数列——等差数列高考复习专题

1、等差数列总复习【考情解读】1 .理解等差数列的概念；2 .掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式；3 .能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题;4 .了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.【重点知识梳理】1 .等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.数学语言表达式：an+i an= d(n C N*, d为常数)，或an an-i= d( n>2, d为常数).2 .等差数列的通项公式与前 n项和公式(1)若等差数列an的首项是a,公差是d,则

2、其通项公式为 an=ai+(n-1)d. 通项公式的推广：an= am + (n m) d( m n C N*).(2)等差数列的前n项和公式S = n(自：&)=na + n(1)d(其中 nCN(,a1为首项，d为公差，an为第n项).3 .等差数列及前n项和的性质a+ b(1)若a, A, b成等差数列，则 A叫做a, b的等差中项，且 A=(2)若an为等差数列，且 m+n = p+q,则 am+an= ap+a<m, n, p, qCN*).(3)若an是等差数列，公差为 d,则a% ak+m, ak+2m, (k,N*)是公差为md的等差数列.(4)数列Sm S2m-

3、 Sm, -m S2m,也是等差数列.(5) S2n 1 = (2n 1)an. nd (6)右n为偶数，贝 S偶一S奇=万；右n为奇数，贝 S奇一S偶=2中(中间项).4.等差数列的前n项和公式与函数的关系d 2dS1 = -n + & c n.22数列an是等差数列？ S=An2+Bn(A, B为常数).5.等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a1>0, d<0,则&存在最大值；若 a1<0, d>0,则&存在最 小值.【高频考点突破】考点一等差数列的性质及基本量的求解1 .设Sn为等差数列an的前n项和，S8=4a3, a7= 2,则

4、a9=（）A. - 6 B, -4 C. - 2 D. 22. （2014浙江卷）已知等差数列an的公差d>0.设an的前n项和为Sn, ai=1, S2 ss = 36.求d及Sn；求 m, k（m, k C N ）的值，使得 am+ am+i + am+2+ + am+ k= 65.规律方法 （1）一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程.但要注 意性质运用的条件，如 m+ n = p+q,则am+an= ap+aq（m, n, p, qCN*）,只有当序号 之和相等、项数相同时才成立.（2）在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方程思想， 要注意公式使用时的准确性与合理

5、性，更要注意运算的准确性. 在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷.【变式探究】（1）设数列an, bn都是等差数列，且a=25, b1 = 75, a?+ b2= 100, 则a37+b37等于（）A. 0 B. 37 C. 100 D. 37（2）若一个等差数列前 3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390, 则这个数列的项数为（）A. 13 B. 12 C. 11 D . 10（3）已知等差数列an的前n项和为Sn,且S0=10, 820=30,则 &。=.考点二等差数列的判定与证明11.若数歹U an的前n项和为Sn,且满足an+2

6、SnSn I=0(n>2!) ai = 2.求证：白成等差数列；(2)求数列an的通项公式.Sn规律方法证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明an an i= d(n>2, d为常数)；二是等差中项法，证明22门+1 = 2门+2门+2.若证明一个数列不是 等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法.【变式探究】已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn,且满足a3 a4= 117,a 2 + as = 22.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足6 = 且，是否存在非零实数 C使得bn为等差数列？若存在，n+ c求出c的值；若不存在，请说明理由

7、.考点三等差数列前n项和的最值问题1 .等差数列an的首项ai>0,设其前n项和为Sn,且Ss = Si2,则当n为何值时，Sn有最大值？规律方法 求等差数列前n项和的最值，常用的方法：（1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；（2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；（3）将等差数列的前n项和Sn = An2+Bn（A, B为常数）看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.【变式探究】（1）等差数列an的前n项和为Sn,已知a5+a7=4, a6+a8= 2,则当Sn取最大值时，n的值是（）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8设数列an是公差dv0的等差数列，Sn为前n项和

8、，若& = 5a1+10d,则Sn取 最大值时，n的值为（）A. 5 B. 6C. 5或 6 D. 11（3）已知等差数列an的首项a = 20,公差d=2,则前n项和Sn的最大值为【真题感悟】1 .【2015高考新课标1,文7已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若 S8 4S4 ,则 a10(),17,19,(A)17(B)19(C)10(D)12222.12015高考陕西，文13中位数为10 10的一组数构成等差数列，其末项为2015,则该数列的首项为3.12015高考福建，文16若a,b是函数f xx2 px q p 0,q 0 的两个不同的零点，且a,b, 2这

9、三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q的值等于.1. 12015高考浙江，文10已知an是等差数列，公差d不为零.若a2, a3, 27成 等比数列，且2al a2 1 ,则a1 , d .5. (2014安徽卷)数列an是等差数列，若a1 + 1, a3+3, as+5构成公比为q的等比 数列，则q =.6. (2014北京卷)若等差数列an满足a7+a8+a9>0, a7+a10<0,则当n=时， an的前n项和最大.7. (2014福建卷)等差数列an的前n项和为若a1=2, S3= 12,则a6等于()A. 8 B, 10 C. 12 D. 148. (2014湖北卷)已知等差数列an满足:ai = 2,且ai, 32, a5成等比数列.(1)求数列an的通项公式.(2)记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数 n,使得Sn>60n+800?若存在,