkkk（ ， ， ， ）（ ， ， ， ）则则 12 0nkkk所以所以 12n， ， ，所以向量组所以向量组 线性无关。线性无关。12n， ， ，称向量组称向量组 为为n维向量空间维向量空间的的单位坐标向量组单位坐标向量组。 任何一个任何一个n维向量维向量 都可由向量组都可由向量组 线性表示，线性表示，12,na aa12n， ， ，12naaa12n例例4 讨论向量组讨论向量组12112 210 2151， ， ， ， ， ， ，342 0 313110 41， ， ， ， ， ， ，的线性相关性的线性相关性解解 设设11223344

10、0kkkk则则134124123123412342020230254030kkkkkkkkkkkkkkkkk利用矩阵的初等变换，可求得利用矩阵的初等变换，可求得12342, 1, 0kkkk 注：有无穷多组解注：有无穷多组解可见，向量组可见，向量组线性相关线性相关齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解有非零解12,n 11220nnxxx所以向量组所以向量组 线性相关。线性相关。 1234, 练习练习 判断向量组的线性相关性判断向量组的线性相关性 1232,1, 1, 1 ,0,3, 2,0 ,2,4, 3, 1 解解 设设 1122330kkk则有则有 13123123132203402300

11、kkkkkkkkkk因为因为 1231,1,1kkk 是方程组的一组非零解是方程组的一组非零解 所以所以 123, 线性相关线性相关证明证明例例5 已知向量组已知向量组 线性无关，证明：向量组线性无关，证明：向量组 线性无关。线性无关。123，122331，1122233310kkk设设 1311222330kkkkkk（）（）（）则则 123，因为因为 线性无关线性无关323000kkkkkk112所以有所以有 230kkk1解得解得 122331，所以向量组所以向量组 线性无关。线性无关。例例6 设设123, 线性无关，又线性无关，又312323，试证明，试证明123, 线性相关线性相关1

12、1232232,证明证明 设设1122330kkk则有则2)()(23)0kkkkkkkk 因为因为123, 线性无关线性无关所以有所以有13123123200230kkkkkkkk由于由于1021110213所以所以123,k k k不全为零不全为零所以所以123, 线性相关线性相关事实上，可取事实上，可取1232,1,1kkk 证明证明 因为向量组因为向量组12m， ，线性相关线性相关所以存在一组不全为零的数所以存在一组不全为零的数mkkk,21，使得，使得02211kkkkmm则则0k否则，若否则，若0k则由则由m,21线性无关，线性无关，可推得可推得021mk

13、kk于是向量组于是向量组12m， ，线性无关线性无关这与已知矛盾，所以这与已知矛盾，所以0k12m， ，定理定理 若向量组若向量组 线性无关，而向量组线性无关，而向量组 线性相关，则向量线性相关，则向量 可由向量组可由向量组 线性表示，而且表示方法惟一。线性表示，而且表示方法惟一。12m， ，12m， ，于是于是11221()mmkkkk 假设另有表达式假设另有表达式1122mmlll则可得则可得121122()()()0mmmkkklllkkk由于由于m,21线性无关，线性无关，所以所以), 2 , 1( mikklii且表示方法唯一且表示方法唯一所以所以 可由向量组可由向量组 线性表示，线

14、性表示，12m， ，所以所以 可由向量组可由向量组 线性表示。线性表示。12m， ，定理定理 向量组向量组n,21线性相关线性相关的充分必要条件的充分必要条件是该向量组中是该向量组中至少有一个至少有一个向量可由其余的向量组线性向量可由其余的向量组线性表示。表示。证明证明 因为向量组因为向量组n,21线性相关线性相关所以存在不全为零的数所以存在不全为零的数12,nk kk使得使得11220nnkkk不妨设不妨设10k 于是有于是有1223311()nnkkkk 反过来，若有反过来，若有23,n 1可由可由线性表示线性表示12233mmlll则有则有223310mmlll所以所以n,21线性相关线

15、性相关例例7 设设21231,1,1 ,1,1,1 ,1,1,1,1, , 试问试问为何值时，为何值时，可由可由123, 线性表示，且表示线性表示，且表示方法唯一？方法唯一？解解 设设112233xxx则有则有12312321231111xxxxxxxxx（*）因为因为可由可由123, 线性表示，且表示方法唯一线性表示，且表示方法唯一所以，方程组（所以，方程组（*）只有唯一的一组解）只有唯一的一组解所以有所以有1111110111解得解得03 且小结小结：齐次线性方程组齐次线性方程组11220nnxxx有非零解有非零解齐次线性方程组齐次线性方程组11220nnxxx只有零解只有零解12,n 线

16、性相关线性相关向量组向量组（1）向量组向量组12,n 线性无关线性无关（2）(3) 向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示12,n 线性方程组线性方程组 有解有解1122nnxxx向量组的线性相关性的几个性质定理向量组的线性相关性的几个性质定理 1、单个非零向量是线性无关的。、单个非零向量是线性无关的。 2、两个向量线性相关两个向量线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是对应分量成比例对应分量成比例。 3、增加向量，不改变向量组线性相关；减少向量，不改变、增加向量，不改变向量组线性相关；减少向量，不改变 向量组线性无关。即向量组线性无关。即部分相关，则整体相关；整体无关，部分相关，则

17、整体相关；整体无关， 则部分无关。则部分无关。4、增加分量，不改变向量组的线性无关；减少分量，不改变向、增加分量，不改变向量组的线性无关；减少分量，不改变向 量组的线性相关。即量组的线性相关。即低维无关，则高维无关；高维相关，则低维无关，则高维无关；高维相关，则 低维相关低维相关。5、n+1 个个 n 维的向量构成的向量组是线性相关的。维的向量构成的向量组是线性相关的。个数大于维数的向量组是线性相关的。个数大于维数的向量组是线性相关的。 向量组的极大无关组向量组的极大无关组 如果向量组如果向量组 的部分组的部分组 满足满足（1） 线性无关线性无关；（；（2）任意增加一个任意增加一个向量向量（如

18、果存在的话），（如果存在的话），向量组向量组 线性相关线性相关。则称向量组则称向量组 为向量组为向量组的一个极大线性无关组，简称为的一个极大线性无关组，简称为极大无关组极大无关组。12,n 12,riii 12,riiij j12,riii 12,riii 12,n 例如：向量组例如：向量组 1231,1,2,3 ,2,2,4,6 ,1,0,4,0123, 13, 线性相关，线性相关， 线性无关。线性无关。向量组向量组 是向量组是向量组 的一个极大无关组。的一个极大无关组。13, 123, 向量组向量组 也是向量组也是向量组 的一个极大无关组。的一个极大无关组。23,123, 可见，一个向量组

19、的极大无关组可以不是惟一的。可见，一个向量组的极大无关组可以不是惟一的。 向量组的秩向量组的秩 向量组向量组 的的极大无关组中所含向量的个数极大无关组中所含向量的个数，称为称为向量组的秩向量组的秩。记作。记作12,n 12,nR 例如：向量组例如：向量组 1231,1,2,3 ,2,2,4,6 ,1,0,4,0的秩为的秩为 2 。 12,nRn 如果如果向量组的秩小于向量组所含向量的个数向量组的秩小于向量组所含向量的个数，即，即 ，则向量组，则向量组 线性相关线性相关。12,n 矩阵矩阵A的秩的秩 = 矩阵矩阵A的行向量组的秩的行向量组的秩 = 矩阵矩阵A的列向量组的秩的列向量组的秩 可利用矩

20、阵的初等变换判断向量组的线性相关性、求向量可利用矩阵的初等变换判断向量组的线性相关性、求向量组的秩及极大无关组。组的秩及极大无关组。 12,nRn 如果如果向量组的秩等于向量组所含向量的个数向量组的秩等于向量组所含向量的个数，即，即 ，则向量组，则向量组 线性无关线性无关。12,n 例例1 判别下列向量组的线性相关性判别下列向量组的线性相关性 12311,0,2,1 ,3,4,0, 2 ,1,4,4,0 解解 令令102134021440A102110211021340204610461144004610000 123,23RR A 因为因为123, 所以所以线性相关。线性相关。例例2 判别下

21、列向量组的线性相关性判别下列向量组的线性相关性 12321,1,3, 4,2,0, 1,1,3,1,3, 2TTT解解：令：令113420113132A1134027902610A213123rrrr 3,R A 因为因为所以所以123,线性无关。线性无关。11340279001132rr向量组的等价关系向量组的等价关系 如果向量组如果向量组A： 中的每一个向量可由向量中的每一个向量可由向量组组B： 线性表示，同时，向量组线性表示，同时，向量组B中的每一中的每一个向量可由向量组个向量可由向量组A线性表示，则称线性表示，则称向量组向量组A与向量组与向量组B等价等价。12,n 12,m 定理：等价

22、向量组的秩相等。定理：等价向量组的秩相等。 一个向量组和它的任意一个极大无关组是等价的。一个向量组和它的任意一个极大无关组是等价的。 等价向量组的性质等价向量组的性质（1）反身性：向量组）反身性：向量组A与自身等价；与自身等价；（2）对称性：如果向量组）对称性：如果向量组A与与B等价，则向量组等价，则向量组B 与与A等价；等价；（3）传递性：如果）传递性：如果A与与B等价，等价，B与与C等价，则等价，则A与与C等价。等价。 若矩阵若矩阵A 矩阵矩阵B，则矩阵，则矩阵A的的行向量组行向量组与与矩阵矩阵B的行向量组的行向量组等价等价；行初等变换行初等变换 若矩阵若矩阵A 矩阵矩阵B，则矩阵，则矩阵

23、A的的列向量组列向量组与与矩阵矩阵B的列向量组的列向量组等价等价；列初等变换列初等变换 例例3 求下列向量组的一个极大无关组求下列向量组的一个极大无关组12341,2,0,1 ,0,1,0,1 ,1,3,0,2 ,1,2,1,1解法解法1：作矩阵：作矩阵31241()rrrrr123124112010101000000101234120101011302121 1A1241312120101010010000034rr记作记作1234B1234A例例3 求下列向量组的一个极大无关组求下列向量组的一个极大无关组12341201 ,01011302 ,121 1解法解法1：. . . . . .1

24、241312120101010010000034rr记作记作1234B所以所以123124, 与与等价，故有相同的秩。等价，故有相同的秩。因为因为123124, 是由是由经初等行变换而得，经初等行变换而得，显然显然123, 线性无关，线性无关， 所以所以124, 线性无关，线性无关， 3,R AR B又又所以所以124, 是一极大无关组。是一极大无关组。练习练习 求向量组的秩及一个极大无关组，并用该极大无关组表示求向量组的秩及一个极大无关组，并用该极大无关组表示 余下的向量。余下的向量。123451,1,2,3 ,1, 1,1,1 ,1,3,3,5 ,4, 2,5,6 ,3, 1, 5, 7 解解 构成矩阵，令构成矩阵，令 1234511231111133542563157A12131415111230212021206364021232131415143rrrrrrrr12132142152111230212000020000300002于是，于是， 12345,