新题库二次函数与二次方程二次不等式2

1、二次函数与二次方程，二次不等式题型1 解不等式的综合问题1已知集合A=x|1<|x-2|<2, B=x|(x-a)(x-1)<0, a1，且AB，试确定a的取值范围解： A=x|1<|x-2|<2=x|0<x<1，或3<x<4.（1）当a>1时，B=x|1<x<a.AB=，a>3.（2）当a<1时，B=x|a<x<1.AB, a<1.综上，a的取值范围是a|a>3或a<1.2不等式(a+1)x2+ax+a>m(x2+x+1)对任意xR恒成立，求a与m之间的关系解：原不等式可以

2、整理为(a-m+1)x2+(a-m)x+(a-m)>0，对于xR恒成立当a-m+1=0时，原不等式化为-x-1>0不恒成立，应舍去当a-m+10时，必须有(a-m)3(a-m+1)+1>0. a>m.3关于实数x的不等式(a-1)2与x2-3(a+1)+2(3a+1)0（其中aR）的解集依次为A与B求使AB的a的取值范围解：由(a-1)2，得-(a-1)2x-(a+1)2(a-1)2.解得2axa2+1.A=x|2axa2+1, aR.由x2-3(a+1)x+2(3a+1)0，得(x-2)x-(3a+1)0.当3a+12，即a时，得B=x|2x3a+1； 当3a+1&l

3、t;2，即a<时，得B=x|3a+1x2.（1）当a时，由AB，得解得1a3.（2）当a<时，由A，得 解得a=-1.使AB的a的取值范围是a|1a3，或a=-1.4已知函数（a，b为常数）且方程f(x)x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4. （1）求函数f(x)的解析式； （2）设k>1，解关于x的不等式；。解：（1）将，得。（2）不等式即为，即当当.5已知不等式ax2+bx+c>0的解为0<<x<，求不等式cx2-bx+a>0的解集。解：因不等式ax2+bx+c>0的解为0<<x<，所以a<0，且方程ax

4、2+bx+c=0的两根为、。所以+=->0, ·=>0，所以>0, <0，又a<0，所以c<0.由韦达定理x1+x2=；x1·x2=. 方程cx2-bx+a=0的两根为。由0<<，。不等式的解集为x|-<x<-.6解下列关于x的不等式：（1）x2-(a2+a)x+a3>0； （2）ax2-(a+1)x+1<0.解：（1）原不等式化为(x-a)(x-a2)>0。当a2-a>0，即a>1或a<0时，原不等式的解为x>a2或x<a.；当a2-a<0，即0<a&l

5、t;1时，原不等式的解为x<a2或x>a；当a2-a=0，即a=0或a=1时，原不等式的解为xa.（2）原不等式化为(ax-1)(x-1)<0.当a=0时，其解为x>1; 当0<a<1时，其解为1<x<；当a>1时，其解为<x<1； 当a=1时，无解；当a<0时，不等式化为(x-)(x-1)>0，其解为x<或x>1.7解不等式56x2+ax-a2<0.解：=a2+4×56×a2=225a20,方程56x2+ax-a2=0的解是x1=-, x2=,当a>0时，原不等式变形为5

6、6x2<0原不等式的解集是；当a<0时，原不等式的解集是.8解关于x的不等式：(m+1)x2-4x+10(mR)。解：（1）当m=-1时，原不等式变为x。 （2）当m>-1时，=12m-4.故有：若<0，即m>3时，恒有(m+1)x2-4x+1>0，此时不等式无解；若=0，即m=3时，原不等式变形为(2x-1)20，其解为：x=；若>0，即-1<m<3时，不等式有解为：.（3）当m<-1时，=12-4m>0恒成立，不等式有解：x，或x。综上所得，原不等式的解集如下：m=-1时，x|x；m<-1时，x|x或x；-1<m

7、<3时，x|x； m=3时，； m>3时，。9解关于x的不等式组：解：原不等式组令a-1=-a, a+1=-a, a-1=-a+1, a+1=-a+1，得a=, a=-, a=1, a=0。A的四个取值将数轴分成五个区间，分别讨论解集如下：（1）当a-时，因a-1<a+1-a<-a+1，所以解集为；（2）当-<a0时，因a-1<-a<a+1-a+1，所以解集为x|-a<xa+1；（3）当0<a时，因a-1-a<-a+1<a+1，所以解集为x|-a<x<-a+1；（4）当<a1时，因-a<a-1-a+1&l

8、t;a+1，所以解集为x|a-1x<-a+1；（5）当a>1时，因-a<-a+1<a-1<a+1，所以解集为。10解关于x的不等式：0（aR）解：原式（xa）（xa2）0，x1a，x2a2当a=a2时，a=0或a=1，x； 当aa2时，a1或a0，axa2，当aa2时，0a1，a2xa，当a0时axa2；当0a1时，a2xa；当a1时，axa2；当a=0或a=1时，x。11. 解关于x的不等式（其中）.解：，（由知），又由知：当时，则集合当时，原不等式解集A为空集；当时，则集合12设a<1，解关于x的不等式>0。解：原不等式可化为：。（1）当a=0时，

9、原不等式可化为：>0，即<0, -2<x<0。（2）当0<a<1时，化为：，此时-2<-a<, -2<x<-a或x>。（3）当a<0时，化为：。当a<-时，有-2<<-a, x<-2或<x<-a。当a=-时，化为：，x<且x-2。当-<a<0时，<-2<-a，解得：x<或-2<x<-a。综上所述，原不等式的解集：a<-不等式的解集x|x<-2或<x<-a；a=-，不等式的解集x|x<且x-2；-<a<

10、;0时，不等式的解集x|x<或-2<x<-a ；a=0时，不等式的解集x|-2<x<0；0<a<1时，不等式的解集x|-2<x<-a或x>.13解关于的不等式解：当=0时，原不等式等价于解得当时，原不等式化为：当 当.当时，原不等式等价于则当当时，。当14当时，不等式恒成立，求a的取值范围.解：当当，不成立. 综上，为所求。15已知两个非零向量为，解关于的不等式：。（其中）解：，由得。（1）当时，原不等式，；（2）当时，由于，而，于是有： 当，即时，原不等式，； 当，即时，原不等式，或。综上所得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的

11、解集为；当时，不等式的解集为。16解关于x的不等式解：。 当0<a<1时：， 。 当a>1时：。当a=3时，x<0；当； 当。综上：当；当；当。17 解关于的不等式： 解：当，。18解关于x的不等式1(a1) 解 原不等式可化为：0。当a1时，原不等式与(x)(x2)0同解 由于，原不等式的解为(，)(2，+) 当a1时，原不等式与(x)(x2) 0同解 由于：若a0，,解集为(，2)；若a=0时，解集为；若0a1，,解集为(2，)。综上所述 当a1时解集为(，)(2，+)；当0a1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a0时，解集为(，2）。19 己知三个不等式：

12、； 。(1)若同时满足、的值也满足，求m的取值范围；(2)若满足的值至少满足和中的一个，求m的取值范围。解：记的解集为A，的解集为B，的解集为C。解得A=（-1，3）；解得B=。（1）因同时满足、的值也满足，ABC。 设，由的图象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，即可满足。（2）因满足的值至少满足和中的一个，因此小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而。20. 已知，求a的取值范围。 解：化简.设.当时,即时,Ø,满足.当时,或.若,则,图象与x轴的交点的横坐标为0,而1,2,故应舍去.若,则,图象与x轴的交点的横坐标为1,11,2,故满足条件.当时，的图象与x轴有两个交

13、点.,方程的两根位于1,2之间.。题型2 二次函数的综合问题21已知函数（a，b为常数）且方程f(x)x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4. （1）求函数f(x)的解析式； （2）设k>1，解关于x的不等式；。解：（1）将得。（2）不等式即为：，即当；当；.22. 设函数，其中为常数. （1）解不等式；（2）试推断函数是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，说明理由. 解：（1）由得， ，不等式的解集是 （2）内在增函数，内是减函数.23已知函数y=lg(a2-1)x2+(a+1)x+1的定义域为R，求实数a的取值范围。解：由对数的定义及题设条件(a2-1)x2+(a+1)

14、x+1>0 ，对xR恒成立。当a2-10时，应有 解之a<-1或a>。当a2-1=0时，若a=1，不等式不是绝对不等式；若a=-1，则不等式为1>0，为绝对不等式。符合题意的a的集合为(-, -1)(, +)。24. 若函数y=的定义域为R，求实数a的取值范围。解：依题意，当xR时，(a2-1)x2+(a-1)x+0恒成立。（1）当a2-1=0，即当时有a=1，此时有(a2-1)x2+(a-1)x+=1 可知当xR时，(a2-1)x2+(a-1)x+0恒成立，a=-1（2）当a2-10，即当时，有解得1<a9综上当xR时，使得函数y有意义的a1，925 在直角坐标

15、系上，有抛物C:y=-x2+mx-1，式中m是实数，给出定点A(3,0)、B(0,3)，为了使抛物线C与线段AB有且仅有一个公共点，m点取值范围是什么？解：AB:x+y=3(x0,3). 把含参数的曲线转化为含参数的方程进行讨论，求方程在区间0，3有唯一解（包括重根）的条件（1）方程在0，3有重根的条件是：（2）令f(x)=x2-(m+1)x+4，f(0)=4>0,当f(3)=9-3(m+1)+4=0时，得m=,而当m=时，方程除了有根3外，还有一个根0，3，m=不合要求（3）只需f(3)=9-3(m+1)+4<0,即m>.综合（1）、（2）、（3），可得m的取值范围是m=3

16、，或m>.26已知集合P=, 2，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q。（1）若PQ，求实数a的取值范围；（2）若方程log2(ax2-2x+2)=2在，2内有解，求实数a的取值范围。解：（1）PQ，则x，2，不等式ax2-2x+2>0有解，即a>=-2·+2·。令t=，2，-2t2+2t=-2(t-)2+, t=2时，g(t)min=-4。a>-4。（2）由题意知，ax2-2x+2=4。由，2上有解，则a=，令=t，得h(t)=2(t+)2-，且t，2, h(t), 12, a, 12.27已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左

17、支交于A、B两点，若另一条直线经过点P(-2, 0)及线段AB的中点Q，求直线在y轴上的截距b的取值范围。解：由有两组解，且解中x<0，消去y，得(1-k2)x2+2kx-2=0，有两个不同的负根，其充要条件是：。即k(-, -1)为b=f(k)的定义域。又过点P(-2, 0)，AB中点Q，在y轴上的截距b。得P(-2, 0)、Q()、M(0, b)三点共线b=f(k)=, k(-, -1)，即f(k)=(-, -2)(2+, +)。28方程x2+ax+a=0在(0, 1上有解，求a的取值范围。解：设f(x)=x2+ax+a，（1）若f(x)=0在(0, 1上有两解，则有此不等式无解。（

18、2）若f(x)=0在(0, 1上有且仅有一解，则有解之得-a<0。综上所述得a的取值范围为-，0。方法二：x(0, 1, x=-1，原方程可变为a=。0<x1, , 即0<，a-。29设函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)x=0的两个根x1、x2满足0x1x2 (1)当x0，x1时，证明xf(x)x1；(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明 x0 解 (1)令F(x)=f(x)x，x1，x2是方程f(x)x=0的根，F(x)=a(xx1)(xx2) 当x(0，x1)时，x1x2，得(xx1)(xx2)0，又a0，得F(x)=a(xx1)(xx2)

19、0，即xf(x)。x1f(x)=x1x+F(x)=x1x+a(x1x)(xx2)=(x1x)1+a(xx2)。0xx1x2，x1x0，1+a(xx2)=1+axax21ax20，x1f(x)0，由此得f(x)x。 (2)依题意 x0=，x1、x2是方程f(x)x=0的两根，即x1，x2是方程ax2+(b1)x+c=0的根，x1+x2=，x0=，ax21，x0 30设不等式x22ax+a+20的解集为，若1，4，求实数a的取值范围 解 设f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)。(1)当0时，1a2，=1，4。(2)当=0时，a=1或2 当a=1时， =11，4

20、；当a=2时，=21，4 (3)当0时，a1或a2 设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1x2，那么=x1，x2，1，41x1x24，即，解得 2a。 1，4时，a的取值范围是(1，)。31 已知对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a5证：设二次三项式为：f(x)=a(x-x)(x-x)，aN依题意知：0x1，0x1，且xx有f(0)0，f(1)0又f(x)=ax-a(x+x)x+axx为整系数二次三项式，f(0)=axx、f(1)=a·(1-x)(1-x)为正整数故f(0)1，f(1)1从而f(0)·f(1)1 另一方面

21、，且由xx知等号不同时成立，由、得，a16又aN，所以a532已知集合A=x|x2-5x+40与B=x|x2-2ax+a+20, aR满足BA，求a的取值范围解：根据题意有A=x|x2-5x+40=x|1x4.记f(x)=x2-2ax+a+2，它的图象是一条开口向上的抛物线（1）若B=，显然有BA，此时抛物线与x轴无交点故=4a2-4(a+2)<0.-1<a<2.（2）若B，再设抛物线与x轴交点的横坐标为x1, x2且x1x2欲使BA，应有x1, x21, 4，观察图1-3-2便知，需 解得2a.综合（1）、（2）得a的取值范围是-1<a.33已知两个方程x2+4x+4

22、a=0和x2+3x+6a=0都有两个不同的实数根，并且一个方程的任意一个根不在另一个方程的两个根之间。试问满足上述的实数a是否存在？若存在，求出实数a；如果不存在，请说明理由。解：方程有两个不同的实根的充要条件是=42-4×4a>0，即a<1. 方程有两个不同的实根的充要条件是=32-4×6a>0，即a<。于是，当a<时，两个方程都有不同的实根。在a<的条件下，方程的两个根是并且x1<x2，方程的两个根是并且x3<x4。要使一个方程的任意一个根不在另一个方程两个根之间，a的值应满足下列两组条件之一。或首先解x2<x3的情

23、形：即，即，两边平方，得16-16a+9-24a+8, 8<40a-24, 即<5a-3. 当a<时，5a-3<0，从而不等式无解。下面再解x4<x1的情形：即，有.显然，不等式无解。结合以上各式，不存在满足题目要求的a.34已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1)，反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8，f(x)=f1(x)+f2(x)（1）求函数f(x)的表达式；（2）证明：当a>3时，关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解。解：（1）由已知，设f1(x)=ax2，则f1(1)=1，得a=1，f1(x)=x

24、2.设f2(x)=，它的图象与直线y=x的交点分别为A(),B(-,-)，由|AB|=8，得k=8,f2(x)=.故f(x)=x2+。（2）f(x)=f(a),得x2+=a2+，即=-x2+a2+，在同一坐标系内作出f2(x)=和f3(x)=-x2+a2+的大致图象，其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f3(x)的图象是以(0,a2+)为顶点，开口向下的抛物线。f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点，即f(x)=f(a)有一个负数解。又f2(2)=4,f3(2)=-4+a2+,当a>3时，f3(2)-f2(2)=a2+-8>0，当a>

25、3时，f3(x)的图象在第一象限有两个交点，即f(x)=f(a)有两个正数解。方程 f(x)=f(a)有三个实数解。证法二：由f(x)=f(a)，得x2+=a2+,即(x-a)(x+a-)=0，得方程的一个解x1=a，方程x+a-=0化为ax2+a2x-8=0,由a>3,=a4+32a>0，得：x2=,x3=,x2<0,x3>0,x1x2,且x2x3，若x1=x3，即a=,则3a2=,a4=4a，得a=0或a=，这与a>3矛盾，x1x3。故原方程f(x)=f(a)有三个实数解。35已知函数 （1）当且时，求证： （2）是否存在实数，使得函数的定义域、值域都是，若存

26、在，则求出的值，若不存在，请说明理由. （3）若存在实，使得函数的定义域为时，值域为（），求的取值范围.解：（1） 在（0，1）上为减函数，在上是增函数.由，且，可得和 即故，即（2）不存在满足条件的实数a，b.若存在满足条件的实数a，b，使得函数的定义域、值域都是a，b，则当时，在（0，1）上为减函数.故 即 解得a=b. 故此时不存在适合条件的实数a，b. 当时，在上是增函数.故 即 此时a，b是方程的根，此方程无实根.故此时不存在适合条件的实数a，b。当时，而，故不存在适合条件的实数a，b. 综上可知，不存在适合条件的实数a，b. （3）若存在实数，使得函数的定义域为a，b时，值域为ma

27、，mb.则 当时，由于在（0，1）上是减函数，值域为ma，mb， 即 此时a、b异号，不合题意.所以a，b不存在.当或时，由（2）知0在值域内，值域不可能是ma，mb，所以a，b不存在，故只有在上是增函数， 即，a，b是方程的两个根.即关于x的方程有两个大于1的实根.设这两个根为 则 即 解得故m的取值范围是36已知二次函数 （1）对于求证：方程有不等的两实根，且必有一个实根属于； （2）若方程内的根为m，且成等差数列，设的对称轴方程，求证：。解：由，得，故此方程的判别式，即方程有两不等实根.令是二次函数，由的根必有一个属于 （2）由题设，得，即有成等差数列，即故，故.37已知，当时，恒成立，

28、求a的取值范围. 解：，此二次函数图象的对称轴为.当时，结合图象知，上单调递增，要使恒成立，只需，当综上所述，所求的取值范围为方法二：由变形得当即式为恒成立，此时；当，式为恒成立，其中即恒成立，这样就转化到了求时函数的最小值问题，可得当，即式为恒成立，即恒成立.其中，这样就转化到了求的函数的最大值的问题，可得.综合以上知，.方法三： 由已知在。上恒成立，即 或，解得。38 设函数f(x)定义在R上，对任意m、n恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x0时，0f(x)1 (1)求证 f(0)=1，且当x0时，f(x)1；(2)求证 f(x)在R上单调递减；(3)设集合A= (x，y

29、)|f(x2)·f(y2)f(1)，集合B=(x，y)|f(axg+2)=1，aR，若AB=，求a的取值范围 解 (1) 令m0，n=0得 f(m)=f(m)·f(0) f(m)0，f(0)=1。取m=m，n=m，(m0)得：f(0)=f(m)f(m)，f(m)=。m0，m0，0f(m)1，f(m)1。(2)任取x1，x2R，则f(x1)f(x2)=f(x1)f(x2x1)+x1=f(x1)f(x2x1)·f(x1)=f(x1)1f(x2x1)。f(x1)0，1f(x2x1)0，f(x1)f(x2)，函数f(x)在R上为单调减函数。 (3)由，由题意此不等式组无解

30、，数形结合得 1，解得a23。a，。39 已知函数f(x)= (b0)的值域是1，3。(1)求b、c的值；(2)判断函数F(x)=lgf(x)，当x1，1时的单调性，并证明你的结论；(3)若tR，求证 lgF(|t|t+|)lg 解 (1) 设y=，则(y2)x2bx+yc=0 xR，的判别式0，即 b24(y2)(yc)0，即4y24(2+c)y+8c+b20， 由条件知，不等式的解集是1，3，1，3是方程4y24(2+c)y+8c+b2=0的两根，c=2，b=2，b=2(舍）。(2)任取x1，x21，1，且x2x1，则x2x10，且(x2x1)(1x1x2)0，f(x2)f(x1)=0，f

31、(x2)f(x1)，lgf(x2)lgf(x1)，即F(x2)F(x1)，F(x)为增函数。即u，根据F(x)的单调性知：F()F(u)F()，lgF(|t|t+|)lg对任意实数t 成立。40已知f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f(1)=1，若m、n1，1，m+n0时0 (1)用定义证明f(x)在1，1上是增函数；(2)解不等式 f(x+)f()；(3)若f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，求实数t的取值范围 解 (1)任取x1x2，且x1，x21，1，则f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=·(x1x2)。1x1x21，x1+(x2)0，由已知0，又

32、 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上为增函数 (2) f(x)在1，1上为增函数， 解得 x|x1。(3)由(1)可知f(x)在1，1上为增函数，且f(1)=1，对x1，1，恒有f(x)1，要f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，即t22at+11成立，故t22at0。记g(a)=t22at，对a1，1，g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(1)0，解得，t2或t=0或t2 t的取值范围是 t|t2或t=0或t2 41 设f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=，问是否存在a、b、cR，使得不等式 x2+f(x)2x2+2x

33、+对一切实数x都成立，证明你的结论 解 由f(1)=，得a+b+c=，令x2+=2x2+2x+x =1，由f(x)2x2+2x+推得f(1) 由f(x)x2+推得f(1)，f(1)=，ab+c=，故2(a+c)=5，a+c=且b=1，f(x)=ax2+x+(a) 依题意 ax2+x+(a)x2+对一切xR成立，a1且=14(a1)(2a)0，得(2a3)20，f(x)=x2+x+1。易验证 x2+x+12x2+2x+对xR都成立 存在实数a=，b=1，c=1，使得不等式 x2+f(x)2x2+2x+对一切xR都成立 42 已知函数f(x)=x2+px+q，对于任意R，有f(sin)0，且f(s

34、in+2)2 (1)求p、q之间的关系式；(2)求p的取值范围；(3)如果f(sin+2)的最大值是14，求p的值 并求此时f(sin)的最小值 解 (1)1sin1，1sin+23，即当x1，1时，f(x)0；当x1，3时，f(x)0，当x=1时，f(x)=0 1+p+q=0，q=(1+p)。(2)f(x)=x2+px(1+p)，当sin=1时，f(1)0，1p1p0，p0(3)注意到f(x)在1，3上递增，x=3时，f(x)有最大值 即9+3p+q=14，9+3p1p=14，p=3 此时，f(x)=x2+3x4，即求x1，1时f(x)的最小值 又f(x)=(x+)2，显然此函数在1，1上递

35、增 当x=1时f(x)有最小值：f(1)=134=6 43 设函数f(x)=ax满足条件 当x(，0)时，f(x)1；当x(0，1时，不等式f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围 解 由已知得0a1，由f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)，x(0，1恒成立 在x(0，1恒成立 整理，当x(0，1)时，恒成立，即当x(0，1时，恒成立，且x=1时，恒成立，在x(0，1上为减函数，1，m恒成立m0 ，在x(0，1上是减函数，1 m恒成立m1当x(0，1)时，恒成立m(1，0) 当x=1时，即是m0 、两式求交集m(1，0）,使x(0，1时，f(3mx1)f(

36、1+mxx2)f(m+2)恒成立，即m的取值范围是(1，0)44若1<x2，不等式ax2-2ax-1<0恒成立，求实数a的取值范围。解：方法一：（从函数图象与不等式解集入手，不等式在(1, 2上恒成立，即f(x)=ax2-2ax-1的图象在x(1, 2恒在x轴下方。)当a=0时，不等式变为-1<0恒成立；当a0时，设f(x)=ax2-2ax-1，对称轴x=1，结合二次函数图象：当a>0时，只需可得a>0。当a<0时，只需f(1)0，即0a-1. 综上可得a-1.解法二：（因不等式恒成立，所以不等式对应的函数在(1, 2上的最大值恒小于0，从而转化为二次函数在

37、闭区间上的最值问题。)设f(x)=ax2-2ax+1，当a=0时，f(x)=-1，满足不等式f(x)<0。当a>0时，f(x)对称轴为x=1，结合二次函数图象，(1, 2为f(x)的增区间，f(x)max=f(2)=-1<0, a>0成立；当a<0时，f(x)对称轴为x=1，区间(1, 2为f(x)的减区间。f(x)max=f(1)=-a-10. a-1,-1a<0. 综上所述：a-1。45已知函数f(x)=ax2-c，满足-4f(1)-1和-1f(2)5，求f(3)的取值范围解：由-4f(1)-1, -1f(2)5，可得设9a-c=A(a-c)+B(4a-

38、c)，则有A+4B=9和-A-B=-1，解得A=-, B=，9a-c=-(a-c)+(4a-c).-(a-c), -(4a-c)，相加得-19a-c20. f(3)的取值范围为-1, 20.解法二：由可得 则f(3)=9a-c=9=由-1f(2)5，得-f(2).由-4f(1)-1，得-f(1).相加得-1f(2)-f(1)20. f(3)的取值范围为-1, 20.解法三：令a=x, c=y, z=9x-y，则问题转化为在的条件下，求目标函数z=9x-y的取值范围由图1-3-1可知，当x=3, y=7时，z=9x-y取到最大值20当x=0, y=1时，z=9x-y取到最小值-1f(3)的取值范

39、围为-1, 20.46已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a, b, c均为实数)，且同时满足下列条件：f(-1)=0； 对于任意的实数x，都有f(x)-x0； 当x(0, 2)时，有f(x)。（1）求f(1)； （2）求a, b, c的值；（3）当x-1, 1时，函数g(x)=f(x)-mx(m是实数)是单调函数，求m的取值范围。解：（1）由f(-1)=0，得a-b+c=0. ，令x=1，有f(1)-10和f(1)，f(1)=1.（2）由（1）可知a+b+c=1. 联立（1）（2）可有b=a+c= 则由题意可得，对任意实数x，都有f(x)-x0，即ax2-x+c0对任意实数x恒成立。于是

40、a>0且0，即有ac. 故c>0.由、得a+c22×，则a=c=，故a=c=, b=.（3）由（2）可得g(x)=f(x)-mx=x2+(-m)x+=x2+(2-4)x+1，又x-1, 1时，函数g(x)是单调的，所以|-|1，解之，有m0或m1. 故m的取值范围是m0或m1.原不等式解集为：x|-5x<0x|0x-1+=x|-5x-1+.47. 已知抛物线（1）当m为何值时,抛物线与x轴有两个交点?（2）若关于x的方程的两个不等实根的倒数平方和不大于2,求m的取值范围.（3）如果抛物线与x轴相交于A、B两点,与y轴交于C点,且ABC的面积等于2，试确定m的值。解：

41、（1）据题意,须,且,即,得,且.（2）在,1的条件下,且,得. ,得, ,m的取值范为:.（3）由得.得,解得：.48设函数f(x)=-x2+的定义域和值域分别为a, b和2a, 2b，求a, b的值。解：定义域a, b是动态的，由于值域的确定要依赖于区间a, b的位置的确定，须就a, b位置作分类讨论。（1）a>0, f(x)在a, b上为减函数，则，即，两式相减，得(a-b)(a+b)+4(b-a)=0。ab, 。（2）b<0, f(x)在a, b上为增函数，解得，又b<0,b=-2-，且a<b故无解。（3）时，则，。（4）若，与a<0矛盾。综合得，或。49

42、. 已知函数的定义域为R，值域为0，2，求m，n的值。解：函数的定义域为R,说明中,x可以取任意实数,设.方程中的设,即时,有,即有.又的值域为0,2，关于的方程的两根为1和9.，解得.下面检验当时是否成立：若，即,.此时,而.时，也成立。综上可知:.50. 已知函数的定义域为R. （1）求实数m有取值范围；（2）当m变化时，若y的最小值为f(m)，求函数f(m)的值域。解：（1）当时，定义域为R. 当时，定义域为R，应满足，解得，。（2）当时，；当时，。51. 若关于x的方程(2-2-|x-3|)2=3+a有实数根，求实数a的取值范围。解：从函数的观点看，原题可转化为求函数a=(2-2-|x

43、-3|)2-3(xR)的值域。令t=2-|x-3|，则0<t1。a=f(t)=(t-2)2-3在区间(0, 1上是递减函数。f(1)f(t)<f(0). 即-2f(t)<1。故所求实数a的取值范围是-2a<1.52已知二次函数f(x)=ax2+bx满足f(1+x)=f(1-x)，方程f(x)=x有两个相等的实根。（1）求f(x)的解析式；（2）若函数f(x)在定义域为m, n上对应的值域为2m, 2n，求m, n的值。解：（1）f(x)=ax2+bx, f(1-x)=f(1+x). 则f(x)的对称轴为-=1。又f(x)=x即ax2+(b-1)x=0有等根，则(b-1)

44、2=0, b=1, a=-, f(x)=- x2+x.（2）f(x)=-x2+x=-(x-1)2+, f(x)的最大值为。又f(x)在xm, n上的最大值为2n, 则2n, n。f(x)在m, n上为增函数，得,m, n是f(x)=2x的两个不等实根。-x2+x=2x. x2+2x=0, x1=-2, x2=0. m=-2, n=0.53. 已知奇函数f(x)是定义在(3，3)上的减函数，且满足不等式f(x3)+f(x23)<0,设不等式解集为A，B=Ax|1x,求函数g(x)=3x2+3x4(xB)的最大值 解 由且x0,故0<x<,又f(x)是奇函数，f(x3)<f

45、(x23)=f(3x2),又f(x)在(3，3)上是减函数，x3>3x2,即x2+x6>0,解得x>2或x<3,综上得2<x<,即A=x|2<x<,B=Ax|1x=x|1x<,又g(x)=3x2+3x4=3(x)2知g(x)在B上为减函数，g(x)max=g(1)=4 54已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x ()求函数g(x)的解析式； ()解不等式g(x)f(x)|x1|； ()若h(x)g(x)f(x)1在1，1上是增函数，求实数的取值范围解：()设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则 点在函数的图象

46、上，。()由。当时，此时不等式无解当时，解得原不等式的解集为（），） ）55 已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）.（1）若方程有两个相等的根，求的解析式；（2）若的最大值为正数，求a的取值范围.解：（1） 由方程 方程有两个相等的根，即由于代入得的解析式 （）由，及由 解得故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是56已知二次函数（R，0）（）当时，（）的最大值为，求的最小值（II）如果0，1时，总有|试求的取值范围（III）令，当时，的所有整数值的个数为，求证：数列的前项的和 解：（）由知，故当时取得最大值为，即所以的最小值为；（II）由得对于任意恒成立，当时，使成立；当

47、时，有 对于任意的恒成立；，则,故要使式成立，则有，又；又，则有，综上所述：； （III）当时，则此二次函数的对称轴为，开口向上，故在上为单调递增函数，且当时，均为整数，故，则数列的通项公式为，故， 又， 由得， 57 已知函数 （）求f(x)的值域； （）设函数g(x)=ax2,x2，2.若对于任意x12，2，总存在x02，2，使得g(x0)=f(x1)成立，求实数a的取值范围.解：（I）当上是增函数， 此时 当； 当. f(x)的值域为。（II）（1）若a=0，g(x)=2，对于任意x12，2，f(x1)，不存在x02，2，使得g(x0)=f(x1)成立. （2）若a>0,g(x)=

48、ax2在2，2是增函数，g(x) 2a2,2a2. 任给x12，2，f(x1) ,若存在x02，2，使得g(x0)=f(x1)成立，则 （3）若a<0,g(x)=ax2在2，2是减函数，g(x) 2a2,2a2. 同理可得 综上，实数a的取值范围是58已知函数的图象上有两点、满足（）求证：；（）求证：的图象被x轴截得的线段长的取值范围是；（）问能否得出中至少有一个数为正数？证明你的结论.解：（I）、满足 的一个实根，（II）设、，0，方程的一个根为1，另一根为（）设由已知不妨设上为增函数，同理当中至少有一个为正数.59. 设集合A=-1, 1, B=-,，函数f(x)=2x2+mx-1。（1）设不等式f(x)0的解集为C，当C(AB)时，求实数m的取值范围；（2）当mA, xB时，证明|f(x)|。解：（1）AB=-1, 1, C(AB)，且=m2+8>0，2x2+mx-1=0的两根在-1，1上，即f(x)的图像与x轴交点在-1，1上。-1m1。当-1m1时，f(x)0的解集为C(AB)。（2）mA, xB|m|1, x2，|f(x)|=|2x2+mx-1|2x2-1|+|mx|=1-2x2+|mx|1-2x2+|x|=-2|x|2+|x|+1=-2(|x|-)2+。当且仅当|x|=时，等号成立。|f(x)|。60. 给定函数F(x)=ax2+bx+c，以及G(x