大学数学：第1章 第2节极限

1、 极限 第二节学习要求学习要求掌握极限的四则运算法则和利用两个重要掌握极限的四则运算法则和利用两个重要极限求极限的方法极限求极限的方法理解无穷小的概念和基本性质，掌握无穷小理解无穷小的概念和基本性质，掌握无穷小的比较方法，了解无穷大量的概念及其与无的比较方法，了解无穷大量的概念及其与无穷小的关系穷小的关系了解数列极限和函数极限的概念、性质与了解数列极限和函数极限的概念、性质与极限存在的两个准则极限存在的两个准则极限思想极限思想一尺之棰，日取其半，万世不竭 剩余长度依次为剩余长度依次为 1， 剩余长度不为零，但无限接近于零剩余长度不为零，但无限接近于零1/2 ， 1/4 ， 1/ 8 ， 1/1

2、6 ，, 1/32 ，我国战国时期（公元前我国战国时期（公元前4世纪）名家公孙龙等人提出命题：世纪）名家公孙龙等人提出命题：在中国古代的萌芽和应用在中国古代的萌芽和应用刘徽刘徽割圆术割圆术 割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割，则与圆周合体而无所失矣数列的概念数列数列 就是指按自然数编了号的一列数就是指按自然数编了号的一列数123,naaaa记作记作 an , 其中其中 an 称为该数列的称为该数列的通项通项。2，4，8，. , 2n ，. ,123,2341nn 11,1, 1, ( 1),n几个数列的例子几个数列的例子: 2n1nn11n数列的极限limnnaA 123,naaaaA

3、随着项数随着项数 n 的增大，的增大， an 越来越接近越来越接近 A（不够确切）（不够确切） n充分大时，充分大时， an 的值可以无限逼近的值可以无限逼近A（定性描述）（定性描述）0,nNnNaA 对，当时存在存在 Exist任意任意 Arbitrary记作记作 或或 naAn 数列极限举例数列极限举例 求下列极限：求下列极限：23(1) lim31nnn22(2) limnnan(3) lim1nnnn (4) lim0.9999nn 个11( 2)3(5) lim( 2)3nnnnn231lim1nnnn 11123131lim32313nnnnn12 类似于数列极限，如果在自变量的类

4、似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程中某个变化过程中，对，对应的应的函数值函数值可以无限接近于某个可以无限接近于某个确定的常数确定的常数，那么这个确定，那么这个确定的常数就叫做函数在该变化过程中的的常数就叫做函数在该变化过程中的极限。极限。1( )fxx10 x1lim0 xx 例如例如 记作记作x 当当 时时1lim (1)2xx函数的极限又如：当又如：当1x 时，时，12x ，记作，记作 称称0是函数是函数 在在 时的极限。时的极限。 1( )fxxx ) ( ),( )lim( ) ( )()xxxf xAAf xxf xAf xAx 如果无限增加(记作时，函数值可以无限逼近常数则称

5、常数 是函数在时的极限，记作或 lim( )xf xAlim( )xf xA相似地，可定义单侧情形：相似地，可定义单侧情形：lim( )0,0,( )xf xAMxMf xA 时 自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限xyOAA-MMA即即 lim arctanxx lim arctanxx lim arctanxx 不 存 在yx22oy=arctan x22例如：例如：1limxx 1limxx xyoy=1/x001lim0 xx 所以所以几几 点点 说说 明明 1、 时，自变量时，自变量 是双向变化是双向变化 xx2、 axfxfaxfxxxlimlimlim axf

6、a或xfa或xfxxxlimlimlim3、 则直线则直线 是曲线是曲线 的水平渐近线的水平渐近线 ay xfy 3232342(1) lim753xxxxx33423lim537xxxxx 232321(2) lim25xxxxx233321lim152xxxxxx 002101101limmmmnnxna xa xab xb xb00()0()()anmbnmnmx 对类型，两个多项式之比的极限只与最高次项有关，一般规律如下：37例例 求下列极限求下列极限 10010021(1)lim31xxxx133221(2)lim31xxxxx021(3)lim31xxxx 22lim0,1xxax

7、ba bx若（）求的值22lim0,1xxaxba bx若（）求的值2222211xxaxaxbxbaxbxx20a0ab2(2)()1a xab xbx由题设知，分子必须是由题设知，分子必须是 x 的零次多项式的零次多项式2a 2b 解解答答邻域（邻域（ neighborhood）的概念）的概念0a设 与 是两个实数且，aaaaaa( ,)|0(, )( ,)U axxaaaa a( ,)|(,)U ax xaaaa的 邻域a的去心 邻域自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限其中，其中， 叫做邻域的中心，叫做邻域的中心， 叫做邻域的半径。叫做邻域的半径。 alim( )0,

8、0, 0 ,( )xaf xAxaf xA当时自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限即即( )f xA度量度量 与与 的逼近程度的逼近程度 xa度量度量 与与 的逼近程度的逼近程度 ，是一个与，是一个与 有关的量。有关的量。 x如果当如果当 无限接近于无限接近于 时（记作时（记作 ），函数值），函数值 可以无限逼近定常数可以无限逼近定常数 ，则称定常数，则称定常数 为函数为函数 在在 时的极限，记作时的极限，记作 axa()fxAA()fxxalim()xafxA() fxAxa当时或或 注意事项注意事项： （1）定义中定义中 xa的过程中的过程中, xa 成立。成立。()y

9、fxxOyaaaAAA函数极限的几何解释函数极限的几何解释（3）极限值）极限值 与函数值与函数值 无关。无关。lim( )xaf x( )f a（2）00 xaxa 左极限左极限 left-hand limit 右极限右极限 right-hand limitx 仅从仅从 a 的左侧趋于的左侧趋于a ，记作记作lim( )xaf xA或或x 仅从仅从 a 的右侧趋于的右侧趋于a ，记作记作lim( )xaf xA或或lim( )(0)(0)xaf xAf af aA(0)f aA(0)f aAaa左极限与右极限xaxa此处的此处的0表示无穷小量表示无穷小量 定理：定理：0(00)lim( )1x

10、ffx0(00)lim( )1xffx 右极限右极限左极限左极限yxo1-1考虑符号函数考虑符号函数10( )sgn0010 xf xxxx求求 0lim( )xfx(00)(00)ff因为因为 所以所以 不存在。不存在。 0lim( )xfx解解 10( )0010 xxf xxxx0lim( )xf x0lim(1)1xx0lim ( )xf x0lim(1)1xx0lim( )xf x不存在20( )0 10 xxf xxaax设函数在时的极限存在，求的值200lim( )lim0 xxf xx00lim ( )lim(1) 1xxf xaa 10a 1ayxo例如例如 函数极限的性质局

11、部保号性局部保号性局部有界性局部有界性Axfax)(lim设设0A0A0( , )xU a 0)(xf( )0f x （1）若）若（或（或 ），则，则，使得，使得有有（或（或 ）( , )xU a 0)(xf0)(xf0 ( 0 )AA或a（2）若存在点）若存在点的去心的去心 邻域，使得邻域，使得，有，有（或（或 ），则，则如果如果lim( )xaf x存在，则函数存在，则函数 在点在点 的的某个去心邻域内某个去心邻域内有界。有界。( )f xa 如果函数如果函数 f (x) 在某个极限过程中的极限为零，在某个极限过程中的极限为零， 那么就称那么就称 f (x)是此极限过程的是此极限过程的无穷

12、小（量）无穷小（量）无穷小举例无穷小举例21lim(1)0 xx 无穷小是以零为极限的变量（函数）无穷小是以零为极限的变量（函数），不是绝对值很小的数，不是绝对值很小的数。无 穷 小 无穷小与自变量的变化过程有关无穷小与自变量的变化过程有关，如，如 时时 是是 无穷小，但无穷小，但 时，则时，则 不是无穷小。不是无穷小。 2x 2x2x3x 因为因为 所以所以 在在 时是无穷小。时是无穷小。 21x 1x 推论：推论： （1）有限个有限个无穷小之和仍是无穷小；无穷小之和仍是无穷小； （2）常数与无穷小的乘积是无穷小；）常数与无穷小的乘积是无穷小； （3）有限个有限个无穷小的乘积仍是无穷小。无穷

13、小的乘积仍是无穷小。例如例如 ，因为，因为1lim0 , sin1xxx所以所以1limsin0 xxx有界函数有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。即与无穷小的乘积仍是无穷小。即01lim sin0 xxx同理同理两个无穷小的和或差，仍是无穷小。两个无穷小的和或差，仍是无穷小。无穷小的性质两个无穷小的积，仍是无穷小。两个无穷小的积，仍是无穷小。即即lim( )( ),f xAf xA其中其中lim0极限与无穷小的关系函数函数 以以 为极限为极限 是无穷小。是无穷小。 ( )f xA( )f xA 如果函数如果函数 f (x) 在某个极限过程中，对应的在某个极限过程中，对应的函数值的绝对值函数值的

14、绝对值可以无限增大，可以无限增大， 那么就称那么就称 f (x)是此极限过程的是此极限过程的无穷大（量）无穷大（量）。（正无穷大）无穷大（负无穷大）（变号无穷大） 只有一种趋势只有一种趋势包括两种趋势包括两种趋势 如如01limxx 2limxx limxx20limlogxx无 穷 大01limxx01limxx观察函数观察函数 y=1/x 的图像的图像0lim lnxxlim lnxx 再考察函数再考察函数 y = ln x 注意：无穷大不是很大的数，而是表示函数的注意：无穷大不是很大的数，而是表示函数的绝对值可以无限增大，反映函数值的一种变化趋势。绝对值可以无限增大，反映函数值的一种变化

15、趋势。xyoy=1/xyxoy=lnx在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。221xxx 例如时,是无穷大，是无穷小11 00无穷小和无穷大的关系01limxx 注意：注意： 只表示函数只表示函数 在在 时是一个正无穷大量，时是一个正无穷大量，但极限但极限 不存在。不存在。 01limxx1x0 x简记作简记作 作业：作业：P606117；预习：预习：P28P33 第三节第三节极限的四则运算法则lim( )lim( )f xAg xB如果， 那么lim( )( )f xg xABlim( )( )f xg xA B(

16、 )lim(0)( )f xABg xBlim( )Cf xCAlim( )nnf xA注意：法则成立的前提是极限存在。注意：法则成立的前提是极限存在。 000( )()lim( ),uuuxxxxuf uA 函数当的极限等于（可以是），且则00()lim( )lim( )xxuuxfxf uAlim( )0,lim( ),g xah xb在同一极限过程中，设函数则( )lim ( )h xbg xa复合函数的极限运算法则幂指函数的极限运算法则3221(2) lim53xxxx73 30(1) lim(cos1)xxxx03cos0 01 1 sin32(3) limxxx3sin23()21

17、32()23sin(2) limxxe01e2121(1 ) li m ()1xxxx181222(1) lim4xxx0(2)lim11xxxx22lim(2)(2)xxxx21lim(2)xx14011lim( 11)11xxxxxxxx011lim2xxxxx011lim2xxx1 因式分解因式分解消除零因子消除零因子有理化有理化消除零因子消除零因子0022468(1) lim54xxxxx2011(2) limxxx44(2)(4)22limlim(1)(4)13xxxxxxxx222020( 11)( 11)lim( 11)lim011xxxxxxxx00消除零因子消除零因子多项式分

18、解因式多项式分解因式 将无理式有理化将无理式有理化 夹逼准则夹逼准则单调有界原理单调有界原理极限存在准则两个重要极限两个重要极限0sinlim1;xxx单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限),(aUx),()()(xhxgxfAxhxfaxax)(lim)(limlim ( )xag xA则存在，且等于.对于其它趋势的极限，以及数列有类似的对于其它趋势的极限，以及数列有类似的夹逼准则夹逼准则1lim (1)xxex 利用这两个准则可以利用这两个准则可以分别证明这两个公式分别证明这两个公式0sinlim1xxx0sin3(2) limxxx0sin33lim3xxx3130tanlim(1)

19、xxx0sin1lim()cosxxxx1111重要极限重要极限的应用举例的应用举例重要极限重要极限sin1无穷小无穷小可做公式使用可做公式使用 或或 0lim1sinxxx0sin 3(1) limsin 2xxx03sin 323lim23sin 22xxxxx2202sin2limxxx20sin12lim22xxx211122(2) lim 2 sin2nnnx sin2lim2nnnxxxx 201cos(3) limxxxsin(3) limxxxsinlim1xxx 1lim (1)xxex 1(2) lim (1)xxx 11lim(1)xxx 1e120(1)lim(1)xx

20、x1120lim(1) xxx12e10lim (1)xxxe重要极限重要极限的应用举例的应用举例公式特点：公式特点：11e无穷小无穷小 1属类的未定式或或 111(3)limxxx111lim 1(1)xxxe25(2)lim()xxxx121(3)lim21xxxx101055lim(1)xxex211(1)222lim121xxx 211(1)2222lim112121xxxx cot0(1) lim(1tan)xxx1tan0lim(1tan)xxxe1e20 ,sinxx xx时，都是无穷小，但趋于零的快慢程度不一样20lim0 xxx ，2xx比趋于零慢些0sinlim1xxx ，

21、无穷小的比较0sin 2lim2xxx ，2xx比 趋于零更快些20limxxx ，sin xx与 趋于零快慢几乎同步sin 2xx与 趋于零快慢相仿定义0,lim(0),1,c，若若 是同一极限过程下的无穷小，则是同一极限过程下的无穷小，则 称称 是比是比 低阶的无穷小；低阶的无穷小； 称称 是比是比 高阶的无穷小；记作高阶的无穷小；记作 ()o称称 与与 是同阶无穷小；记作是同阶无穷小；记作 ()O称称 与与 是等价无穷小；记作是等价无穷小；记作 0sinlim1xxx ，0sin 2lim2xxx ，20lim0 xxx ，当当 时，时， 是比是比 高阶高阶的无穷小。的无穷小。 0 x 2xx当当 时，时， 与与 是是等价等价无穷小。无穷小。 0 x sin xx当当 时，时， 与与 是是同阶同阶无穷小。无穷小。 0 x sin 2xx无穷小的阶的定义0arcsinxxx证 明时 ，0arcsinlimxxx0arcsinlimsin arcsinxxx10arcsinxxx所以时，比较下列两个无穷小比较下列两个无穷小12330 xxx(1)，和320sinxxx(2)， 和sinsin333xxx(3)，和 无穷小的无穷小的阶阶揭示了无穷小趋向于零的揭示了无穷