金融时间序列分析 第2部分 时间序列分析基础3 波动率模型

1、金融时间序列分析金融时间序列分析 陆贵斌2012年年10月月波动率模型波动率模型 （一）（一）问题的提出问题的提出 xt = xt-1 + ut 其中其中, , ut 为白噪声过程。为白噪声过程。计量经济学模型中计量经济学模型中的异方差的异方差通常通常属于递增型异方差属于递增型异方差,但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却不却不是是递增型异方差。递增型异方差。例如，例如，汇率，汇率，股票价格常常用随机游走描述股票价格常常用随机游走描述： 1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见下图年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见下图80

2、100120140160200400600800100012001400JPY (1995-2000)-8-6-4-20246200400600800100012001400D(JPY) (1995-2000)日元兑美元汇率序列日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000) 日元兑美元汇率差分序列（收益）日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY) 02468200400600800100012001400Volatility of returns0102030405060200400600800100012001400DJPY2收益绝对值序列收益绝对值序列 (1995-2000) D(JPY)

3、的平方的平方 (1995-2000) 这种序列的特征是：这种序列的特征是：（1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。 （2）按时间观察，表现出）按时间观察，表现出 “波动集群波动集群” （volatility clustering）特征，）特征， 方差在一定时段中比较小，而在另一时方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。段中比较大。（3）从取值的分布看表现的则是）从取值的分布看表现的则是 “高峰厚尾高峰厚尾” 特征，特征，（leptokurtosis and fat-tail）即均值附近与尾区的概率值比）即均值附近与尾区的概率

4、值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。 高高峰厚尾峰厚尾分布曲线分布曲线 正态分布正态分布曲线曲线 高高峰厚尾峰厚尾分布分布特征特征示意图示意图 显然现期方差与前期的显然现期方差与前期的“波动波动”有关系。有关系。自回归条件异方差模型自回归条件异方差模型（Engle 1982）通常有两类：通常有两类：1）用确定的函数来刻画异方差的演变，）用确定的函数来刻画异方差的演变，GARCH模型模型2）用随机方程来描述异方差。）用随机方程来描述异方差。随机波动率模型随机波动率模型 （二）自回归条件异方差模型（二）自回归条件异方差模型（ARCH模型）模型）(

5、Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model)一、模型的提出一、模型的提出考察一个考察一个AR(p)过程过程1122tttptptycyyy其中：其中： 是白噪声：是白噪声：t0,tE2,()0,tsstEelse 的条件期望是：的条件期望是：ty121122(,)tttttptpE y yycyyy 的无条件期望是：的无条件期望是：ty12()(1)tpE ycA. 的无条件期望是常数，但的无条件期望是常数，但 的条件期望却是随时的条件期望却是随时间而变化的。间而变化的。B. 的无条件方差是一常数的无条件方差是一常数 ，但，但 的条件

6、方差却的条件方差却可能随时间而变化。可能随时间而变化。一种方法是一种方法是将将 视为服从视为服从 AR(m) 过程过程。tytyt2t2t22221122tttmt mtcu 其中：其中： 是一新的白噪声：是一新的白噪声：tu0,tEu 2,()0,tsstE u uelse此时，此时，222212122221122(,)(,) ttttttttmt mEEc 即：即：212122221122(,)(,) ttttttttmt mVarEc 考虑考虑 k 变量回归模型（或变量回归模型（或AR(p)过程）过程）01 1ttkkttyxx满足满足121122201122()0,()()tttttt

7、tttqt qEVarEh 二、模型表达形式二、模型表达形式01212(1),0(2),1qq 其中：其中：则称则称 服从服从 q 阶自回归条件异方差过程。记为阶自回归条件异方差过程。记为t( )tARCH q保证条件方差为正数保证条件方差为正数平稳序列平稳序列101 1101 1()()tttkkttttkktE yExxxx均值方程均值方程 条件均值模型条件均值模型注意注意：1t表示表示 t 时刻之前可获得的信息集。时刻之前可获得的信息集。例例 ARCH(1)模型为模型为21011()tttthVar ARCH(q)过程的另一种表达方式过程的另一种表达方式01 1ttkkttyxxttth

8、 v22201122tttqt qh . .(0,1)i i dtvN2111()0,()()1ttttttE vE vVar v三、三、ARCH模型的性质模型的性质1、 的无条件均值和方差分别为的无条件均值和方差分别为t201( )0( )( ) 1tttEVarE21011()tttthVar ttth v主要讨论主要讨论ARCH(1)的性质的性质22122011011011( )()()()()()ttttttttVarEE EEhEEVar 2t因为因为 是平稳的，所以是平稳的，所以221101( )()()( )1ttttVarVarEVar显然要求显然要求1012、令、令221()

9、tttttthVar则则 是白噪声过程。是白噪声过程。t21221()()()0tttttttEEE VarEE E222122()()()() () ()0tstssstssttsststtsststsEE EEEEEhEEE EEEEst 这样这样22011ttttth 过程过程 的形式类似于的形式类似于AR(1)。过程过程 前后不相关，但过程前后不相关，但过程 却是前后相关的却是前后相关的（因而也（因而也是不独立的）。是不独立的）。2tt2t3、ARCH(1)模型的尾部特征模型的尾部特征42222211011()3 ()33()ttttttEEh 44221011222400111122

10、4001111() ()3 ()3 (2)32()()ttttttttEE EEEVarE 残差平方服从一个残差平方服从一个异方差的异方差的AR(1)过程过程随机变量之间不相关，只能说明它们之间没有线性关系，不能说随机变量之间不相关，只能说明它们之间没有线性关系，不能说明它们之间没有非线性关系。明它们之间没有非线性关系。422400012112241011240142111()32()13(12)3()13(1)(),(1)(13)(130)ttttEEEmE 4411()(),()()ttttEEVarVar4220112221102121()3(1)(1)()(1)(13)13313ttE

11、Var四、四、ARCH模型的建立模型的建立ARCH模型的建立的基本步骤模型的建立的基本步骤（1）建立时间序列的计量模型，去掉任何线性关系，）建立时间序列的计量模型，去掉任何线性关系， 对估计的残差检验对估计的残差检验ARCH效果；效果；（2）识别）识别ARCH模型的阶数，估计模型；模型的阶数，估计模型；（3）检验）检验ARCH模型，根据情况修改模型。模型，根据情况修改模型。1、建立收益率序列的计量模型，检验、建立收益率序列的计量模型，检验ARCH效果效果（1）选择条件均值模型并估计出参数）选择条件均值模型并估计出参数可以是回归模型可以是回归模型 或或ARMA模型模型tttyX( )( )ttB

12、 yB （2）计算出残差值）计算出残差值( )( )tttttByXyB或检验残差的平方检验残差的平方 是否存在自相关。是否存在自相关。2t检验序列相关常用的方法有检验序列相关常用的方法有：(a) D.W统计量检验统计量检验(b) QLB统计量检验统计量检验(c) 拉格朗日乘数检验拉格朗日乘数检验(LM检验检验)注意：注意： D.W统计量检验的不足统计量检验的不足1、仅仅检验残差序列是否存在一阶序列相关；、仅仅检验残差序列是否存在一阶序列相关；2、回归方程右边如果存在滞后因变量，、回归方程右边如果存在滞后因变量， D.W检验不再有效；检验不再有效；3、 D.W统计量的扰动项在原假设下依赖于系数

13、矩阵。统计量的扰动项在原假设下依赖于系数矩阵。 因此，因此，检验序列相关常用检验序列相关常用 QLB统计量检验或拉格朗日统计量检验或拉格朗日乘数检验乘数检验(LM检验检验)。QLB统计量统计量(Ljung-Box Q统计量统计量) 检验法检验法1、计算出残差值、计算出残差值( )( )tttttByXyB或2、计算出残差平方的均值、计算出残差平方的均值2211TttT3、计算出残差平方的样本自相关系数、计算出残差平方的样本自相关系数222212221()()()Ttt it iiTtt 4、计算、计算QLB统计量统计量21(2)piLBiQT TTiT为样本容量，为样本容量，p为设定的滞后阶数

14、。为设定的滞后阶数。原假设原假设H0：序列不存在：序列不存在p阶自相关；阶自相关；备选假设：备选假设：H1为序列存在为序列存在p阶自相关。阶自相关。221(2)( )piLBiQT TpTi近似当当12( )LBQp时时拒绝原假设拒绝原假设H0拉格朗日乘数检验拉格朗日乘数检验(LM检验检验)法法1、使用最小二乘法估计最适当的、使用最小二乘法估计最适当的AR(n)模型模型01122tttnt ntyyyy2、计算出残差值、计算出残差值 ，进行下面的回归分析，进行下面的回归分析t222201122tttptptu 3、零假设、零假设012:0pH备择假设备择假设112:,pH 不全为零。不全为零。

15、（不存在（不存在ARCH 效果）效果）4、检验统计量：、检验统计量：LM=T R2其中，其中，T为回归式的样本容量，为回归式的样本容量，R2为拟合优度为拟合优度21ESSRSSRTSSTSS 6、判别法则：、判别法则：若若LM 2 (p)，接受，接受H1（说明残差是（说明残差是ARCH过程）。过程）。5、统计量、统计量LM的分布的分布在零假设成立的条件下，统计量在零假设成立的条件下，统计量LM近似服从近似服从2( )p2、识别、识别ARCH模型的阶数，估计模型模型的阶数，估计模型阶数识别：阶数识别：可以分析时间序列可以分析时间序列 的自相关函数和的自相关函数和偏自相关函数。也可以使用偏自相关函

16、数。也可以使用AIC或或BIC准则来确定序准则来确定序列适当的滞后长度。列适当的滞后长度。 2t参数估计：参数估计：一般使用极大似然法估计：一般使用极大似然法估计：21111( ,)exp22TtTptpttfhh 为了简单，可以使用条件似然函数：为了简单，可以使用条件似然函数：21111( ,)exp( ,)22TtTptpttffhh 3、检验、检验ARCH模型模型对于对于ARCH模型，把残差标准化模型，把残差标准化tttvh则则 应该是正态白噪声序列。所以应该是正态白噪声序列。所以（1） Ljung-Box Q 统计量检验序列是否存在自相关，统计量检验序列是否存在自相关，（2）利用）利用

17、 JB检验检验 或或 Q-Q 图检验序列的正态性图检验序列的正态性 tv 此时，此时， 各期之间是独立的，因而不可能各期之间是独立的，因而不可能ARCH存在效果。存在效果。 也可以直接对也可以直接对ARCH模型的残差进行模型的残差进行ARCH检验。检验。 tv（三）（三）GARCH模型模型一、一、ARCH(q)模型的缺点模型的缺点1、当、当 q 较大时，参数估计很难做到精确较大时，参数估计很难做到精确2、为了保证条件方差为正，参数要求为正。、为了保证条件方差为正，参数要求为正。 当参数过多时，用实际数据估计出的模型往往不能满足当参数过多时，用实际数据估计出的模型往往不能满足 这一要求，从而，模

18、型不具实用性。这一要求，从而，模型不具实用性。3、ARCH模型会高估波动率。模型会高估波动率。二、二、GARCH模型的定义模型的定义01 1ttkkttyxx考虑考虑 k 变量回归模型变量回归模型满足满足12( ,)ttttyf t yy称称( , )tGARCH q p121011()0()ttqptttit ijtjijEVarhh 注：注：GARCH模型的优点在于可用低阶模型的优点在于可用低阶GARCH模型来模型来代表高阶的代表高阶的ARCH模型，从而使模型的识别和估计都变模型，从而使模型的识别和估计都变得比较容易。得比较容易。例如，用例如，用GARCH（1，1）拟合）拟合 的变化特征与

19、用的变化特征与用ARCH（20）拟合相比较，两者的效果十分相近。）拟合相比较，两者的效果十分相近。tARCH项系数项系数GARCH项系项系数数三、三、GARCH模型的另一种定义模型的另一种定义01 1ttkkttyxx若若ttth v2011qptit ijtjijhh . .(0,1)i i dtvN则称则称( , )tGARCH q p四、四、GARCH模型的性质模型的性质1、当、当p=0时，时，GARCH过程变为过程变为ARCH过程。过程。2、 GARCH过程的含义是过程的含义是 条件方差条件方差 ht 是是 ht-1, ,ht-p 和和1,tt q 的函数。的函数。3、参数、参数 是保

20、证条件方差为正的充分条件。是保证条件方差为正的充分条件。4、若、若则则5、 的平稳性条件为的平稳性条件为 0(1,2, ),0(1,2, )iiiqip( , ),tGARCH q p2( , ),max,tARMA p r rp q 2t111,qp这时这时 也是宽平稳的。也是宽平稳的。t五、五、GARCH(1,1)模型模型2、GARCH(1,1) 的条件方差和无条件方差的条件方差和无条件方差条件方差是条件方差是 ht ，通过对上式两边取期望可得无条件方差通过对上式两边取期望可得无条件方差ttth v2011111111, (0,0,1)ttthh 10()ttttEVarh20111ttD

21、E1、大的、大的 会紧跟着另一个大的会紧跟着另一个大的 ，这样就会产生，这样就会产生在金融时间序列中有名的波动率聚类现象。在金融时间序列中有名的波动率聚类现象。21t2t3、GARCH(1,1)模型与模型与ARCH模型的关系模型的关系 把把GARCH(1,1)过程递推展开，等价于一个过程递推展开，等价于一个ARCH()。( , ),tGARCH q p4、若、若 则则2( , ),max,tARMA p rrp q例如例如(1,2),tGARCH20112211tttthhh 即即上式两边加上上式两边加上 得，得，2t2220112211tttttthhh 222011221122222201

22、1122211221122222011122211122()()()() ()ttttttttttttttttttttthhhhhhh 所以所以222011122222211122()()()ttttttttthhh 令令2,ttthw则则 是白噪声，且是白噪声，且 2220112211122()ttttttwww tw即即2(2,2),tARMA5、GARCH(1,1) 模型的尾部特征模型的尾部特征可以证明：当可以证明：当 时，时， 221111 2()04211222111()1()33()1()2ttEVar因此，因此， GARCH(1,1) 模型的尾部比正态分布的尾部厚。模型的尾部比正

23、态分布的尾部厚。特别，当特别，当 时，时，1042()3()ttEVar说明系数说明系数 在决定在决定 的尾部行为时起关键作用。若的尾部行为时起关键作用。若1t10则则 的尾部行为与正态噪声相似，若的尾部行为与正态噪声相似，若 ，则，则 有厚尾性。有厚尾性。10tt向前多步预测：向前多步预测：011( )()(1),2TTh kh kk事实上，因为事实上，因为22ttthv21011201120111()(1)ttttttttthhhvhhh v 注意到，注意到，21(1)0ttE v所以所以T时向前时向前k步预测为：步预测为：011( )()(1)TTh kh k21011(1)TTTThh

24、h 向前一步预测：向前一步预测：6、 GARCH(1,1) 模型的预测模型的预测011( )( ),()1Tth kVark 反复迭代可得反复迭代可得11011111 ()( )()(1)1kkTTh kh当当 时有时有111非对称模型非对称模型 资产的收益率和波动性存在一个特点资产的收益率和波动性存在一个特点不对称性，收益不对称性，收益率上升时，波动性较小，收益率下降时，波动性较大。率上升时，波动性较小，收益率下降时，波动性较大。一、一、TARCH模型模型(门限门限ARCH模型模型)ttth v222011111ttptptqt qthhhS 其中其中 是一个虚拟变量，是一个虚拟变量，S11

25、1,00,0ttS上式表明：好消息上式表明：好消息 和坏消息和坏消息 对对条件方差的有不同的影响。条件方差的有不同的影响。1(0)t1(0)t例：例： 估计估计1995.1.2-2001.12.31沪市每日股票价格收盘指数沪市每日股票价格收盘指数的的TARCH模型。模型。均值方程：均值方程：1ln()1.000024ln()tttspsp方差方程：方差方程：6221112.57 100.070.0630.909tttthShARCH(1)GARCH(1)RESID*ARCH(1)二、二、EGARCH模型模型 (指数指数GARCH模型模型)ttth v01110111ln( )ln()ln() ln()ln() ttptpqit it iit iitptpqt it it iiiit it it ihhhvE vg vhhEghhh在条件方差在条件方差 ht 中引入了参数中引入了参数 gi ，使得，使得 ht 在冲击在冲击 vt 取正、负值时取正、负值时有不同程度的变化，从而可以描述冲击对价格波动的非对称影响。有不同程度的变化，从而可以描述冲击对价格波动的非对称影响。在在Eviews中，条件方差方程为：中，条件方差方程为：11111ln( )ln()tttttthchhh例：例： 估计估计1995.1.2-2001.12.31沪市每日股