静电场的高斯定理(1)大学物理资料复习进程

1、基础物理学主讲：张国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理静电场的高斯定理(1)大学物理资料基础物理学主讲：张国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理1.起于正电荷（或无限远处），终于负电荷（或无起于正电荷（或无限远处），终于负电荷（或无限远处），无电荷处不中断。限远处），无电荷处不中断。由上面几种电荷的电场线分布可以看出：由上面几种电荷的电场线分布可以看出：2.电场线不能形成闭合曲线。电场线不能形成闭合曲线。3.任何两条电场线不会相交。任何两条电场线不会相交。基础物理学主讲：张国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理S S1.1.电通量定义：电

2、通量定义：电场中通过某一曲面（平面）电场中通过某一曲面（平面） 的电场线条数称的电场线条数称通过该曲面（平面）的电通量。通过该曲面（平面）的电通量。2.2.电通量单位：电通量单位：N mN m2 2/C/C 3. 3.均匀电场中垂直通过平面均匀电场中垂直通过平面 S S 的电场强度通量的电场强度通量. .ESF=基础物理学主讲：张国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理S4.4.均匀电场中斜通过平面均匀电场中斜通过平面 S S 的电场强度通量的电场强度通量: :5.5.非均匀电场通过曲面非均匀电场通过曲面 S S 的电场强度通量的电场强度通量: :EdSenS SSencose

3、ESE SFq=rrdeSE sF=蝌rr基础物理学主讲：张国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理6.6.面元法向规定面元法向规定: :非封闭曲面面法向正向可任意取非封闭曲面面法向正向可任意取封闭曲面指外法向。封闭曲面指外法向。电通量是标量但有正负，电通量是标量但有正负，当电场线从曲面内向外穿出是正值当电场线从曲面内向外穿出是正值e en n1 12 2e en n当当电场线从曲面外向内穿入电场线从曲面外向内穿入是负值是负值注意：注意：基础物理学主讲：张国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理7.7.非均匀电场通过封闭曲面非均匀电场通过封闭曲面 S S 的电场

4、强度通量的电场强度通量 : :注意注意: :通过封闭曲面通过封闭曲面 S 的电通量等于净穿出该封的电通量等于净穿出该封闭曲面的电场线总条数。闭曲面的电场线总条数。e en n1 12 2e en nd0eSE SF= =蝌rr课堂练习 P83 3.4基础物理学主讲：张国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理高斯高斯eSE dS C.F. Gauss是是 德国著名数学家、物理学德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。他有数家、天文学家、大地测量学家。他有数学王子的美誉，并被誉为历史上伟大的学王子的美誉，并被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉数学家之一，和

5、阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名。同享盛名。 用用电通量电通量表示电场和场源电荷关系的定理，给出通过任表示电场和场源电荷关系的定理，给出通过任一一封闭曲面的电通量封闭曲面的电通量与与封闭曲面内所包围电荷封闭曲面内所包围电荷的关系。的关系。基础物理学主讲：张国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理高斯高斯+q201d4eSSqE dSSr Srqd4S2022044rrq0qe=一点电荷在一虚拟的闭合球面（高斯面）中心一点电荷在一虚拟的闭合球面（高斯面）中心SdEr基础物理学主讲：张国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理0eqFe=可见，电通量与所选取球可见，电通量

6、与所选取球面半径无关，面半径无关，由由闭合面内为点电荷系的情况：闭合面内为点电荷系的情况：1q3q4q2qnqnEEEE21即使点电荷不在球面中的中心，即使点电荷不在球面中的中心，即使球面畸变，这一结果仍是即使球面畸变，这一结果仍是一样的，这由图也可看出一样的，这由图也可看出.基础物理学主讲：张国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理此时通过闭合面的电通量是：此时通过闭合面的电通量是：deSESF=蝌rr12dddnSSSESESES= + +蝌蝌蝌rrrrrrL乙12000nqqqniiq10闭合面内无电荷的情形：闭合面内无电荷的情形：d0SES =蝌rrq基础物理学主讲：张

7、国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理deS ES1.1 1.1 当点电荷在闭合球面球心时当点电荷在闭合球面球心时0q0q1.2 1.2 任一闭合曲面任一闭合曲面S包围点电荷包围点电荷q q时时deS ES1.3 1.3 闭合曲面闭合曲面S不包围该电荷不包围该电荷0 deS ES0 内Siq1.4 1.4 闭合曲面闭合曲面S包围多个电荷包围多个电荷q1-qk，同时面外也有多，同时面外也有多个电荷个电荷qk+1-qndeS ES综合以上讨论，可得如下的结论：综合以上讨论，可得如下的结论：基础物理学主讲：张国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理高斯定理高斯定理:

8、 : 讨论：讨论：01deiSSESq 内在静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该在静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该曲面内电荷量代数和除以真空介电常数。曲面内电荷量代数和除以真空介电常数。1.1.当闭合曲面内净电荷为正时当闭合曲面内净电荷为正时, , e 0, ,表示有电场线表示有电场线从曲面内穿出从曲面内穿出, ,正电荷称为静电场的源头正电荷称为静电场的源头; ;2.2.当闭合曲面内净电荷为负时当闭合曲面内净电荷为负时, , e0）的电荷，求整个空间的电场分布？的电荷，求整个空间的电场分布？解：解： 电荷及场分布特点电荷及场分布特点: :球对称。球对称。+q高斯面高斯面+q高斯

9、面高斯面: : 球面球面, ,半径半径r。2 rr0REE=()20 4qrRrpe0 rR基础物理学主讲：张国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理+q例例1 1 求电荷呈球对称分布时所激发的电场强度求电荷呈球对称分布时所激发的电场强度r R 时，高斯面内无电荷，时，高斯面内无电荷，2d4SESEr0E0inq解：解：204inqErpe=高斯面高斯面电荷及场分布特点电荷及场分布特点: : 球对称球对称, ,设球半径设球半径R, ,电荷量电荷量为为q高斯面高斯面: : 球面球面, ,半径半径r依高斯定律依高斯定律:(1)(1)电荷均匀分布在球面电荷均匀分布在球面: :+q基础

10、物理学主讲：张国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理+ + + + + + + + + + + + + + + + +q q rR时，高斯面内电荷量即时，高斯面内电荷量即为球面上的全部电荷，为球面上的全部电荷，高斯面高斯面204inqErpe=204qrpe=可见，电荷均匀分布在球面时，可见，电荷均匀分布在球面时，它在球面外的电场就与全部电它在球面外的电场就与全部电荷都集中在球心的点电荷所激荷都集中在球心的点电荷所激发的电场完全相同。发的电场完全相同。（2）电荷分布在整个球体内：）电荷分布在整个球体内：+2 rr0RE均匀带电球面电场强度曲线如均匀带电球面电场强度曲线如上图。

11、上图。基础物理学主讲：张国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理+ + + + + + + + + + + + + + + + +q qrR 时，高斯面内电荷量即为球体上的全部电荷，时，高斯面内电荷量即为球体上的全部电荷，球体外电场和电荷均匀分布在球面上时球面外电场球体外电场和电荷均匀分布在球面上时球面外电场完全相同。完全相同。高斯面高斯面204qErpe=+rR 时，时，设电荷体密度为设电荷体密度为334Rq334rqin基础物理学主讲：张国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理+ + + + + + + + + + + + + + + + +q q高斯面高斯

12、面+204inqErpe=3230144433qrrRppep=创304Rqr可见，球体内场强随可见，球体内场强随r线性增加。线性增加。均匀带电球体电场强度曲线如均匀带电球体电场强度曲线如上图。上图。r0RE2 r基础物理学主讲：张国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理EE例例2 2 均匀带电无限大平面的电场均匀带电无限大平面的电场. .电荷及场分布：面对称性，场方向沿法向。电荷及场分布：面对称性，场方向沿法向。解：解：高斯面高斯面: :作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为底面积为S，两底面到带电平面距离相同。，两底面到带电平面距离相同。E

13、SE基础物理学主讲：张国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理dd2SEEESSS两 底圆柱形高斯面内电荷圆柱形高斯面内电荷Sq由高斯定理得由高斯定理得0/2SES 02E可见，无限大均匀带电可见，无限大均匀带电平面激发的电场强度与平面激发的电场强度与离面的距离无关，即面离面的距离无关，即面的两侧形成匀强电场。的两侧形成匀强电场。02nEese=rr矢量式为：矢量式为：ESE基础物理学主讲：张国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理R例例3 3 求电荷呈无限长圆柱形轴对称均匀分布时所激发求电荷呈无限长圆柱形轴对称均匀分布时所激发的电场。圆柱半径为的电场。圆柱半径

14、为R R，沿轴线方向单位长度带电量为，沿轴线方向单位长度带电量为 。高斯面：与带电圆柱同轴的圆柱高斯面：与带电圆柱同轴的圆柱形闭形闭 合面合面, ,高为高为l,半径为半径为r电荷及场分布：柱对称性，场方电荷及场分布：柱对称性，场方向沿径向。向沿径向。ddSEESS侧面由高斯定理知由高斯定理知lrqE02解：解：rlE2lr基础物理学主讲：张国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理（1 1）当）当rR 时，时，lqrE02均匀带电圆柱面的电场分布均匀带电圆柱面的电场分布E Er r 关系曲线关系曲线R02R1rEr0l矢量式为：矢量式为：02rEerlp e=rr基础物理学主讲：

15、张国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理（选讲）例（选讲）例4 4 均匀带电球体空腔部分的电场，球半径为均匀带电球体空腔部分的电场，球半径为R R， 在球内挖去一个半径为在球内挖去一个半径为r（rR）的球体。的球体。试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。r证明：证明： 用补缺法证明。用补缺法证明。103O Pre=uuu rvcpo在空腔内任取一点在空腔内任取一点p, ,E设想用一个半径为设想用一个半径为r且体电荷密度与大球相且体电荷密度与大球相同的小球将空腔补上后，同的小球将空腔补上后，p p点场强变为点场强变为1E设该点场强为设该点场强为R1E2E小球单独存在时，小球单独存在时，p点的场强为点的场强为cpE023 基础物理学主讲：张国才主讲：张国才3.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理12EEE=+vvvQ12EEE=-vvv03ocre=uu r因为因为oc为常矢