高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案

1、.函数与方程【知识梳理】1、函数零点的定义（1）对于函数 yf (x) ，我们把方程f ( x)0 的实数根叫做函数y f (x)的零点。（2）方程 f (x)0 有实根函数 yf ( x) 的图像与 x 轴有交点函数 yf ( x) 有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x) 0 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程 f (x)0，所得实数根就是f (x) 的零点（3）变号零点与不变号零点若函数 f (x) 在零点 x 0 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f (x) 的变号零点。若函数 f (x) 在零点 x0 左右两侧的函数值同号，则称该零点

2、为函数f (x) 的不变号零点。若函数 f (x)在区间 a,b 上的图像是一条连续的曲线，则f (a) f (b) 0 是 f (x) 在区间a, b 内有零点的充分不必要条件。2、函数零点的判定（ 1）零点存在性定理：如果函数yf ( x) 在区间 a,b 上的图象是连续不断的曲线，并且有f ( a) f (b)0 ，那么，函数yf ( x)在区间a,b内有零点，即存在x0( , )，使得f (x0) 0，这个x0也就是方程f (x)0的a b根。（2）函数 yf ( x) 零点个数（或方程f (x)0 实数根的个数）确定方法 代数法：函数y f ( x) 的零点f ( x) 0 的根；（

3、几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf (x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。（3）零点个数确定0yf (x) 有 2 个零点f (x)0有两个不等实根；0yf (x) 有 1 个零点f (x)0有两个相等实根；0yf (x) 无零点f (x)0 无实根；对于二次函数在区间a,b 上的零点个数，要结合图像进行确定.1、 二分法（1）二分法的定义 :对于在区间 a, b 上连续不断且f (a)f (b) 0 的函数 y f ( x) ,通过不断地把函数 yf ( x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;（2）用二分

4、法求方程的近似解的步骤: 确定区间 a, b ,验证 f (a) f (b)0 ,给定精确度;求区间 (a,b) 的中点 c ;.计算f (c) ;( )若 f (c)0 ,则 c 就是函数的零点 ;( ) 若 f (a)f ( c)0 ,则令 bc ( 此时零点 x0(a,c) );( ) 若 f (c)f ( b)0 ,则令 ac (此时零点 x0( c, b) );判断是否达到精确度,即 ab,则得到零点近似值为a (或 b );否则重复至步 .【经典例题】1函数 f (x)=2 x +x32 在区间(0,1) 内的零点个数是（）A 、 0B 、1C、 2D 、 32函数 f(x) 2x

5、 3x 的零点所在的一个区间是()A 、( 2， 1)B 、 ( 1,0)C、 (0,1)D 、 (1,2)3若函数 f (x)axxa( a0 且 a 1)有两个零点，则实数a 的取值范围是.4设函数 f(x) (xR) 满足 f(x )=f(x)，f(x)= f(2x)，且当 x0,13x) |，则时， f( x)=x .又函数 g(x)= |xcos (函数 h(x)=g(x)-f(x)在 1 , 3 上的零点个数为（）22A 、5B、 6C、 7D、 85函数 f ( x)x cos x2 在区间 0,4 上的零点个数为（）A 、4B 、 5C、6D 、76函数 f ( x)x cos

6、x 在 0,) 内（）A 、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点a， a b1，设函数 f( x) (x2 2)?(x x2)， x R，若函数 y f( x)7对实数 a 和 b，定义运算 “?”： a?bb， a b>1. c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是()A 、( ， 2 1，3B、 ( ， 21， 324C、 1，1 1，D、 1， 31， 44448已知函数f= logaxxb( a 0，且 a 1). 当2 a 3 b 4 时 ， 函 数f（ x）的 零 点（x）x0 (n, n 1), nN * , 则 n=.9求下

7、列函数的零点：4 .（ 1） f (x)x32x2x 2 ；（2） f ( x) xx;.10判断函数y x3 x 1 在区间 1,1.5 内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度 0.1)【课堂练习】1、在下列区间中，函数f ( x) ex4x3 的零点所在的区间为（）1,0)B、 (0,1)C、 (1113A 、 (4,)D 、 (, )442242、若 x0 是方程 lg x x2 的解，则 x0 属于区间（）A 、 (0,1)B、 (1,1.25)C、 (1.25,1.75)D、 (1.75,2)3、下列函数中能用二分法求零点的是( )4、函数 f x =2x的零点所在的一个区间是

8、（）+3xA （ -2,-1）B、（ -1， 0） C、（ 0， 1）D、（ 1， 2）5、设函数 fx=4sin （ 2x+1） -x，则在下列区间中函数f x 不存在零点的是（）A 、-4,-2B、 -2,0C、0,2D、 2,4、函数f x= x -cos x 在0，内（）6A 、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点7、若函数 f (x)的零点与 g( x)4x2x 2的零点之差的绝对值不超过0.25，则 f ( x) 可以是（）A 、 f (x)4x1B、 f (x)( x1)2C、 f (x)ex 1D、 f ( x)ln( x1)28、下列函数零点不

9、宜用二分法的是( )C、 f ( x) x2A 、 f (x)x38B 、 f ( x) ln x 32 2x 2D 、 f ( x)x24x 19、函数 f(x)=log2 x+2x-1 的零点必落在区间（）;.A 、 1, 1B、 1,1C、 1,1D 、(1,2)84422110、 lg x0有解的区域是（）xA、 (0,1B、 (1, 10C、 (10, 100D 、 (100,)11、在下列区间中，函数f (x)ex4x3 的零点所在的区间为（）A、( 1,0)B、 (0, 1)C、 (1,1)D、(1,3)44422412、函数 f ( x)xlog 2 x 的零点所在区间为（）A

10、、0,1B、1,1C、1,1D、1,188442213 、 设 f x3x3x8 , 用 二 分 法 求 方 程 3x3x 80在 x1,2内近似解的过程中得f 10, f1.50, f1.250,则方程的根落在区间（）A 、 (1,1.25)B 、 (1.25,1.5)C、 (1.5,2)D 、不能确定14、设函数 f ( x)4sin(2 x1)x ，则在下列区间中函数f (x) 不存在零点的是（）A 、4, 2B、2,0C、 0,2D、 2,415、函数 f ( x)x22x3, x0）A、3B、 2C、 1D、 02ln x, x0， 零点个数为（16、若函数f ( x)x3x22x2

11、 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f (1)=2f (1.5) = 0.625f (1.25) = 0.984f (1.375)=0.260f (1.4375) = 0.162f (1.40625) = 0.054那么方程 x3x22x20 的一个近似根（精确到0.1）为（）A 、1.2B、1.3C、 1.4D、 1.517、方程 2 xx23的实数解的个数为.18f ( x)x2(a21)x a 2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围。、已知函数19、判断函数20 、求函数f ( x)4xx22 x3 在区间 1,1上零点的个数，并说明理由。x32x

12、23f (x)3x 6的一个正数零点 (精确度 0.1);.【课后作业】1、下列函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()2、设 f ( x)3xx2 ，则在下列区间中，使函数f (x) 有零点的区间是()A 、0,1B、 1,2C、2， 1D、 1,03、已知 f ( x) 唯一的零点在区间 (1,3) 、 (1,4) 、 (1,5) 内，那么下面命题错误的（）A 、函数 f ( x) 在(1,2)或 2,3内有零点B 、函数 f ( x) 在 (3,5)内无零点C、函数 f ( x) 在 (2,5)内有零点D 、函数 f ( x) 在 (2, 4) 内不一定有零点4、若函

13、数f (x)x33xa 有 3个不同的零点,则实数 a 的取值范围是（）A 、2,2B、 2,2C、,1D、 1,5、函数 f ( x)xln x 的零点所在的区间为（）A 、（ 1， 0）B、（ 0， 1）C、（ 1， 2）D、（ 1， e）6、求函数 f (x)2x33x 1 零点的个数为（）A 、 1B 、 2C、 3D、 47 、 如 果 二 次 函 数 y x2x m 3 有 两 个 不 同 的 零 点 ， 则 m 的 取 值 范 围 是（）11,)B、 (11C、 (11)11)A 、 (, ),D、( ,42428、方程 lg xx0根的个数为（）A、无穷多B 、3C、 1D、0

14、9、用二分法求方程f ( x)0 在(1,2)内近似解的过程中得f (1)0, f(1.5)0, f (1.25)0 f(1)<0 ，则方程的根在区间()A 、(1.25,1.5)1B、 (1,1.25)C、 (1.5,2)D、不能确定10、设函数 f(x) 3x lnx(x 0)，则 y f(x)()11A 、在区间e， 1， (1， e)内均有零点B 、在区间e， 1， (1， e)内均无零点C、在区间1， 1内有零点，在区间 (1，e)内无零点D 、在区间1， 1内无零点，在区间 (1，e)内有零点ee;.11、设函数f ( x)ln x1x2 1(x0) ，则函数 yf ( x)

15、()2A 、在区间 (0,1)， (1,2)内均有零点B、在区间 (0,1)内有零点，在区间(1,2) 内无零点C、在区间 (0,1)， (1,2)内均无零点D、在区间 (0,1)内无零点，在区间(1,2) 内有零点12、用二分法研究函数f (x) x3 3x 1的零点时，第一次经计算f ( 0)0，f(0.5)0 ，可得其中一个零点x0，第二次应计算.以上横线上应填的内容为()A 、（ 0，0.5）， f (0.25)B、（ 0， 1）， f (0.25 )C、（ 0.5， 1）， f ( 0.75)D、（ 0， 0.5）， f (0.125 )13、函数 f ( x)2 xx32 在区间

16、(0,1)内的零点个数是（）A 、0B、 1C、 2D、 314、（已知函数f ( x)log a xxb(a 0, 且 a1).当 2a34是 ， 函 数 f (x) 的 零 点x0 ( n, n 1 ) ,n * N则 n=,.15、用二分法求函数 yf ( x) 在区间 (2,4)上的近似解，验证f(2)f(4)<0·，给定精确度 0.01，取区间 (2,4)的中点 x1 2 4 3，计算得 f(2)f(x· 1 )<0，则此时零点 x0 _22x 1， x>0，x22x， x0， 若函数16、已知函数 f( x) g(x)f(x) m 有 3个零点

17、，则实数 m 的取值范围是 _17、函数 f ( x)x 25x6 的零点组成的集合是.18、用 “二分法 ”求方程 x32x 50 在区间 2,3 内的实根，取区间中点为x02.5 ，那么下一个有根的区间是19、函数 f ( x)ln xx2 的零点个数为.20、证明方程 6 3x2x 在区间 1,2 内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度 0.1)函数与方程【考纲说明】2、 了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。3、 能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。【知识梳理】1、函数零点的定义（1）对于函数yf (x) ，我们把方程f ( x)

18、0 的实数根叫做函数yf (x)的零点。;.（2）方程 f (x) 0 有实根函数 yf ( x) 的图像与x 轴有交点函数 yf ( x) 有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x)0是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程 f (x)0，所得实数根就是f (x) 的零点（3）变号零点与不变号零点若函数 f (x) 在零点 x 0 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f (x) 的变号零点。若函数 f (x) 在零点 x0 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f (x) 的不变号零点。若函数 f (x)在区间 a,b 上的图像是一条连续的曲线，则f

19、(a) f (b) 0 是 f (x) 在区间a, b 内有零点的充分不必要条件。2、函数零点的判定（ 1）零点存在性定理：如果函数yf ( x) 在区间 a,b 上的图象是连续不断的曲线，并且有f ( a) f (b)0 ，那么，函数yf ( x)在区间a,b内有零点，即存在x0( , )，使得f (x0) 0，这个x0也就是方程f (x)0的a b根。（2）函数 yf ( x) 零点个数（或方程f (x)0 实数根的个数）确定方法 代数法：函数 yf ( x) 的零点f ( x) 0 的根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf (x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零

20、点。（3）零点个数确定0yf (x) 有 2 个零点f (x)0有两个不等实根；0yf (x) 有 1 个零点f (x)0有两个相等实根；0yf (x) 无零点f (x)0 无实根；对于二次函数在区间a,b 上的零点个数，要结合图像进行确定.4、 二分法（1）二分法的定义 :对于在区间 a, b 上连续不断且f (a)f (b) 0 的函数 y f ( x) ,通过不断地把函数 yf ( x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;（2）用二分法求方程的近似解的步骤: 确定区间 a, b ,验证 f (a)f (b) 0,给定精确度;求区间

21、 (a,b) 的中点 c ;计算 f (c) ;( )若 f (c)0 ,则 c 就是函数的零点 ;( ) 若 f (a)f ( c)0 ,则令 bc ( 此时零点 x0(a,c) );( ) 若 f (c)f ( b)0 ,则令 ac (此时零点 x0( c, b) );.判断是否达到精确度,即 ab,则得到零点近似值为a (或 b );否则重复至步.【经典例题】【例 1】 函数 f (x)=2 x +x32 在区间 (0,1) 内的零点个数是（）A 、 0B 、1C、 2D 、 3【答案】 B【解析】解法1：因为 f (0)=1+0 2=1， f (1)=2+2 32=8 ，即 f (0)

22、f (1)<0 且函数 f (x) 在 (0,1) 内连续不断，故f (x) 在 (0,1) 内的零点个数是1.解法 2：设xx3B 正确.1， 2，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知y =2y =2425102【例 2】 函数 f( x) 2x 3x 的零点所在的一个区间是()A 、( 2， 1)B 、(1,0)C、 (0,1)D 、(1,2)4【答案】 B 15【解析】6f( 1) 2 3×( 1)<0，0f(0) 2 0 1>0， f(x) 2x 3x 的零点所在的一个区间为( 1,0)【例 3】若函数f ( x)axxa( a0 且 a1)有两个零

23、点，则实数a 的取值范围是.（1，）【答案】【解析】 函数 f ( x) = axxa( a0 且 a1 ) 有两个零点，方程 a xx a0 有两个不相等的实数根，即两个函数y a x 与 yxa 的图像有两个不同的交点，当0a1时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当a1时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.【例 4】设函数 f(x) ( xR)满足 f(x )=f(x)，f(x)=f(2 x)，且当 x0,1时，f(x)= x3又函数g(x)= |xcos ( x)，.|则函数 h(x)=g(x)-f(x)在 1, 3 上的零点个数为（）22A 、5B、 6C、 7D、 8【答

24、案】 B【解析】因为当x 0,1 时， f(x)= x3. 所以当 x1,2 时， (2x) 0,1 ， f ( x)f (2x) (2 x)3 ，;.当 x0, 1 时， g( x) x cos(x) ；当x 1 , 3 时， g (x)x cos( x) ，注意到函数f(x)、 g(x)都是222偶函数，且f(0)= g(0)， f(1)=1)g (3g(1) ， g() 0 ，作出函数 f(x)、 g(x)的大致图象，函数 h(x) 除了 0、221 这两个零点之外，分别在区间1 ,0 、0,1、1 ,1 、1, 3 上各有一个零点，共有6 个零点，故选 B2222【例 5】函数 f (

25、 x)x cos x2在区间 0,4 上的零点个数为（）A 、4B 、 5C、6D 、7【答案】 C【解析】： f(x)=0 ，则 x=0 或 cosx22=k +,k Z ，又 x 0,4 ， k=0,1,2,3,4 ，所以共有6 个解选 C=0，x2【例 6】函数 f ( x)x cos x 在 0,) 内（）A 、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点【答案】 B【解析】解法一：数形结合法，令f (x)xcos x0 ，则xcos x ，设函数 yx 和 ycosx ，它们在 0,) 的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数f (x)xco

26、sx 在0,) 内有且仅有一个零点；解法二：在 x, )上，x 1 ， cosx 1，所以 f ( x)xcos x 0 ；2在 x(0, ， f1sin x0 ，所以函数f ( x)xcos x 是增函数，又因为f (0)1 ，(x)22 xf ()0 ，所以 f (x)xcos x 在 x0, 上有且只有一个零点222a，a b1，【例 7】对实数a 和 b，定义运算 “?”： a?b设函数b， a b>1. f(x) c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是22f(x) (x 2)?( x x ) ， x R ，若函数 y ( )A 、( ， 2 1，3B、(， 2

27、 1， 324;.C、 1，1 1， D、 1， 3 1， 4444【答案】 B22223x 2， 1x ，x 2， x 2(x x )1，2【解析】 f(x)2， x2 2(x x2)3x x>12，x x ， x<1，或 x>2则 f(x)的图象如图 y f(x) c 的图象与 x 轴恰有两个公共点， y f(x)与 y c 的图象恰有两个公共点，3由图象知c2，或 1<c< .【例8 】已知函数= loga x x(0a1).当 2 a 3 b 4 时，函数f （x）的零点f（x）ba ，且x0( n, n 1), n N* 则, n=.【答案】 5【解析】

28、方程log axx b(a0，且 a1) =0的根为x0 ,即函数y log ax (2 a3)的图象与函数yxb(3b 4) 的 交 点 横 坐 标 为 x0 , 且 x0(n, n 1), n N *, 结 合 图 象 , 因 为 当 xa( 2a3)时, y1,此时对应直线上y1的点的横坐标x1b(4,5) ;当 y2 时 ,对数函数 yloga x(2a3)的图象上点的横坐标x(4,9) ,直线 yxb(3b4) 的图象上点的横坐标x(5,6),故所求的 n5.【例 9】求下列函数的零点：（ 1） f (x)x32x2x2 ；4（ 2） f (x) x.x【答案】（ 1） 2,1， -

29、1.（2） 2， -2.【解析】（ 1）由 x32x2x2 0,x2 ( x2)(x 2)0,( x2)( x1)(x1)0,x2或x1或 x1.故函数的零点是2， 1， -1.（ 2） 由 x40,得 x240,xx( x2)( x2)2)( x 2) 0,x0, ( xx2或 x=-2.;.故函数的零点是2， -2.【例 10】判断函数y x3 x 1 在区间 1,1.5 内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度 0.1)【答案】 1.312 5【解析】因为 f(1) 1<0，f(1.5) 0.875>0，且函数 y x3 x 1 的图象是连续的曲线，所以它在区间1,1.5

30、内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.25 0.3(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.312 5 0.05(1.312 5,1.375)1.343 750.08由于 |1.375 1.312 5| 0.062 5<0.1，所以函数的一个近似零点为1.312 5.【课堂练习】1、在下列区间中，函数f ( x)ex4x3 的零点所在的区间为（）A、( 1,0)B、 (0, 1)C、(1,1)D、(1,3)4442242、若 x0 是方程 lg xx 2 的解，则 x0 属于区间（）A 、 (0,1)B、 (1,1.25)

31、C、 (1.25,1.75)D、 (1.75,2)3、下列函数中能用二分法求零点的是()4、函数 f x=2 x +3x的零点所在的一个区间是（）A （ -2,-1）B、（ -1， 0） C、（ 0， 1）D、（ 1， 2）5、设函数 fx=4sin （ 2x+1） -x，则在下列区间中函数f x 不存在零点的是（）A 、-4,-2B、 -2,0C、0,2D、 2,4、函数f x= x -cos x 在0，内（）6A 、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点7、若函数 f (x) 的零点与 g( x)4x2x2 的零点之差的绝对值不超过0.25，则 f ( x)

32、可以是（）A 、 f (x)4x1B、 f (x)( x1)2C、 f (x)ex 1D、 f ( x)ln( x1)28、下列函数零点不宜用二分法的是( )C、 f ( x) x2A 、 f (x)x38B 、 f ( x) ln x 32 2x 2D 、 f ( x)x24x 19、函数 f(x)=log2 x+2x-1 的零点必落在区间（）;.A 、 1, 1B、 1,1C、 1,1D 、(1,2)84422110、 lg x0有解的区域是（）xA、 (0,1B、 (1, 10C、 (10, 100D 、 (100,)11、在下列区间中，函数f (x)ex4x3 的零点所在的区间为（）A、( 1,0)B、 (0, 1)C、 (1,1)D、(1,3)44422412、函数 f ( x)xlog 2 x 的零点所在区间为（）A、0,1B、1,1C、1,1D、1,188442213 、 设 f x3x3x8 , 用 二 分 法 求 方 程 3x3x 80在 x1,2内近似解的过程中得f 10, f1.50, f1.250,则方程的根落在区间（）A 、 (1,1.25)B 、 (1.25,1.5)C、 (1.5,2)D 、不能确定14、设函数 f ( x)4sin(2 x1)x ，则在下列区间中函数f (x) 不存在零点的