椭圆与双曲线常见题型归纳

1、椭圆与双曲线常见题型归纳一 .“曲线方程 +直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解1. 向量综合型例 1. 在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点 (0, 3),(0,3) 的距离之和为 4，设点 P 的轨迹为 C , 直线y kx 1 与 C 交于 A, B 两点。 （）写出 C 的方程 ;uuuruuur（）若 OAOB ，求 k 的值。例 2设 F1 、F2 分别是椭圆 x2y 2uuuruuuur1的左、右焦点 . （）若 P 是该椭圆上的一个动点， 求 PF1PF24的最大值和最小值 ; （）设过定点 M ( 0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点A 、 B ，且 AO

2、B为锐角（其中 O 为坐标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围2例 3 设 F1 、 F2 分别是椭圆 xy 21的左、右焦点， B(0, 1) （）若 P 是该椭圆上的一个动点，4uuuruuuur求 PF1 PF2 的最大值和最小值 ; （）若 C为椭圆上异于B 一点，且 BF1CF1 ，求的值；（）设 P 是该椭圆上的一个动点，求PBF1 的周长的最大值 .例 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为 ( 3,0)4(1) 求双曲线 C 的方程； (2)若直线 l ： ykx2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点A和 B，且OA OB2 ( 其中 O为原点 ) ，求 k

3、 的取值范围。例 5已知椭圆 x2y2（ ）的离心率 e6 ，过点（ ， ）的直线与原点a 2b2a b 03A（0，- b）和 B a 0的距离为3（ ）求椭圆的方程（ ）已知定点 E（-1， ），若直线 ykx （k ）与椭圆交于212020C、D两点问：是否存在k 的值，使以 CD为直径的圆过 E 点 ?请说明理由2“中点弦型”例 6. 已知椭圆 x2y21 ，试确定 m 的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线y 4x m 对称。43例 7. 已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率 e3，焦距为 2 3（I ）求该双曲线方程 . （II ）是否定存在过点 P (1 ，1）的直

4、线 l 与该双曲线交于 A ， B 两点，且点 P 是线段 AB 的中点？若存在，请求出直线 l 的方程，若不存在，说明理由 .例 已知椭圆的中心在原点，焦点为 F1 (0，2 2)，F2（，22 ），且离心率 e2 2 。803（ I ）求椭圆的方程；（II ）直线 l （与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段 AB中点的横坐标为1 ，求直线 l 倾斜角的取值范围。23“弦长型”例 9直线 ykx b 与椭圆 x2y21交于、两点，记的面积为4A BAOBS(I) 求在 k 0，0b1 的条件下， S 的最大值；（ ) 当 AB 2， S 1 时，求直线 AB的方程yAOxBur

5、rurr例 已知向量 m1= （0，x）， n1（ ， ）， m2=（x ， ）， n2 （y2， ）（其中 x，y 是实数），又10= 1 10=1ur urrrurrurrC.（）求曲线 C设向量 m = m1 + 2n2 ， n =m22 n1 ，且 m /n ，点 P（x，y）的轨迹为曲线的方程；（）设直线 l : ykx1与曲线 C交于M、 N两点，当|MN 42 时，求直线 l 的方程.|=3.二“基本性质型”例 11设双曲线C1 的方程为x2y21(a0, b 0)， 、为其左、右两个顶点，P是双曲线C1上的a2b2A B任一点，引 QB PB, QAPA ， AQ与 BQ相交于

6、点 Q。（ 1）求 Q点的轨迹方程；（ 2）设（ 1）中所求轨迹为 C2 ， C1 、 C2 的离心率分别为 e1 、 e2 ，当 e12 时，求 e2 的取值范围。例 12 P 为椭圆 x 2y 2上一点， F、 F为左右焦点，若FPF260112125 9（ 1）求 F1 PF 2 的面积；（2）求 P 点的坐标2 2例 13已知双曲线与椭圆 x y 1共焦点，且以 y 4x 为渐近线，求双曲线方程49243例 14. k 代表实数，讨论方程kx22 y280 所表示的曲线 .例 1.解 :（）设 P（ x，y），由椭圆定义可知， 点 P的轨迹 C是以 (0，3)，(0， 3)为焦点， 长

7、半轴为2 的椭圆 它的短半轴b22( 3)21 ，故曲线C 的方程为x2y21 （）设A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，其坐标满足42y2，x41 消去 y 并整理得 (k 24) x22kx30 ，故 xx22k， x x231k241k24ykx1.uuuruuurk 2 x1x2若 OAOB ，即 x1x2y1 y20 而 y1 y2k ( x1x2 ) 1，于是 x1 x2y1 y233k 242k 210 ，化简得4k210 ，所以 k1k24k 2k242例 2解：（）解法一：易知a2, b 1,c3 ，所以 F13,0, F23,0，设 P x, y，则uuuru

8、uuurx2y2x2x213x2PF1PF23x,y ,3x,y3138因为 x2,2，故当44uuuruuuur2当 x2，即点 P 为椭圆长轴端点时，uuuruuuurx0，即点 P 为椭圆短轴端点时，PF1PF2有最小值PF1PF2 有最大值 1解法二：易知 a2, b1,c3，所以 F13,0, F23,0，设 Px, y，则uuur2uuuur2uuuur 2uuuruuuuruuuruuuurcosF1PF 2uuuruuuurPF 1PF 2uuuurF1 F2PF 1PF 2PF 1PF 2PF 1PF 2uuur2 PF1PF 21x32x2y2 12x2y3 （以下同解法一

9、）y 2322（）显然直线x0不满足题设条件，可设直线l : ykx2, Ax1 , y2 , B x2, y2，联立ykx2x2y2，14消去 y ，整理得：k 21x24kx30 x1x24k, x1x2314k21k24424 k 134k230得： k3或 k3又 00A0B900cos A0B0uuur uuur由4kOA OB 0，422uuuruuur2 k 2 x1x23k28k2 OA OB x1 x2y1 y2 0又 y1y2kx12 kx22k x1x244k21k 2144.k 21 3k210 ，即 k 242 k2，故由、得2k3或3k 2k21212122kk44

10、4例 3解：（）易知 a2, b1,c3 ，所以 F13,0, F23,0, 设 Px, y, 则uuur uuuurx2y23 x2 1x21 3x2PF1 PF23 x, y , 3 x, y38uuur44因为 x2,2，故当 x0 ，即点 P 为椭圆短轴端点时，uuuur2PF1PF2 有最小值当uuur uuuurx 2 ，即点 P 为椭圆长轴端点时， PF1 PF2 有最大值 1（）设 C（ x 0， y0）， B(0,1) F13,0由 BF1CF1 得3(1), y01x02y021267 0x0，又4所以有解得7(10舍去) （）因为|PF1| |PB| 4 |PF2| |P

11、B| 4 |BF 2| PBF1 周长 4|BF 2| |B F1 | 8所以当 P 点位于直线BF2 与椭圆的交点处时，PBF1 周长最大，最大值为 8例 4解：（） 设双曲线方程为x2y21(a 0,b0). 由已知得 a3, c 2, 再由 a 2b 222 ,得 b21.a2b2故双曲线 C的方程为 x 2y 23l 与双曲线交于不同的两点得A( xA , y A ), B( xB , yB ) ，则 xA 而 xA xB yA yB xA xB (kxA1.（）将 ykx2代入 x 2y 21得 (13k 2 ) x262kx9 0.由直线313k 20,即 k 21 且 k 21.

12、设(62k) 236(13k2 )36(1k 2 )0.36 2k2 , xA xBuuuruuurxB19 2 ,由OA OB2得 x A xB yA yB2,13k3k2)( kxB2) (k 2 1)xA xB2k (xAxB ) 2(k2962k23k273k272,即3k290,解此不等式得1)22k3k23k2.于是212113k113k3k1k 23. 由、 得1k 21.故 k 的取值范围为 (1,3 )( 3 ,1).3333例 5解析：（ 1）直线 AB方程为：bx- ay- ab 0依题意c6 ，a3，a3解得ab3b1a2b22椭圆方程为 x2y2ykx2，3k2 )

13、x2 12kx 9 0 1 （ 2）假若存在这样的得 (1k 值，由3 y233x20x1x212k2 ，(12k) 236(13k 2 ) 0 设 C ( x1 ， y1) 、 D ( x2， y2 ) ，则13k而x1x293k 21.y1y2(kx12)(kx22)k2 x1 x22k( x1x2 )4 要使以 CD为直径的圆过点E（-1 ， 0），当且仅当 CEDE时，则y1y21即 y1 y2( x11)( x21)0 (k 21) x1 x22(k1)(x1x2 )50 将式代入整理解得x11 x21k7经验证， k7k7E6，使成立综上可知，存在，使得以 CD为直径的圆过点66例

14、 6.解：设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ， AB 的中点 M (x0 , y0 ) ， kABy2y11 , 而 3x124 y1212, 3x224 y2212,x2x14相减得 3( x22x12 )4( y22y12 )0, 即 y1y23(x1x2 ),y03x0 ， 3x04 x0m, x0m, y03mm29m223m23而 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部，则31,即13134例 7. （ 1） x 2y 21（ 2）设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，直线： ykx1k ，代入方程 x2y 21得22(2k 2 ) x 2

15、2k(1k) x(1k )220 （ 2k 20 ） 则 x12x2k(1k )1，解得k2 ，此时方程2 k 2为 2x 24 x30 ，0方程没有实数根。所以直线l 不存在。y2x 2c2 2例 8解：（ I ）设椭圆方程为1，由已知 c22，又解得a=3=1a2b2a3，所以 b ，故所求方程为y2x21（II）设直线 l的方程为 ykxb(k 0)代入椭圆方程整理得9(k 29) x 2b2( 2kb)24(k 29)(b29)02kbx90由题意得x1x22kb1解得 k3或 k3 又直k 29线 l与坐标轴不平行故直线 l倾斜角的取值范围是(，2)(， 2 )323例 9(I)解：

16、设点 A 的坐标为 ( ( x1 ,b) ，点 B 的坐标为 (x2 , b) ，由 x2y21，解得 x1,221b2 ，所以4S1 b | x1x2 |2b1b2b21b21当且仅当 b2时，S 取到最大值 122ykxby（）解：由x2得 (4 k21) x28kbx4b240y21A4.OxB16(4k 2b21) ， AB 1k2 | xx |1k216(4k2b2 1)2 124k21又因为 O到 AB 的距离 d| b |2S1所以 b2k 211k 2| AB|代入并整理，得4k44k210，解得， k 21 ,b23，代入式检验，022故直线 AB的方程是： y2 x6或 y

17、2 x6或 y2 x6或 y2 x622222222例 10 解：（I ）由已知， m(0, x)(2 y 2 ,2), (2 y2 , x2),n(x,0)(2,2)( x2,2).Q m / n,22)(x2)( x2)0x2y 21.2 y (即所求曲线的方程是：2x 224k（）由2y1,消去 y得 : (12k 2 ) x 24kx0. 解得 x1=0,x2=2 ( x1 , x2分别为 M，N的横坐标） .12kykx1.由|MN |1k2| x1x2 |1k2|4k2 |42,解得 : k1.所以直线l的方程 x y+1=0或 x y1=0.2k3+1例 11. 解：（ 1）设

18、P( x0 , y0 ),Q (x, y) ， A(a,0),B( a,0),QBPB,QAPAy0gy1y0 2y2x022y0 2b2y22x0a x ag1，y01 ，ay0x02a2b2x0a2a2x2a2，gy1a2x2a22b2x0a xa化简得： a2 x2b2 y2a4 ，经检验，点 (a,0),(a,0) 不合题意，点Q的轨迹方程为 a2 x2b2 y2a4 ,( y 0)22a2a4221（ 2） 由（ 1）得 C2 的方程为xy1 ，2b21a1a1，a2a4e2a2b2c2a2e121b2 e12 ， e221(112 ， 1 e22 。2) 2例 12 解析 ： 5， b3c 4（ 1）设| PF1| t 1 ，| PF2 | t2 ，则 t1t 210 at12t222t1t2cos6082，由2得 t1t 212S F1 PF21 t1 t2sin 6011233 3222（ 2）设 P( x, y) ，由 SF1PF212c| y |4|y |得 4 | y |33| y | 33y33 ，将 y3 3 代入椭圆方2444程解得 x