关于高等数学上册复习归纳

1、高等数学(上册)复习资料一：函数的两个要素：定义域对应法则1两个函数相同：(1)定义域相同(2)对应法则相同至于自变量与因变量用什么符合来表示无所谓。例如：y=sinx-g<x<u=sint-<t<也是同一个函数。2函数的几种特性(1)有界性y=f(x)xwD如果存在实数k1,使得f(x)<k1,则称f(x)在D上有上界如果存在实数k2,使得f(x)之匕，则称f(x)在D上有下界。有界：既有上界,又有下界。即存在实数ki,k2使得k2Wf(x)ki等价于存在k>0,使得|f(x)EkxWD(2)单调性若对区间I内任意两点x1<x2,都有f(x1)<

2、;(>)f(x2),则称y=f(x)在I内单调增加(减少)。若将“EQ)”改成“<(>)”称为严格单调增加(减少)。(3)奇偶性设函数y=f(x)的定义域关于原点对称如果f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数如果f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数(4)周期性若f(x+l)=f(x)则称f(x)是以l为周期的函数注：周期通常指的是它的最小正周期3复合函数设y=f(u)的定义域为Di,又u=g(x)的定义域为D,且g(D)UDi,则函数y=flg(x)】xD称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数。u称为中间变量，记为：(f!)g)(x)=fb(x)4

3、基本初等函数：(1)幕函数y=xN(2)指数函数y=ax(a>0,a*1)(3)对数函数y=logax特例a=e,y=lnx(4)三角函数y=sinx,y=cosx等(5) 反三角函数y=arcsinx,y=arccosx等5初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到的并可以用一个式子表示的函数。'x+1xE0.例：f(x)=«2两个式子，故不是初等函数-x21x06函数的极限当xt8时，若f(x)无限地接近于某个确定的数A,则称A为f(x)当xt笛时的极限。记为limf(x)=Ax-E二重要结论：limf(x)=Aulimf(x)=limf(

4、x)=Ax承：xJ二x_；_:：limf(x)=A的几何意义:x.y = A是他的水平渐近线 例如:lim - = 0xT： xlim f(x) = A lim f(x) = B 而x J ： .x J二二A,B ,则说明它有两条渐近线。例如:两条渐近线。limarctanx,y=，y=一一x：二22当xTxo时，如果f(x)无限地接近于某一确定的常数A,则称A为f(x)当xTXo时的极限记为：limf(x)=Ax及注：(1)f(x)在Xo处的极限存在与否与f(x)在x=x0处有无定义没有关系。因为定义中没有要求x=x0,只是XTx0(2)x趋近于xo的方式是任意的。(即可以从左边，也可以从右

5、边)左极限：当x从左边趋近于Xo(记为：XTXo-)时，f(x)TA,则称A为f(x)当XTx0时的左极限。记为:右极限：lim,f(x)=Axxo即左右极限存在且相等lim f(x) = A 或 f(xQ=Axx0-若："xQ¥Mx#，则limf(x)不存在x,x07无穷小量定义：以0为极限的变量称为无穷小(量)定义：当XTX。(或XT®)时，对应的函数值的绝对值|f(X)|无限增大注意无穷大是一种特殊的无界变量，但无界变量不一定是无穷大无穷大的几何意义：limf(x)=o,直线x=xo是函数y=f(x)图形的铅直渐近线(回忆水平渐近线XT。定理二：在自变量的同

6、一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则,为无穷小；反之，f(x)1如果f(x)为无穷小，且f(x)=0,则，为无穷大。f(x)无穷小的性质：定理三：有限个无穷小的和仍是无穷小定理二：有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论：(1)有极限的量与无穷小的量的乘积是无穷小。(有极限;有界)(2)常数与无穷小量的乘积是无穷小(3)有限个无穷小量的乘积也是无穷小8无穷小的比较定义：设“，P都是无穷小(1)若lim-=0,则称P是比“高阶的无穷小,记为：0=0(«)aP(2)若lim=8,则称P是比s低阶的无穷小ap(3)若lim=c#0,则称P与口是同阶无穷小aB(4)若lim=1,则称P与口是等价

7、无穷小,记为：aPa最重要是等价无穷小，关于等价无穷小，我们要记住以下结论当xt0时，sinxx,tanxx,ln(1+x)x,ex-1x,arcsinxx,arctanxx,cT.1.12V1+x-1x,1-cosxx,a-1xlna,(1+x)a-1«xn2注意其引申sinkxkx,tankxkx即上面的无穷小可换成其他无穷小,一一，1定理一':设口口,BP，且lim存在，则a9函数的连续性定义：设函数y=f(x)在点X0的某一邻域内有定义,如果limy=贬f(x0+Ax)f(x0)=0,则称y=f(x)在点x0处连续。强调：Axt0包含ix>0,Axt0;ix&l

8、t;0，&xt0记：x0十Ax=x,贝UAy=f(x0+Ax)f(x0)=f(x)f(x0)xt0相当于xtx0yT0相当于f(x)Tf(x0)由此，我们得到连续的另一个等价定义定义2:设y=f(x)在点xO的某一邻域内有定义，如果limf(x)=f(x°)，则称y=f(x)在xJx0点x0处连续。即：在x。处的极限等于它在该点的函数值与左、右极限相对应，也有左、右连续的概念xxc-若 limy = 0若2m)-"=0，即Jimf(x)=f(x°),则称f(x)在点x0处左连续,即limf(x)=f(x°),则称f(x)在点x0处右连续xx0-y

9、=f(x)在点x0处连续。左右都连续f(x) = f(x0)limf(x)=lim.'j0-JJ0若函数y=f(x)在点处不连续，则称y=f(x)在点x0处间断。x0称为y=f(x)的间断点。(1)可去间断点极限limf(x)存在，但y=f(x)在点x0处无定义或y=f(x)在点x0处有定义，但xx0limf(x)#fx0)。则称xO为f(x)的可去间断点。X%(2)跳跃间断点若limf(x)与limj(x)存在，但limf(x)lim.f(x)x网一xx)x%-x%.可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点。第一类间断点的特点是左右极限都存在。第一类间断点以外的间断点称为第二类间断点

10、。特点：是至少有一个单侧极限不存在。常见的有无穷间断点。特点：至少有一个单侧极限为无穷大。一切初等函数在其定义区间内是连续的10函数的导数定义：设函数y=f(x)在点x0处的某个邻域U(%)内有定义，给以增量Ax(Ax /0 ,(X0 +Ax) EU (X0)仍然在该邻域内)，若肥0?=翦f(X0 +&x)f(Xo)存在。则LX称f(x)在X0处可导。并称这个极限值为f(x)在X0处的导数。记为：fx),ym,df(x)dy即一、f风十fd),即f(x)=limdxx±dXx33Ax关于导数的几点说明：(1)导数反映因变量关于自变量的变化率，即反映了因变量随自变量的变化而变化

11、的快慢程度。(2)令x0+Ax=x，当Axt0时XTX0等价定义f(X0)=limf(x)-f(X0)x加X-x0(1)若定义中极限不存在，则称f(X)在X0处不可导。在不可导中有一个特殊情形。当她F=g,则称f(x)在x0处的导数为无穷大。(2)如果函数y=f(x)在开区间I内的每一点处都可导，就称函数y=f(x)在开区间I内可导。(3)对于任一个XWI，都对应着f(x)的一个确定的导数值，XTf'(x)。这个函数叫做原来函数f(x)的导函数。记作：V,f'(x) dx或整y=limf(x，x)-f(x).xQX注：(1)导函数f'(x)简称为导数(2)r(x0)=r

12、(x)x.(6)单侧导数1、左导数2、右导数f(X0)存在uf&X。)=f+(X0)(7)如果f(x)在开区间(a,b)内可导，且匚(b)及fb)都存在，就说f(x)在闭区间Ia,b±可导。函数f(x)在点X0处的导数f'(X0)的几何意义就是曲线y=f(x)在对应点A(x0,y0)处的切线的斜率。于是：曲线y=f(x)在点A(x0,y°)处的切线方程可写成：(1)f(Xo)存在，则切线方程：y-yo=f(xo)(x-xo)1法线方程：y_y0=_(X-X0)f(Xo)(2)若(x°)=g切线方程：x=xo法线方程：y=y0定理：若f(x)在入处可

13、导。则f(x)在处必连续连续但不可导的例子：y=x在x=0处lim|x=0=f(0)所以连续，但不可导注：若不连续，则一定不可导11函数的微分定义：设函数y=f(x)在某区间内有定义，在x=xo处给自变量以增量Ax,如果相应的函数的增量X总能表示为：Ay=AAx+o(Ax),其中A与Ax无关，o(Ax)是Ax的高阶无穷小。则称函数y=f(x)在点x0处可微。并称Ax为f(x)在点x0处的微分。记作：dy或df(x)即：dy=AAxA称为微分系数。定理：函数y=f(x)在x0处可微u函数y=f(x)在x0处可导我们得到函数的可微性与可导性是等价的。(可微仁可导)。函数在x处的微分dy=f(x)d

14、x12函数的不定积分定义1设函数F(x)在某区间I上可导，且VxI有F'(x)=f(x),则称F(x)为函数f(x)在区间I上的一个原函数.定理1设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则F(x)+C(C为任意常数)为f(x)的全体原函数.定义设函数f(x)在区间I上有定义，称f(x)在区间I上的原函数的全体为f(x)在I上的不定积分，.记作Jf(x)dx,其中记号“”称为积分号，f(x)称为被积函数.，x称为积分变量.定理1设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则f(x)dx=F(x)+C,C为任意常数.强调：c不能丢，F(x)仅是一个原函数，不定积分是原函数的全体。通常，

15、我们把f(x)在区间I上的原函数的图形称为f(x)的积分曲线，不定积分的性质(1) fctf(x)+Pg(x)dx=o(jf(x)dx+Pjg(x)dx,其中a,B为常数；(2) f(x)dx=f(x);dx(3)广<x)dx=f(x)+C,C为任意常数.13函数的定积分定义设函数f(x在区间a,b上有界，今取n+1个分点：a=xo<xi<x2<<xi?<xi<<xnT1<xn=b,将a,b分成n个小区间x2,x,其长度记为Ax=xi?x?(i=1,2,，n),并令人=maxtx.',i上n若ViCxi卯,xi(i=1,2,，n),

16、极限limZf(i)Axi-0y存在，且该极限值与对区间a,b的分划及目的取法无关，则称f(x)在a,bb上可积，且称该极限值为f(x)在a,b上的定积分，记为f(x)dx,其中，f(x)称为a被一积函数”x称为积分变量da和b分别称为积分下限和上限一a,b称为积分.区间,ZfiM(")Axi称为积分和.一、/汪忠：(1) 定积分是一个和式的极限，它是一个数。和式很复杂，区间的分法无穷多，点的取法也无穷多。但是，极限与取法、分法无关。(2) 定积分由被积函数f(x)与积分区间la,b确定,与积分变量无关。即bbbf(x)dx=f(t)dtfUdouaaa(3) 曲边梯形的面积A=Jf

17、(x)dx1a(4) 当被积函数在积分区间上包等于1时，其积分值即为积分区间长度，即bf(x)dx=b：a；a(5) 可积条件为方便起见，我们用R(a,b)表示区间a,b上所有可积函数的集合，可以证明：(1)若f(x)CC(a,b),则f(x)CR(a,b)；(2)若f(x)为a,b上的单调有界函数，则f(x)R(a,b);(3)若f(x)在a,b上仅有有限个第一类间断点，则f(x)R(a,b).定积分的几何意义：b(1) f(x)>0,ff(x)dx=S图ab(2) f(x)<0,Jf(x)dx=S图a(3) f(x)在la,b】上有正有负图b£f(x)dx=§

18、;-S2+与面积的代数和总之，若f(x)CC(a,b),则定积分J：f(x)dx的几何意义是表示由x轴、曲线y=f(x)、直线x=a与x=b所围成的各部分图形面积的代数和，其中位于x轴上方的图形面积取正号，位于x轴下方的图形面积取负号.定积分的性质(1)当a=b时，ff(x)dx=O;.ba(2)当a>b时，ff(x)dx=?f(x)dxa-b积分中值定理)设f(x)C(a,b),则三己Ca,b,使得bff(x)dx=f(己)(b?a).a设f(x)C(a,b),F(x)是f(x)在a,b上的一个原函数，则bf(x)dx=F(b)?F(a).a要掌握的具体内容：如何求极限；如何求导数与微

19、分如何求不定积分与定积分导数和定积分的应用一如何求极限求极限的方法(1)约去零因子法(适用于xtxo时的0型)0(2)无穷小因子分出法(适用于xTg时的二型)QO当xtg时有理分式的极限为(3)有理化(适用于含有根式的极限)(4)通分(适用于比型)(5)利用两个重要极限1第一个重要极限1而处=1X0x这个极限的特点：sin x(1)0型(2)0x推广：1而sinu(x)=1,其中u(x)是x的该变化过程中的无穷小某过程u(x)2第二个重要极限1Vlim(1+)x=e(e是无理数，e=2.71828|)x-x几种变形有如下特点：(1)产型(2)加号上的量与肩膀上的量互为倒数1推广：若limu(x

20、)=o,贝Ulim1+=e!u(x).1若limu(x)=0,lim1+u(x)词=e(6)等价无穷小替换当xt0时，sinxx,tanxx,ln(1+x)x,ex-1x,arcsinxx,arctanxx,n,1/12xJ1+x1x,1cosxx,a-1xlna,(1十x)1uxn2注意其引申sinkxkx,tankxkx即上面的无穷小可换成其他无穷小,一一：定理一：设uu,口B,且lim)存在，则a强调：乘积时才用等价无穷小代替,即被替换的无穷小必须处于,在加减中不能代替 乘积因子位置例：limx 0tanx-sinx3sinx原式=limW=0错在加减中不要替换xQx(7)利用无穷小的性

21、质(定理二：有界函数与无穷小的乘积是无穷小)(8)利用左右极限与极限的关系(适用于分段函数在分段点处的极限)(9)连续性的定义(设连续函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，则limf(x)=f(%)x%(10)洛必达法则0型，一型直接使用法则，008型，将其中的一个倒下来，化成0型或二型，再使用法则。0g-0c型，通分后化成0型，再使用法则。01的00产0型，化成以e为底的指数，或取对数后化成08以上10种方法中，特别要注意洛必达法则与重要极限，无穷小替换，相结合二如何求导数(1)基本求导公式求导公式：(1)(c) =0(2)(3)(ax)' = axlna特例:(ex) , =

22、ex(4)(lOga X)xln a特例:,1(ln x) ,(lnxx)' x(5)(sin x) = cosx(cos x) = -sin x(6)(arcsin x)=1 -x2(arccosx)=11 一 x2(2)求导的四则运算法则:(当二vu v -uv(v=0)(cu)'=cu' c为常数(*")，=叫"特例：(x)'=1,(7xy=,()'=-72“xxx(3)复合函数的求导法则定理三：如果u=g(x)在点x处可导，而y=f(u)在点u=g(x)处可导，则复合函数y=flg(x)】在点x处可导，且其导数为:dy dy

23、du .二或dxdu dxy = f (u) g (x)链式法则dy dx du函数对x的导数电：f(u)又tu的导数 duu =g(x)对x求导dx复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。(4)参数方程的求导法x (t)若参数方程? m(t)确定y与x之间的函数关系，称此为由参数方程所确定的函数。 y ='(t)dy求导公式 处=?=乎)y又tt的导数比上x对t的导数dxdx(t)dtd29二阶导数d_y = _dt巫 dx2 dxdt(5) 隐含数的求导法 什么叫隐含数？电对t的导数比上x对t的导数 dx定义：由方程所确定的函数y = f (x)称为隐函

24、数隐函数的求导法则：用复合函数的求导法则直接对方程两边求导(6)对数求导法：先两边取对数，然后按照隐函数的求导方法求导。适用范围：(1)幕指函数u(x)v(x)(2)多个函数相乘或还有开方的情况(7)变限函数的求导,dx.(x)=(f(t)dt)=f(x)dxadu(x)一ff(t)dt=f(u(x)u'(x)?f(v(x)v'(x).dxMM(8)如何求微分dy=f'(x)dx先求出函数的导数，则dy=f（x）dx千万不要忘记写dx三如何求积分基本积分公式Jkdx=kx+C（k为常数），xadx=xa1+C（aw二1）,a1特别地：jdx=-l+cdx=2>/x

25、+cxx.x1-f-dx=lnIx|+C（xw0）,xexdx=ex+C,v1adx=a+C（a>0且aw1）,Inacosxdx=sinx+C,飞sinxdx=：cosx+C,Dsec2xdx=tanx+C,9csc2xdx=二cotx+C,secxtanxdx=secx+C,Ocscxcotxdx=二cscx+C,1dx=arcsinx+C,.1-x21,Odx=arctanxc1x2积分的方法一，分项积分jkf(x)+Pg(x)dx=aJf(x)dx+PJg(x)dx,其中a,B为常数;bb.bLf(x)-,g(x)dx="f(x)dx-g(x)dxaaa换元法第一换元法

26、(凑微分)f(1-(x),-(x)dx=f(1-(x)d,-(x)u=1-(x)f(u)du=F(u)cu=中(x)F(巾(x)+C.(注意：中间的换元过程可省略。)第二换元对于定积分的第二换元法要注意：(1)换元必换限(2)当a<b时,不一定有a<P,但下限一定要对应下限，上限一定要对应上限(3)a邛选取可能不唯一,原则上：不自找麻烦"口-再越小越好三分部积分注意：1将谁看成v'2回归法对于定积分还有三个要注意的地方一，分段函数的定积分如果积分区间包含了被积函数的分段点，则利用积分对区间的可加性，分成几个定积分的和例:f(x)=，1 +x26 ,x : 0x -

27、01,计算 L,(x)dxf (x)dx = -1-1001f (x)dx-f (x)dx = J1 x )dx - i edx解:0=(x +-x3)+ (通 T)例：f(x)=解：因为f(x)=4x1,x_-1;-x-1,x-1(1)定义二奇零偶倍广义积分无穷积分tf(x)dx=limf(x)dxtl：-1a0若广义积分ff(x)dx与-f(x)dx都收敛，则-f(x)dx收敛，且定义为这两个广义积分一二：0之和。limf(x)dxlimf(x)dxt：-ttr二二0计算(2)定义f(x)dx=F(x)a=limF(x)-F(a)瑕积分bt:若x=b为f(x)的瑕点，则ff(x)dx=li

28、mff(x)dxat_b-'abb若x=a为f(x)的瑕点，则af(x)dx=tlim+f(x)dx若*=cw(a,b)为f(x)的瑕点，则f(x)dx=limff(x)dx十limJf(x)dxat.c_at_c't计算：,一，bb若x=b为f(x)的瑕点，则ff(x)dx=F(x)=limF(x)-F(a)Laa一bb若x=a为f(x)的瑕点,则ff(x)dx=F(x).=F(b)lim,F(x)a、/a若*=cW(a,b)为f(x)的瑕点，则bcbcbff(x)dx=Jf(x)dx+Jf(x)dx=F(x)+F(x)aacu=limF(x)-F(a)+F(b)-limF(

29、x)xc-x)c四应用题(一)求曲线的切线，法线(二)求极值，单调区间，拐点，凹凸区间，最大值，最小值。确定函数单调区间，极值的步骤为：(1)写出定义域(2)找出驻点和导数不存在的点，将定义域进行划分。(3)判断各区间导数的符号，并判断单调性，。(4)写出单调区问，求出各极值点的函数值，即得全部极值。判断凹凸区间，曲线拐点的步骤：(1)写出定义域，求f”(x)(2)令f"(x)=0，解出实根，并找出二阶导数不存在的点，将定义域进行划分对每一点X0,考察f”(x)在刈的左、右两侧的符号。写出凹凸区间，若左、右两侧符号相反，则(X。，f(X。)为拐点，否则不是。求最值的步骤：(1)在b,b内找出驻点和不可导点，x1,x2|川|xn(2)计算f(xi)及f(a),f(b)(3)从这些值中找出最大值、最小值(三)与中值定理有关的证明题(四)利用单调性证明不等式(五)关于闭区间上连续函数性质的证明题(六)求平面图形的面积记住：被积函数是上面的函数减下面的函数。