基变换公式和过渡矩阵

1、基变换公式和过渡矩阵那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？标如何改变呢？问题问题：在：在 维线性空间维线性空间 中，任意中，任意 个线性个线性无关的向量都可以作为无关的向量都可以作为 的一组基对于不同的的一组基对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的基，同一个向量的坐标是不同的nVVn且有且有两个基两个基的的是线性空间是线性空间及及设设, 2121nnnV ,22112222112212211111 nnnnnnnnnnppppppppp 称此公式为基变换公式称

2、此公式为基变换公式 nnnnnnnnnnppppppppp 22112222112212211111由于由于 nnnnnnnnppppppppp 2121222121211121.21 nTP Pnn ,2121 矩阵矩阵 称为由基称为由基 到基到基 的过的过渡矩阵渡矩阵 , 2121中中在在基基变变换换公公式式Pnn n ,21n ,21P过渡矩阵过渡矩阵 是可逆的是可逆的P若两个基满足关系式若两个基满足关系式 Pnn ,2121 ,) , , ( ,),( , 121212121nTnnTnnxxxxxxV下的坐标为下的坐标为在基在基为为下的坐标下的坐标在基在基中的元素中的元素设设定理定理

3、 则有坐标变换公式则有坐标变换公式,2121 nnxxxPxxx.21121 nnxxxPxxx或或证明证明 nnxxx2121, ,2121nnxxx Pnn ,2121 .,21212121 nnnnxxxPxxx . 2121 nnxxxPxxx即即. ,21121 nnxxxPxxxP所以所以可逆可逆由于矩阵由于矩阵., 23 , 22 , 22 , 12 , 1 , 12 , 1 ,2 234233222312342332322313求坐标变换公式求坐标变换公式及及中取两个基中取两个基在在 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxP 例1例1., 43214321表表示示用用将将

4、解解 ,)1 ,(),( 234321Axxx 因因为为,)1 ,(),(234321Bxxx ,2221112031111202,1110011112121111 BA其中其中.),(),( 143214321BA 得得. 432114321 xxxxABxxxx故坐标变换公式为故坐标变换公式为.1AB 用用初初等等变变换换计计算算 AB 11102221011111201212311111111202初等行变换初等行变换 11111000100001000011001011100001 11111000100001000011001011100001 ABE1 11111000001111

5、10 .1111100000111110 43214321 xxxxxxxx所以所以.211 ,11 10 ,01 .22121的的两两个个基基为为线线性性空空间间及及设设RV 坐坐标标变变换换的的几几何何意意义义 例例2 2,2121 又设又设下下的的坐坐标标为为在在基基则则 21, 121 21xx下的坐标为下的坐标为在基在基由坐标变换公式可知由坐标变换公式可知 21, 12112121111121yy.21 21 即即xyo 1 2 2 121 1 2 121 基变换公式基变换公式 nnnnnnnnnnppppppppp 22112222112212211111 Pnn ,2121 坐标变换公式坐标变换公式,2121 nnxxxPxxx或或.21121 nnxxxPxxx .32,1, 1, 23233在在这这个个基基下下的的坐坐标标并并求求多多项项式式的的一一个个基基是是证证明明 xxxPxxxxx0 )()()( )1()1()( 4342233214233231 kkxkkxkxkkxkxkxxkxk令令证明证明 0, 0, 0, 04342321kkkkkkk04321 kkkk.,1, 1,3233的的一一个个基基是是线线性性无无关关故故xPxxxxx , 32 )1()1()( 24233231 xxxaxaxxaxa又令又令 3, 2,