工程力学动量矩

1、第十章第十章 动量矩定理动量矩定理第一节第一节 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩第二节第二节 动量矩定量动量矩定量第三节第三节 刚体绕定轴转动的微分方程刚体绕定轴转动的微分方程第五节第五节 刚体平面运动的微分方程刚体平面运动的微分方程第六节第六节 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用第四节第四节 质系相对于质心的动量矩定理质系相对于质心的动量矩定理第一节第一节 质点和质点的动量矩质点和质点的动量矩vr)v(MmmO质点对于O点的动量矩为矢量，它垂直于矢径r与动量mv所形成的平面，指向按右手法则确定，其大小为mvdOMDmO 2)v(M质点动量矩质点M的动量对于O点的矩，定义为质点对于O

2、点的动量矩，即质点对某定点的动量矩质点的动量对固定点的动量矩在z轴上的投影等于质点的动量对z轴的动量矩质点对某轴的动量矩动量矩在轴上的投影是代数量对于平面问题，即质点始终在某平面内运动的情形，动量矩矢总是垂直于该平面，只需把它定义为代数量，并规定逆时针方向为正，顺时针方向为负。质点系动量矩质点系动量矩niniiiiiOOmm11ivr)v(ML为质系中各质点的动量对点之矩的矢量和，为质系中各质点的动量对点之矩的矢量和，或质系动量对于点的主矩，称为质系对点的或质系动量对于点的主矩，称为质系对点的动量矩。动量矩。质点系对某定点的动量矩质点系对某轴的动量矩vLvLvLmmLmmLmmLzzzOyyy

3、OxxxO即质点系对某固定点O的动量矩矢在通过该点的轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩 刚体的动量矩平动刚体的动量矩刚体平动时，可将全部质量集中于质心，做为一个质点计算其动量矩。刚体绕定轴转动时的动量矩将绕定轴转动的刚体看成一质点系，则ziiiiiiiiiizzJrmrrmrvmvmML2)(zzJL 绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩阵等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积第二节第二节 动量矩定理动量矩定理vr)v(MmmO)F(MFr)v(rvr)v(MOOmdtdmdtdmdtd质点动量矩定理：质点动量矩定理：质点对固定点的动量矩质点对固定点的动量矩对时间的一阶导数等于对时间的一阶导数等

4、于作用于质点上的力对同作用于质点上的力对同一点的力矩。一点的力矩。设质系内有n个质点，对于任意质点Mi有nimdtdeiiiOiiO, 2 , 1, )F(M)F(M)v(M)(O)(n个方程的矢量和nieiOniniiiOiiOmdtd1)(11)()F(M)F(M)v(MniiiO1)(0)F(MninieOieiO11)(e)i)(MFr)F(M质点系动量矩定理质点系动量矩定理nieiOniniiiOiiOmdtd1)(11)()F(M)F(M)v(MnieiOniiiOmdtd1)(1)F(M)v(M011L)v(M)v(MdtdmdtdmdtdniniiiOiiO质点系动量矩定理：质

5、系对固定点的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩。质系对于x，y，z轴的动量矩等于质系中各质点动量对于x，y，z轴动量矩的代数和。动量矩定理的投影形式动量矩定理的投影形式质点系对某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系上的外力对该轴之矩的代数和。动量矩守恒动量矩守恒 内力不能改变质系的动量矩，只有作用于质系的外力才内力不能改变质系的动量矩，只有作用于质系的外力才能使质系的动量矩发生变化能使质系的动量矩发生变化。在特殊情况下外力系对O点的主矩为零，则质系对O点的动量矩为一常矢量，即OeOL, 0M)(常矢量外力系对某轴力矩的代数和为零外力系对某轴力矩的代数和为零，则质系对该轴

6、的动量矩为一常，则质系对该轴的动量矩为一常数，数，例如0)F()(exMLx=常量例例 1 1 水平杆AB长为2a，可绕铅垂轴z转动，其两端各用铰链与长为l的杆AC及BD相连，杆端各联结重为P的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为铅垂，系统绕z轴的角速度为 。如某瞬时此细线拉断后，杆AC与BD各与铅垂线成 角，如图所示。不计各杆重量，求这时系统的角速度。0解：解：系统所受外力有小球的重力及轴承的约束力，这些力对z轴之矩都等于零。所以系统对z 轴的动量矩守恒.开始时系统的动量矩为020122agPaagPLz细线拉断后的动量矩为 22)sin(2lagPLz21zzlL202)s

7、in(22lagPagP022)sin(laa第三节 刚体绕定轴转动的微分方程刚体绕定轴转动的微分方程 如图所示定轴转动刚体，若任意瞬时的角速度为，则刚体对于固定轴z轴的动量矩为22iiiiiiizrmrmvmrL2iizrmJzzJL 即，刚体对转动轴的动量矩等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。应用质系对z轴的动量矩方程，得：)F(zzMdtdL)F(zzMJdtd)F(22zzMdtdJ)F(zzMJ 此式称为刚体绕定轴转动的微分方程刚体绕定轴转动的微分方程由于约束力对由于约束力对z 轴的力矩为零，所以方程中只需考轴的力矩为零，所以方程中只需考虑主动力的矩。虑主动力的矩。例例2 两个质

8、量为m1，m2的重物分别系在绳子的两端，如图所示。两绳分别绕在半径为r1, r2，并固结在一起的两鼓轮上，设两鼓轮对O 轴的转动惯量为JO，重为W，求鼓轮的角加速度和轴承的约束力。解：解：1. 以整个系统为研究对象；2系统所受外力的受力图如图，3系统的动量矩为)(222211rmrmJLOO4应用动量矩定理)F(OOMdtdL2211222211)(grmgrmrmrmJOgrmrmJrmrmO22221122115应用动量定理Xxm Yym OX0WgmgmYrmrmO212211所以轴承约束力为0OXgrmrmJrmrmWgmmYOO2222112221121)()( ezeyexZdtd

9、pYdtdpXdtdp例例 转动惯量分别为21mkg100J和22mkg80J的两个飞轮分别装在轴和轴上，齿数比为2321zz的两齿轮将转动从轴传到轴，如图 (a)所示。轴由静止开始以匀加速度转动，10秒后其角速度达到r/min1500。求需加在轴上的转动力矩及两轮间的切向压力P。已知cm101r，不计各齿轮和轴的转动惯量。3解：解：分别取轴和轴为研究对象，其受力如图（b）、（c）所示。分别建立两轴的转动微分方程111rPMJPP 121221zzrr122121zzJJM122112zzrJP211rad/s7.15tkN3 .28m,kN4 . 4PM该例题是应用动量矩定理解决已知系统的运

10、动求未知力的问题。222rPJ 第四节 质点系相对质心的动量矩定理ivrLiiOm图中C为质点系的质心，有iCirrriiiCOmv)rr (LiiiiiCmmvrvrCiimmvv iiiCm vrL质点系相对于固定点质点系相对于固定点O的动量矩与相对于质心的动量矩与相对于质心C的动量矩之的动量矩之间的关系间的关系 如图所示，质点系对于固定点O的矩为ir x y z质点系在相对动坐标系的运动中对质心的动量质点系在相对动坐标系的运动中对质心的动量矩与在绝对运动中对质心的动量矩之间的关系矩与在绝对运动中对质心的动量矩之间的关系由速度合成定理有对于质心C用绝对速度计算动量矩并不方便，通常引入固结于

11、质心的平动参考系，用相对此参考系的相对速度计算质点系对质心的动量矩。iCivvviiiCiiiCiiCmmmvrvr)vv(rL0vrvrCCCiimmCrLLC质点系在绝对运动中对质心的动量矩质点系在绝对运动中对质心的动量矩，等于质等于质系在相对质心平动系的运动中对质心的动量矩系在相对质心平动系的运动中对质心的动量矩。iiiCrm vrL0vrvrCCCiimmiiiCiiiCiiCmmmvrvr)vv(rLCCCCCCCCOmdtddtdmmdtddtddtdarLvrvrLLiiiCiiCiieOFrFrF)rr (FrM)()()(MRrarLeCeCCCCmdtd)(MLeCCdtd

12、质点系相对质心动量矩定理质点系相对质心动量矩定理CCOmLvrLC)(MLeCCdtd)(RaeCm质系相对质心的动量矩定理质系相对质心的动量矩定理：在相对随在相对随质心平动坐标系的运动中，质系对质心质心平动坐标系的运动中，质系对质心的动量矩对于时间的一阶导数，等于外的动量矩对于时间的一阶导数，等于外力系对质心的主矩。力系对质心的主矩。如将质系的运动分解为跟随质心的平动和相如将质系的运动分解为跟随质心的平动和相对质心的运动，则可分别用质心运动定理和对质心的运动，则可分别用质心运动定理和相对质心动量矩定理来建立这两种运动与外相对质心动量矩定理来建立这两种运动与外力系的关系。力系的关系。当外力系相

13、对质心的主矩为零时，质系相对当外力系相对质心的主矩为零时，质系相对质心的动量矩守恒。质心的动量矩守恒。质系相对质心的运动只与外力系对质心的主质系相对质心的运动只与外力系对质心的主矩有关，而与内力无关。矩有关，而与内力无关。讨 论第五节 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程刚体的平面运动可分解为跟随质心的平动和相对质心的转动。刚体在相对运动中对质心的动量矩为CiiCrJrmL)(2应用质心运动定理和相对质心动量矩定理得刚体平面运动微分方程例例4 半径为r、质量为m的均质圆轮沿水平直线纯滚动，如图所示。设轮的回转半径为 ，作用于圆轮上的力矩为M，圆轮与地面间的静摩擦系数为f。求（1）轮心的加速

14、度；（2）地面对圆轮的约束力；（3）在不滑动的条件下力矩M的最大值。C解解:圆轮的受力图如图所示。列写圆轮的平面运动微分方程，有FmaCxmgNmaCyFrMmC20CyaCxaa mgN CmaF 在纯滚动（即只滚不滑）的条件下，有raC欲使圆轮只滚动而不滑动，必须满足fNF fmgrMrC22于是得圆轮只滚不滑的条件为rrfmgMC22应用刚体平面运动微分方程，求解动力学的两类问题，除了列写微分方程外，还需写出补充的运动学方程或其他所需的方程CmaF FrMmC2)(22rmMraCC例例5 5均质圆轮半径为均质圆轮半径为r r，质量为，质量为mm，受到轻微扰动后，受到轻微扰动后，在半径为

15、在半径为R R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心C C的运动规的运动规律。律。 解：设角 以逆时针方向为正，取切线轴的正向如图，并设圆轮以顺时针转动为正，则图示瞬时刚体平面运动微分方程在自然轴上的投影式为CCmamgFmgFmasinsin将(a),(d)代入(c)得：)(sinemgrrmaraJCCC)()()(cos2dracFrJbmgFrRvmCCNC)(sinamamgFC（圆轮纯滚动）gaC23考虑到sin212mrJC取s为质心的弧坐标22,)(dtsdarRsCgaC

16、2302322srRgdtsd)(32),sin(20rRgtssnnnvssvvt000,:0,0得时trRggrRvs)(32sin2)( 30质心轨迹的运动方程：例例6 均质细杆AB，长l，重P，两端分别沿铅垂墙和水平面滑动，不计摩擦，如图所示。若杆在铅垂位置受干扰后，由静止状态沿铅垂面滑下，求杆在任意位置的角加速度。2、分析杆质心的运动，如图所示质心的坐标为cos2sin2lylxCCsin2cos2lylxCC解：解：1、杆在任意位置的受力图如图所示。sin2cos2cos2sin222 llyllxCC3列写杆的平面运动微分方程ACXllgPXxm)cos2sin2(,2 PYll

17、gPYymBC)sin2cos2(,2 cos2sin212),F(2lXlYlgPMJABCC sin2cos2lylxCCsin2sin2cos2412lPlYlXlgPBA sin23lg 欲求杆在任意瞬时的速度，应做如下的积分运算dd 00sin23dlgd任意瞬时的约束力)2cos3(sin43PXA杆脱离约束的条件为0AX由此得出杆脱离约束的位置4求解微分方程dlgdsin23)cos1 (32lg02cos32 .4832arccos第六节 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用 动能定理建立了质系的动能与作用于质系上的力的动能定理建立了质系的动能与作用于质系上的力的功之间的关系，

18、是标量形式的。功之间的关系，是标量形式的。 质系动力学普遍定理质系动力学普遍定理包括质系动量定理动量定理、质系动量矩定理质系动量矩定理、质系动能定理质系动能定理。它们以不同的形式建立了质系的运动与受力之间的关系。 动量定理和动量矩定理分别建立了质系动量和动量矩与质系所受外力系的主矢量和外力系的主矩之间的关系，它们是矢量形式的。例例 1 1一矿井提升设备如图所示。质量为m、回转半径为r的鼓轮装在固定轴O上，鼓轮上半径为r的轮上用钢索吊有一平衡重量m2g。鼓轮上半径为R的轮上用钢索牵引矿车，车重m1g。设车在倾角为的轨道上运动。如在鼓轮上作用一常力矩MO 。 求： （1）启动时矿车的加速度； （2

19、）两段钢索中的拉力；（3）鼓轮的轴承约束力。不计各处的摩擦及车轮的滚动摩阻。解解：1、以整个系统作为分析对象，该系统为具有理想约束的一个自由度系统。首先应用质系动能定理，解决已知主动力求运动的问题。建立质系的动能方程BAOOBAgsmgsmMJvmvm2122221sin0212121根据约束条件有以下运动学关系RrvrvABRrsrsABAOAsgmRgrmRMvRmRrmmsin21122222221上式两边对时间求导数，并消去 ，得矿车的加速度为AvRgmrmRmrmRmgMaOA2222121sin/2、求钢索拉力和鼓轮轴承约束力是已知运动求力的问题。分别以平衡重和鼓轮为分析对象，将钢索内力和约束力暴露出来，其受力图如图（b）、（c）所示。应用动量定理有ABTBaRrmamFgm222ATBaRrmgmF22 根据质系动量定理和动量矩定理列写鼓轮的动力学方程RFrFMRamTATBOA2mgFFFFFTBTAOyTAOxsin0cos0例 2 边长为 0.25m、质量为 m2.0kg 的均质平板绕 O 点转动，0 时，00。求45时，轴承 O 的反力。 解：