二阶线性偏微分方程的分类与总结

1、数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结1 1 二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类第四章第四章 二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程 的分类与总结的分类与总结3 3 三类方程的比较三类方程的比较数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结 在前面的章节中，我们分别讨论了弦振动方程、在前面的章节中，我们分别讨论了弦振动方程、热传导方程与拉普拉斯方程。这三类方程的形状很特热传导方程与拉普拉斯方程。这三类方程的形状很特殊，它们是二阶线性偏微分方程的三个典型代表。一殊，它们是二

2、阶线性偏微分方程的三个典型代表。一般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异，往般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异，往往可以从对这三类方程的研究中得到。本章中，我们往可以从对这三类方程的研究中得到。本章中，我们将以这三类方程的知识为基础，研究一般形式的二阶将以这三类方程的知识为基础，研究一般形式的二阶线性偏微分方程，并对这三类方程的性质进行比较深线性偏微分方程，并对这三类方程的性质进行比较深入的分类和总结。入的分类和总结。数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结1.1 1.1 两个自变量的方程两个自变量的方程1 1 二阶线性偏微

3、分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类1.2 1.2 两个自变量的二阶线性两个自变量的二阶线性 偏微分方程的化简偏微分方程的化简1.3 1.3 方程的分类方程的分类数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结1 1 二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类1 . 4221221211fcuububuauauayxyyxyxx 遵循由简单到复杂的认知规律，我们先研究两个自变量的二遵循由简单到复杂的认知规律，我们先研究两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类问题。阶线性偏微分方程的分类问题。 前面遇到的一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普拉斯

4、前面遇到的一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普拉斯方程都是方程都是两个自变量的二阶线性偏微分方程。不过它们的形两个自变量的二阶线性偏微分方程。不过它们的形式特殊，若用式特殊，若用(x,y)记自变量，一般的二阶线性方程总可以写成记自变量，一般的二阶线性方程总可以写成如下的形状如下的形状1-1 1-1 两个自变量的方程两个自变量的方程数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结 在前面弦振动方程的达朗贝尔解法在前面弦振动方程的达朗贝尔解法(行波法行波法)的学习中，我们的学习中，我们已看到变量变换的意义。变换是研究微分方程的一个有效手已看到变量变

5、换的意义。变换是研究微分方程的一个有效手段，通过适当的变换往往可以把复杂的方程转化为简单的，段，通过适当的变换往往可以把复杂的方程转化为简单的，把不易求解的方程转化为容易求解的。把不易求解的方程转化为容易求解的。方程方程(4.1)的二阶导数项的二阶导数项称为它的主部。称为它的主部。现在研究在什么样的自变量变换下，方程的现在研究在什么样的自变量变换下，方程的主部可以得到简化。主部可以得到简化。2 . 42221211yyxyxxuauaua1-1 1-1 两个自变量的方程两个自变量的方程数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结1-1-2

6、2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简设设(x0,y0)是区域是区域内一点，在该点的邻域内对方程内一点，在该点的邻域内对方程(1)进行简化。进行简化。为此我们作下面的自变量变换为此我们作下面的自变量变换3 . 4),(),(yxyx在高等数学中，我们已经知道：如果上述变换是二次连续可微在高等数学中，我们已经知道：如果上述变换是二次连续可微的，且雅可比行列式的，且雅可比行列式4 . 4),(),(xxyxyxDDJ数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结在在(x0,y0)点不为零，那么在点点不为零，那

7、么在点(x0,y0)的邻域内，变换的邻域内，变换(4.3)是可逆是可逆的，也就是存在逆变换的，也就是存在逆变换5 . 4),(),(yyxx也就是说，方程也就是说，方程(4.1)可以采用新的自变量可以采用新的自变量, ,表示为表示为6 . 4221221211fucububuauaua运用复合函数的求导法则运用复合函数的求导法则22212211112yyxxaaaa7 . 4)(22121112yyxyyxxxaaaa22212211222yyxxaaaa1-1-2 2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分

8、方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结注意到注意到(4.7)的第一个和第三个等式形式完全相同，因此，如果的第一个和第三个等式形式完全相同，因此，如果我们能选择到方程我们能选择到方程8 . 40222212211yyxxaaa的两个函数无关的解的两个函数无关的解1(x,y)和和2(x,y)，那么，将变换取为，那么，将变换取为= =1 (x,y)和和= =2 (x,y)，方程方程(4.6)的系数的系数 。002211aa； 这样就达到了简化方程这样就达到了简化方程(4.1)的主部的目的。下面考察这种的主部的目的。下面考察这种选取的可能性。选取的可能性。1-1-2 2 两个自变量的二阶线性偏

9、微分方程的化简两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结 我们知道，方程我们知道，方程(4.8)的求解可以转化为下述常微分方程在的求解可以转化为下述常微分方程在(x,y)平面上的积分曲线问题：平面上的积分曲线问题：9 . 402)(2212211adxdyadxdya设设1(x,y)=c 是方程是方程(4.9)的一族积分曲线，则的一族积分曲线，则z=1(x,y)是方程是方程(4.8)的一个解。称方程的一个解。称方程(4.9)的积分曲线为方程的积分曲线为方程(4.8)的的特征线特征线，方程，方程(4.9)

10、有时也称为方程有时也称为方程(4.8)的的特征方程特征方程。显然方程显然方程(4.9)可以分解为两个方程可以分解为两个方程11. 4/ )(10. 4/ )(1122112121211221121212aaaaadxdyaaaaadxdy1-1-2 2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结这样根据这样根据 的符号不同，我们可以选取相应的的符号不同，我们可以选取相应的变换代入方程变换代入方程(4.6) ，从而得到不同的化简形式，从而得到不同的化简形式2211212

11、aaa , 02211212aaa12. 41111DuCuBuAuu, 02211212aaa13. 41111DuCuBuAu, 02211212aaa14. 4DCuBuAuuu这三个方程分别称为二阶线性偏微分方程的这三个方程分别称为二阶线性偏微分方程的标准形式标准形式。1-1-2 2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结 由前面的讨论可知，方程由前面的讨论可知，方程(4.1)通过自变量的可逆变换通过自变量的可逆变换(4.3)化为那一种化为那一种标准形式，

12、主要决定于它的主部系数。也就是说由标准形式，主要决定于它的主部系数。也就是说由l,m平面上的二次曲线平面上的二次曲线的性质而定。由于这个曲线可以是椭圆、双曲线或抛物线，因此我们相应的性质而定。由于这个曲线可以是椭圆、双曲线或抛物线，因此我们相应地定义方程在一点的类型如下：地定义方程在一点的类型如下：若方程若方程(4.1)的主部系数的主部系数 在区域在区域中某一点中某一点(x0，y0)满足满足02),(22212211malmalamlQ221211,aaa则称方程在点则称方程在点(x0，y0)是是双曲型双曲型的；的；, 02211212aaa, 02211212aaa, 02211212aaa

13、则称方程在点则称方程在点(x0，y0)是是椭圆型椭圆型的。的。则称方程在点则称方程在点(x0，y0)是是抛物型抛物型的的;相应地，相应地， (4.12)、(4.13)和和(4.14)这三个方程分别称为这三个方程分别称为双曲型双曲型、抛物型抛物型和和椭圆型椭圆型(二阶线性二阶线性)偏微分方程的标准形式。偏微分方程的标准形式。1-1-3 3 方程的分类方程的分类数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结如果方程在区域如果方程在区域中每一点上均为双曲型，那么我们称方程在区域中每一点上均为双曲型，那么我们称方程在区域中是中是双曲型的。类似的，对椭

14、圆型和抛物型也有同样的定义。如果一个方程在双曲型的。类似的，对椭圆型和抛物型也有同样的定义。如果一个方程在区域区域中的一部分区域表现为双曲型，在另一部分表现为椭圆型，而在分中的一部分区域表现为双曲型，在另一部分表现为椭圆型，而在分界面上表现为抛物型，那么，这样的方程在在区域界面上表现为抛物型，那么，这样的方程在在区域中称为混合型的。中称为混合型的。举例：举例：容易看出，如果点容易看出，如果点(x0，y0)上方程上方程(4.1)表现为双曲型或椭圆型，那么一定存表现为双曲型或椭圆型，那么一定存在该点的一个领域，使方程在这个领域内是双曲型或椭圆型的。但如果这在该点的一个领域，使方程在这个领域内是双曲

15、型或椭圆型的。但如果这个点上个点上方程方程(4.1)表现为抛物型，则不一定存在一个领域，使方程在这个领表现为抛物型，则不一定存在一个领域，使方程在这个领域内表现为抛物型。域内表现为抛物型。按照刚才的分类方法，很容易看出一维弦振动方程是双曲型的，一维热传按照刚才的分类方法，很容易看出一维弦振动方程是双曲型的，一维热传导方程是抛物型的，二维拉普拉斯方程是椭圆型的。前面我们已经知道，导方程是抛物型的，二维拉普拉斯方程是椭圆型的。前面我们已经知道，以上三种方程描述的自然现象的本质不同，其解的性质也各异。这也从侧以上三种方程描述的自然现象的本质不同，其解的性质也各异。这也从侧面说明了我们对二阶线性偏微分

16、方程所进行的分类是有其深刻的原因的。面说明了我们对二阶线性偏微分方程所进行的分类是有其深刻的原因的。例如，空气动力学中，对于定常例如，空气动力学中，对于定常Euler方程而言，它在方程而言，它在亚音速亚音速流动中表现为流动中表现为椭圆型椭圆型方程，在方程，在超音速超音速流动中表现为流动中表现为双曲型双曲型，在，在跨音速跨音速流动中表现为流动中表现为混合混合型型。而对于非定常。而对于非定常Euler方程而言，它始终表现为方程而言，它始终表现为双曲型双曲型。02222yuxuy1-1-3 3 方程的分类方程的分类数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程

17、的分类与总结例题：把方程例题：把方程0=+2+22yyxyxxuyxyuux分类并化为标准形式分类并化为标准形式 解：该方程的解：该方程的04)2(222yxxy故该方程是抛物型的。故该方程是抛物型的。显然，该方程的特征方程为：显然，该方程的特征方程为：0)(2)(222ydxdyxydxdyxxydxdy从而得到方程的一族特征线为：从而得到方程的一族特征线为：xdxydyxylnlnCyx/作自变量代换作自变量代换yxy;( (由于由于和和必须函数无关必须函数无关, ,所以所以宜取最宜取最简单的函数形式简单的函数形式, ,即即= =x 或或= =y) )于是，原方程化简后的标准形式为：于是，

18、原方程化简后的标准形式为：0u1-1-3 3 方程的分类方程的分类数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结练习题：例1、2，P 100101； 习题2、3，P 102103。数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结1.1 1.1 线性方程的叠加原理线性方程的叠加原理3 3 三类方程的比较三类方程的比较1.2 1.2 解的性质的比较解的性质的比较1.3 1.3 定解问题的提法比较定解问题的提法比较数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程

19、的分类与总结 现在我们以前面各章对三类典型方程的研究为基现在我们以前面各章对三类典型方程的研究为基础，就双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程这三种础，就双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程这三种不同类型的方程的解的性质、定解问题的提法等方面不同类型的方程的解的性质、定解问题的提法等方面进行分析和总结。我们将看到：这三类方程在其系数进行分析和总结。我们将看到：这三类方程在其系数的代数性质上的差别实际上反映着许多本质的差异。的代数性质上的差别实际上反映着许多本质的差异。3 3 三类方程的比较三类方程的比较数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结

20、3 3 三类方程的比较三类方程的比较3-1 3-1 线性方程的叠加原理线性方程的叠加原理共性共性 线性方程的共性是满足叠加原理。线性方程的共性是满足叠加原理。 前面的学习中，我们多次利用叠加原理把一个复杂的问题转前面的学习中，我们多次利用叠加原理把一个复杂的问题转化为若干个简单的问题进行求解。分离变量法和齐次化原理实化为若干个简单的问题进行求解。分离变量法和齐次化原理实际上都是叠加原理的具体应用。际上都是叠加原理的具体应用。数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结（以热传导方程为例）叠加原理I.) 1 . 3(),(合仍然是解的，它们的

21、无限线性组是如果txuk数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结叠加原理II是下面方程的解是下面方程的解设设,),(3 32 21 1 ktxuk(3.3) ),( ),(222Gtxtxfxuatuk如如果果级级数数 1 1kkktxuc),(函数函数可逐项求导两次，则和可逐项求导两次，则和可以逐项求导一次，对可以逐项求导一次，对内对内对在在xtG (3.4) ),( ),(1kkktxuctxu.是非下面齐次方程的解是非下面齐次方程的解(3.5) ),( ),(0222Gtxtxfcxuatukkk数学物理方程数学物理方程第四章第四

22、章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结叠加原理III 数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结叠加原理IV数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结 三类典型方程在数学性质上的差异往往是相应的物理现象的三类典型方程在数学性质上的差异往往是相应的物理现象的本质差异在数学上的表现。下面我们以三类典型方程本质差异在数学上的表现。下面我们以三类典型方程(波动方程、波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程热传导方程和拉普拉斯方程)为例来叙述其差别。对于一般的变为例来叙述其

23、差别。对于一般的变系数方程，情况更复杂一些，但类似结论仍然成立。系数方程，情况更复杂一些，但类似结论仍然成立。3 3 三类方程的比较三类方程的比较3-2 3-2 解的性质的比较解的性质的比较差异差异数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结1） 解的光滑性解的光滑性 对于不同类型的方程来说，解的光滑性可以很不相同。对于弦振动方对于不同类型的方程来说，解的光滑性可以很不相同。对于弦振动方程来说，如果初始条件中高阶的导数不存在，那么解的高阶导数也就不存程来说，如果初始条件中高阶的导数不存在，那么解的高阶导数也就不存在；对于热传导方程，只要初始

24、条件是有界的，那么其解是无穷可微的；在；对于热传导方程，只要初始条件是有界的，那么其解是无穷可微的；对于拉普拉斯方程，它的解的光滑性更好，其解在定义域内都是解析函数。对于拉普拉斯方程，它的解的光滑性更好，其解在定义域内都是解析函数。 课本上从物理角度对上述解的光滑性差异进行了解释。下面的图形形课本上从物理角度对上述解的光滑性差异进行了解释。下面的图形形象地反映了不同类型方程的解的光滑性。象地反映了不同类型方程的解的光滑性。数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结2） 解的极值性质解的极值性质 热传导方程和拉普拉斯方程都存在极值原理，但它

25、们所采热传导方程和拉普拉斯方程都存在极值原理，但它们所采取的形式是有区别的。拉普拉斯方程解的极值只可能存在于取的形式是有区别的。拉普拉斯方程解的极值只可能存在于边界。至于热传导方程，区域内部的最大值不能超过区域初边界。至于热传导方程，区域内部的最大值不能超过区域初始时刻和边界面上的最大值。双曲型方程通常不存在极值原始时刻和边界面上的最大值。双曲型方程通常不存在极值原理，这是因为波在叠加时可以出现扰动增大的情况。理，这是因为波在叠加时可以出现扰动增大的情况。数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结3） 影响区和依赖区影响区和依赖区 从影响

26、区和依赖区来看，三类方程也有很大区别。波动方从影响区和依赖区来看，三类方程也有很大区别。波动方程的扰动是以有限速度传播的，因而其影响区和依赖区是锥程的扰动是以有限速度传播的，因而其影响区和依赖区是锥体状的。对热传导方程而言，其扰动传播进行的十分迅速，体状的。对热传导方程而言，其扰动传播进行的十分迅速，某个点的其影响区是该点以上的整个上半平面，依赖区是整某个点的其影响区是该点以上的整个上半平面，依赖区是整个初始值区间。拉普拉斯方程表示定常状态或平衡状态，因个初始值区间。拉普拉斯方程表示定常状态或平衡状态，因此不存在扰动传播的问题。此不存在扰动传播的问题。数学物理方程数学物理方程第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结4） 关于时间的反演关于时间的反演 一物理状态的变化是否可逆，在数学上反映为所归结出来一物理状态的变化是否可逆，在数学上反映为所归结出来的方程关于时间变量是否是对称的，即以的方程关于时间变量是否是对称的，即以t代替代替t后方程是否后方程是否不变化。不变化。 拉普拉斯方程不存在此问题，双曲型方程是可逆的，热传拉普拉斯方程不存在此问题，双曲型方程是可逆的，热传导方程