数量关系题库

1、数量关系(一)数字推理(1)数字性质：奇偶数，质数合数，同余，特定组合表现的特定含义如n =3.1415926,阶乘数列。(2)等差、等比数列，间隔差、间隔比数列。(3)分组及双数列规律(4)移动求运算数列(5)次方数列(1、基于平方立方的数列2、基于2An次方数列，3幕的2, 3 次方交替数列等为主体架构的数列)(6)周期对称数列(7)分数与根号数列(8)裂变数列(9)四则组合运算数列(10)图形数列(二)数学运算(1)数理性质基础知识。(2)代数基础知识。(3)抛物线及多项式的灵活运用(4)连续自然数求和和及变式运用(5)木桶(短板)效应(6)消去法运用(7)十字交叉法运用(特殊类型)(8

2、)最小公倍数法的运用(与剩余定理的关系)(9)鸡兔同笼运用(10)容斥原理的运用(11)抽屉原理运用(12)排列组合与概率：(重点含特殊元素的排列组合，插板法已经变式，静止概率以及先【后】验概率)(13)年龄问题(14)几何图形求解思路(求阴影部分面积 割补法为主)(15)方阵方体与队列问题(16)植树问题(直线和环形)(17)统筹与优化问题(18)牛吃草问题(19)周期与日期问题(20)页码问题(21)兑换酒瓶的问题(22)青蛙跳井(寻找临界点)问题(23)行程问题(相遇与追击，水流行程，环形追击相遇：变速行程，曲线(折 返，高山，缓行)行程，多次相遇行程，多模型行程对比)数学应用题解题方法

3、精讲套用公式法。适用于计算里程、计算方阵人数、计算工程、排列组合等问题。【例题】某校学生排成一个方阵，最外层人数是 40人，问此方阵共有学 生多少人？A.101 B.111C.121D.131【解析】答案为 Co (40 4+ 1)2= 121 (2)运用经验法。如种树、爬楼梯，计算时间、年月日与星期几等问题，需要具备日常生产、 生活的基本知识。如在道路两旁种树时开始处应先种一棵，所以需加1,然后乘2;计算楼梯台阶时由于一层没楼梯，所以需减1;计算时间需要懂得钟表上秒、分、小时的推算，计算月日需记住公历中的1、3、5、7、8、10、12这七个大月每月为31天，4、6、9、11这四个小月每月为3

4、0天。2月为28天(年份被4整 除时为29天)；计算星期几时，需将天数勺,余数与原星期数相加，若得数大于 7时则需减7,所得之数就是所求的星期几。【例题】如果2006年12月1日是星期五，那么2008年的3月1日是星期 几？A.四B.五C.六D.日【解析】答案为C。(365+ 31+ 31 + 29)m=65 -1;则 5+1=6。(3)设未知数法。这种方法在应用题中较多采用，考试时在草稿纸上简要计算，很快会找到 正确选项。如计算人数、圈数(人、马等在跑道上跑卜款数、腿数(鸡免同笼之类 的题)、年龄等。【例题】两年前儿子的年龄是母亲的1/6,今年儿子的年龄是父亲的1/5,且 两年前儿子的年龄是

5、当年父亲年龄减去母亲年龄之差，求今年父亲的年龄为多少 岁？A.24 B.26 C.28 D,30【解析】答案为D。设今年父亲的年龄为X岁，则今年儿子的年龄是1/5X。两年前儿子的年龄是1/5X-2, 母亲的年龄是 6(1/5X-2) 0 则有等式：1/5X-2=(X-2)-6(1/5X-2),算得 X = 30。跨越陷阱法。有些应用题中设置有 陷阱”或 临界状态”，即出题人给出的四个选项中有 一个似乎是正确的，其实不然，而是个陷阱”；另有一些题则是在四个选项中，有一个是最高限制，再多一点就会发生质变，那么这一个选项就是临界状态”。【例题】一副扑克牌有四种花色，每种花色各有 13张，共52张(抽

6、出大小 王不计)。现在从中任意抽牌，问最少抽几张牌，才能保证有 4张牌是同一种花 色的？A.12B.13C.15D.16【解析】答案为B。假设每种花色开始都是抽了 3张，共12张，第13张就是 临界点”。(5)特别对待法。有些很特殊的题型。，求最大值或平均值、几何的、列方程式的、棋子投放 的、步步为营”的、职务任期算法等，需要用特别的有针对性的办法解决。【例题】设有7枚硬币，其中五分、一角和五角的共三种，且每种至少有一枚。若这7枚硬币总价值为1.75元，则五分的至少有几枚？A.1B.2C.3D.4【解析】答案为Co五角3个，一角1个，五分3个。(6)加“1计算法【例题】一条街长200米，街道两

7、旁每隔4米栽一棵核桃树，问共栽多少棵？A.50B.51C.100 D.102【解析】答案为 D。200M+ 1(7)减“1计算法【例题】小马家住在第5层楼，如果每层楼之间楼梯台阶数都是16,那么小马每次回家要爬多少台阶？【解析】答案为C。16X5-1)A.80B.60C.64D.48(8)爬绳计算法【例题】单杠上挂着一条4米长的爬纯，小赵每次向上爬1米后又滑下半米 来。问小赵需几次才能爬上单杠?A.8B.7C.6D.5【解析】答案为 B。(4-1) 0.5+ 1 = 7(9)余数相加计算法【例题】2006年8月1日是星期二，2008年的8月1日是星期几？A.二 B.三C.四D.五【解析】答案为

8、D。(365+366)于= 1043; 3 + 2 = 5。(2008年为闰年，2月29天)(10)找共同数法【例题】小马下星期要去某饭店午餐，要去参观美术馆，要去税务所办事， 还要去某医院看病。已知该饭店是星期三关门，美术馆星期一、三、五开门，税 务所星期六、日不办公，该医院星期二、五、六门诊。那么，小马应该星期几去 才能一天把这四件事都办完呢？A.六B.五C.四 D.三【解析】答案为Bo(11)月日计算法【例题】假如今天是2006年11月28日，那么再过105天是2007年的几月 几日？A.2007年2月28日 B.2007年3月11日C.2007年3月12日 D.2007年3月13日 【

9、解析】答案为D。105-(2+ 31 + 31 + 28) = 13(3 月)(12)比例分配计算法【例题】一个村的东、西、南、北四条街的总人数是500人，四条街人数比例为1: 2: 3: 4,问北街的人数是多少？A.250B.200C.220D.230【解析】答案为Bo500X4/10)=200(13)倍数计算法【例题】女童小因今年4岁，妈妈今年28岁，那么，小因多少岁时，妈妈 的年龄是她的3倍？A.10B.11C.12D.13【解析】答案为C。设X年后妈妈的年龄是小因的3倍，则：(X + 28)(X + 4)=3,求得X=8。(14)鸡兔同笼计算法【例题】一段公路上共行驶106辆汽车和两轮

10、摩托车，它们共有 344只车 轮，问汽车与摩托车各有多少辆？A.68, 38B.67, 39 C.66, 40 D.65, 41 【解析】答案 C。4X + 2Y = 344 且 X + Y = 106,求得 X = 66 (15)人数计算法【例题】 某剧团男女演员人数相等，如果调出8个男演员，调进6个女演 员后，女演员人数是男演员人数的 3倍，该剧团原有多少女演员？A.20B.15C.30D.25【解析】答案为B。(X + 6)6-8)=3,求得 X = 15(16)工程计算法【例题】一个水池有两根水管，一根进水，一根排水。如果单开进水管，10分钟将水池灌满，如果单开排水管，15分钟把一池水

11、放完。现在池子是空的， 如果两管同时开放，多少分钟可将水池灌满？A.20B.25C.30D.35【解析】答案为C。11/10-1/15) = 30(17)资金计算法【例题】某协会开年会，需预算一笔钱作经费，其中发给与会者的生活补 贴占10%,会议资料费用1500元，其他费用占20%,还剩下2000元。问该年 会的预算经费是多少元？A.7000B.6000C.5000D.40 00【解析】答案为 C。(18)对分计算法【例题】某大单位有一笔会议专用款，第一次用去1/5后，就规定每召开一次会议可用去上次会议所剩款的1/5,连续开了四次会议后剩余余款为40.96万元。问该单位这笔会议专用款是多少万元

12、？A.100B.120C.140D.160【解析】答案为 A。X(1-1/5) (1-1/5) (1-1/5) (1-1/5) =40.96;解得 X= 100 万元 (19)排列组合法所谓排列是指从M个不同元素中取出N个,然后按任意一种次序排成一列， 称为一个排列。用PMN或AMN来表示。如从ABC三种元素中每次取两个，共 得多少个排列？ PMN或AMN表示,共得AB、AC、BA、BC、CA、CB计6个 排列。所谓组合是指从M个不同元素中任意取出N个成一组，称为组合。用 CMN来 表示。如从4个元素ABCD中每组取3个得到的不同组合有多少个？ C43,即ABC、ABD、ACD、BCD 计 4

13、 个。【例题】 小张到食品店准备买3种面包中的一种，4种点心的两种，以及 4种香肠中的一种。若不考虑食品挑选的次序，则他有多少种不同的选择方法？A.36B.72C.82D.92【解析】答案为 B。3 X(4 )3/2)佯 72(20)代入法【例题】一个小于100的整数，与4的差是6的倍数，与4的和是7的倍数。 这个数最大的是多少？A.86B.88C.94D.95【解析】答案为C。将ABCD选项中的数据从大到小代入，可知 C正确。(21)分段计算法【例题】某农村产品推销服务公司推销农产品项目所涉及的金额按一定比例 收取推销费，具体标准如下：1000元(含)以下收5元；1000元以上5000元(含

14、) 以下部分收取3%; 5000元以上，10000元(含)以下的部分收取2%0 (如一项农 产品所涉及金额为5000元时应收125元)。现有一农产品价值10000元，问所收 取的推销费为多少元？A.200B.225C.250D.275【解析】答案为 B。5(1000)+ 120(4000)+ 100(5000)=225(22)集合法【例题】某大学某班有学生50人报名参加校运会，其中报名参加田赛项目 的有40人，报名参加径赛项目的有25人。据此可知，该班报名参加田赛和径赛 两项目的有多少人？A.至少有10人 B.有20人 C.至少有15人D.至多有30人【解析】答案为Co (40+ 25)-50

15、= 15(23)跑圈计算法【例题】A、B两人从同一起跑线上绕300米跑道跑步，A每秒跑6米，B 每秒跑4米，问第二次在起跑线追上 B时A跑了几圈？A.4B.6C.8D.10【解析】答案为 B。300十6-4) >2X6=1800M; 1800M +300=(6 圈)(24)步步为营法【例题】某商品某日售出红、黄、蓝、白、紫五种颜色的裙子 8条(每种至 少售出1条)，其中红色的30元1条，黄色的32元1条，蓝色的34元1条，白 色的36元1条，紫色的38元1条。8条裙子的共售价为276元。那么，至少售 出3条的是哪种颜色？A.红或黄 B.白 C.蓝D.紫【解析】答案为Bo 276-(30+

16、 32+34+36+ 38)=106; 106= 36 >2 + 34(25)列方程法【例题】在商品店里，商品甲比商品乙贵30元，商品甲涨价50%后，其价 格是商品乙的3倍。问商品甲的原价是多少元？A.30B.40C.50D.60【解析】答案为D。设商品甲原价是X元，则商品乙是X-30元，X(1+50%)=3(X-30),求得X = 60 (26)求方阵人数法【例题】某校学生刚好排成一个方队，最外层每边的人数是24人，问该方阵有多少名学生？A.600人 B.576人 C.550人 D.535 A 【解析】答案为B。24 >24= 576;最外层每边多少人”与最外层共有多少人”算法不

17、同(27)求圆周长法【例题】如图所示，以大圆一条直径上的7个点为圆心，画出7个紧密相连的小圆。那么，大圆的周长与其内部 7个小圆的周长之和之比较，结果是：A.大圆的周长大于7个小圆周长之和B.7个小圆周长之和大于大圆的周长C.大圆周长与7个小圆周长一样长D.无法判断【解析】答案为Co2IIR(28)正方形分解法【例题】一个正方形可否剪成 9个正方形？能否剪成11个大小不等的小正 方形？A前者不能，后者能 B前者能，后者不能 C两者都不能D两者都能【解析】答案为Bo前者每边三等份即可；后者显 然不可。(29)求三角形的数目与度数法【例题】下图的五边形由三个三角形组成，问五边形内角之和为多少度？【

18、解析】答案为BA.3600B.5400C.480°D.720180 M (30)棋子投放法【例题】小马与小赵共有珍珠100颗，如果小马先将自己的20颗送给小赵， 之后小赵又将自己现有珠子中的 30颗送给小马，则两人拥有的珠子数相等，问 小马与小赵原有珠子各多少颗？A.50,50B.60,40C.40,60D.45,55【解析】答案为 C。(31)求正方体表面积法【例题】在一个边长为3寸的立方体的一个表面上，再粘上一个边长为2寸 的小正立方体，然后再将新立方体的表面涂成红色，则红色表面积共有多少平方寸？A 84 B 74 C 70D62【解析】答案为C。3M>6+ 2>2&

19、gt;6-2>2>2 = 70 (32)被个位数整除法【例题】整数42具有可被它的个位数字所整除的性质。试问在 10和40之 间有多少个整数具有这种性质？。A.10 B.12 C.14 D.16【解析】答案为B。11.12.15.-21.22.24.25.-31.32.33.35.36. (33)戏票价递增法【例题】某电影院有2500个座位。当每张票售价20元时票能售完，若每张 票增加5元时，就要少售出100张，如果某场仅售出2000张，问该影院最多可 收入多少元？A.70000B.80000C.90000D.100000【解析】答案为 C。设每张 X 元，则：2500-(X-20

20、) 5X100= 2000,求得 X = 45 元，收入为 2000X45 = 90000 元 (34)任期算法【例题】假如某社规定，每位主任都任职一届，一届任期 4年，那么10年 期间该社最多有几位主任任职？A.3B.4C.5D.6【解析】答案为B。10M+1+1=4(35)求整数的最大值与平均值法【例题】假设三个相异正整数中的最大数的最大（小）值是54,则三个数的最 小平均值是多少？A.17B.19 C.21D.23【解析】答案为 B。根据题意，X+Y + Z>l+ 2+54,则（X+Y + Z）+3>（42 + 54）+3 19 （36）均分物品的算法【例题】一个由劳动者组成

21、的临时班在完成任务之后要解散了， 班长把大伙 儿共有物品分成若干份后全部分给了各位劳动者。其分配的规则是：第一个人拿 一份物品和剩下的1/10,第二个人拿两份物品和剩下的1/10,第三个人拿3份物 品和剩下的1/10,以此类推，结果所有劳动者拿到的物品都一样多。 问该班共有 多少个劳动者？A. 5 B. 9 C. 15D.21【解析】答案为B。设有X个劳动者。当第X个劳动者拿了 X份财物，就不再有剩下的1/10 了，此为解 题之关键。X=1 + （X 欢-1）/10;解得 X = 9（37）传球排序计算法【例题】4人进行篮球传球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲 发球，作为第一次传球，若

22、第5次传球后，球又回到甲手中（5种传球方式），则共 有传球方式多少种？A 60 B 65 C 70 D 75【解析】答案为A。:公务员考试行测数量关系49个常见问题公式法巧解一.页码问题对多少页出现多少1或2的公式如果是X千里找几，公式是1000+X00*3如果是X百里找几，就是 100+X0*2 , X有多少个0就*多少。依次类推！请注意，要找的数一定要小于X , 如果大于X就不要加1000或者100一类的了，比如，7000页中有多少3就是1000+700*3=3100（个）20000页中有多少6就是2000*4=8000 （个）友情提示，如3000页中有多少3,就是300*3+1=901,

23、请不要把3000的3忘了 二，握手问题N个人彼此握手，则总握手数S=(n-1)a1+a(n-1)/2=(n-1)1+1+(n-2)/2=r1A2-n/2 =N x (N-1)/2例题：某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握手，整个游戏一共握手152次，请问这个班的同学有()人A、16 B、17 C、18 D、19【解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的多边形对角线的原理在解决此题。按照排列组合假设总数为X人 则Cx取3=152但是在计算X时却是相当的麻烦。我们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则这个人需要握x-3次手。每个人都是这样。则总共握了

24、xx (x-3)次手。但是没2个人之间的握手都重复计算了 1次。 则实际的握手次数是xX (x-3)+2=152计算的x=19人三，钟表重合公式钟表几分重合，公式为：x/5=(x+a)/60 a时钟前面的格数四，时钟成角度的问题设X时时，夹角为30X , Y分时，分针追时针5.5,设夹角为A.(请大家学 握)钟面分12大格60小格每一大格为360除以12等于30度，每过一分钟分针走6 度，时针走0.5度，能追5.5度。1. 30X-5.5Y或是360-【30X-5.5Y表示绝对值的意义(求角度公式)变式与应用2. 30X-5.5Y二人或360- 30X-5.5Y =A (已知角度或时针或分针求

25、其中 一个角)五，往返平均速度公式及其应用(引用)某人以速度a从A地到达B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的平 均速度 v=2ab/(a+b )。证明：设A、B两地相距S,则往返总M程2S,往返总共花费时间s/a+s/b故 v=2s/（s/a+s/b）=2ab/（a+b）六，空心方阵的总数空心方阵的总数=（最外层边人（物）数-空心方阵的层数）乂空心方阵的层数 X4=最外层的每一边的人数A2-（最外层每边人数-2*层数）A2=每层的边数相加X4 -4X层数空心方阵最外层每边人数=总人数/4/层数+层数方阵的基本特点： 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同. 每向里一层边上的人数就

26、少2; 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系： 中实方阵总人（或物）数=（每边人（或物）数）2=（最外层总人数+ 4+1）2例： 某部队排成一方阵，最外层人数是80人，问方阵共有多少官兵？（441 人）1) 某校学生刚好排成一个方队，最外层每边的人数是 24人，问该方阵有多 少名学生？（576名）解题方法：方阵人数=（外层人数+ 4+1）2=（每边人数）2参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要 使这个正方形队列减少一行和一列， 则要减少33人。问参加团体操表演的运动员 有多少人？（289人）解题方法：去掉的总人数=原每行人数X 2 -1 =减少后每行人数X 2+1典

27、型例题：某个军队举行列队表演，已知这个长方形的队阵最外围有 32人， 若以长和宽作为边长排出2个正方形的方阵需要180人。则原来长方形的队阵总人 数是（）A、64, B、72 C、96 D、100【解析】这个题目经过改编融合了代数知识中的平方和知识点。长方形的 （长+宽）X2=32+4得到长+宽=18。 可能这里面大家对于长+宽=18有些难以计算。你可以假设去掉4个点的人先不算。长+宽（不含两端的人）X2+4（4个端点的人尸32 ,则计算出不含端点的长+宽=14考虑到各自的2端点所以实际的长宽之和是14+2+2=18。求长方形的人 数,实际上是求长X宽。根据条件长X长+宽X宽=180综合（长+

28、宽）的平方=<X长+宽X宽+2X长X宽=18X 18带入计算即得到 Bo其实在我们得到长宽之和 为18时，我们就可以通过估算的方法得到选项 B七，青蛙跳井问题例如：青蛙从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样 青蛙需跳几次方可出井?（6）单杠上挂着一条4米长的爬纯，小赵每次向上爬1米又滑下半米来，问小赵 几次才能爬上单杠?（7）总解题方法：完成任务的次数=井深或纯长-每次滑下米数（遇到半米要将 前面的单位转化成半米）例如第二题中，每次下滑半米，要将前面的 4米转换成8个半米再计算。完成任务的次数二（总长-单长）/实际单长+1八，容斥原理总公式：满足条件一的个数十满足条件

29、2的个数-两个都满足的个数=总个数- 两个都不满足的个数【国2006一类-42现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正 确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验 都做对的有多少人？ A.27人B.25人C.19人D.10人上题就是数学运算试题当中经常会出现的“两集合问题”，这类问题一般比较简单，使用容斥原理或者简单画图便可解决。但使用容斥原理对思维要求比较 高，而画图浪费时间比较多。鉴于此类问题一般都按照类似的模式来出，下面华图名师李委明给出一个通解公式，希望对大家解题能有帮助：例如上题，代入公式就应该是：40+31-x=50-4 ,得到x=25。我

30、们再看看其 它题目：【国2004A-46】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及 格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有 4人，那么两 次考试都及格的人数是多少 ？A.22 B.18 C.28 D.26代入公式：26+24-x=32-4 ,得到x=22九，传球问题这道传球问题是一道非常复杂麻烦的排列组合问题。【李委明解三】不免投机取巧，但最有效果 (根据对称性很容易判断结果应 该是3的倍数，如果答案只有一个3的倍数，便能快速得到答案)，也给了一个启 发传球问题核心公式N个人传M次球，记X=(N-1)AM/N ,则与X最接近的整数为传给“非自己 的某人”的方法

31、数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。 大家牢记一条 公式，可以解决此类至少三人传球的所有问题。四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并 作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式：A.60种 B.65 种 C.70 种 D.75 种x=(4-1)A5/4 x=60十，圆分平面公式：NA2-N+2,N是圆的个数H一，剪刀剪绳对折N次，剪M刀，可成M*2An+假将一根绳子连续对折3次,然后每隔一定长度剪一刀，共剪6刀。问这样操作 后，原来的绳子被剪成了几段？A.18段 B.49 段 C.42 段 D.52 段十二，四个连续自然数，性质一，为两个

32、积数和两个偶数，它们的和可以被2整除，但是不能被4整除性质二，他们的积+1是一个奇数的完全平方数十三，骨牌公式公式是：小于等于总数的2的N次方的最大值就是最后剩下的序号十四，指针重合公式关于钟表指针重合的问题，有一个固定的公式：61T=S(S为题目中最小的单 位在题目所要求的时间内所走的格书，确定 S后算出T的最大值知道相遇多少 次。)十五，图色公式公式：(大正方形的边长的3次方)一(大正方形的边长一2)的3次方。十六，装错信封问题小明给住在五个国家的五位朋友分别写信，这些信都装错的情况共有多少种44种f(n)=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+(-1)n(1/n!)或者可以用下面的公式

33、解答装错1信0种装错2信：1种装错3信：2种装错4信：9种装错2信：5种44递推公式是 S(n)=n.S(n-1)+(-1)An如果是6封信装错的话就是265一十七，伯努利概率模型某人一次涉及击中靶的概率是3/5 ,设计三次，至少两次中靶的概率是集中概率3/5,则没集中概率2/5,即为两次集中的概率十三次集中的概率公式为 C(2,3)*(3/5)A2*(2/5)A1+C(3,3)(3/5)A3*(2/5)A081/125十八，圆相交的交点问题N个圆相交最多可以有多少个交点的问题分析N*(N-1)十九，约数个数问题M=AAX*BAY则M的约数个数是(X+1)(Y+1)360这个数的约数有多少个？

34、这些约数的和是多少？解360=2X2X2X3X3X 5,所以360的任何一个约数都等于至多三个 2(可 以是零个，下同)，至多两个3和至多一个5的积。如果我们把下面的式子(1+2+4+8) X (1+3+9) X(1+5)展开成一个和式，和式中的每一个加数都是在每个括号里各取一个数相乘的 积。由前面的分析不难看出，360的每一个约数都恰好是这个展开式中的一个加 数。由于第一个括号里有4个数，第二个括号里有3个数，第三个括号里有2个数， 所以这个展开式中的加数个数为4X3X2=24,而这也就是360的约数的个数。另 一方面，360的所有约数的和就等于这个展开式的和，因而也就等于(1+2+4+8)

35、 X (1+3+9) X(1+5)=15X13X6=1, 170答：360的约数有24个，这些约数的和是1, 170。甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是 2800,那么甲 数和乙数分别是多少？解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可 以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它 的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.2800=24X 52X7.在它含有的约数中是完全平方数，只有1, 22, 24, 52, 22X52, 24X52.在这6个数中只有22X52=100,它的约数是(2+1) X(2+1)=9(

36、个).2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100=22X 52,因此乙数 至少要含有24和7,而24X7=112恰女?有(4+1) X (1+1)=10(个)约数，从而乙数就 是112.综合起来，甲数是100,乙数是112.二十，吃糖的方法当有n块糖时，有2A(n-1)种吃法。二H一，隔两个划数1987=3A6+12581258+ 2X3+1=1888即剩下的是1888减去1能被3整除二十二，边长求三角形的个数三边均为整数，且最长边为11的三角形有多少个？asdfqwer的最后解答：11,11,11;11,11,10;11,11,9;.11,11,1;11,10,10;11,10

37、,9;.11,10,2;11,9,9;.11,9,3;11,8,8;.11,8,4;11,7,7,.11,7,5;11,6.6;1+3+5+7+9+11=6A2=36如果将11改为n的话，n=2k-1时，为kA2个三角形；n=2k时，为(k+1)k个三角形。二十三，2乘以多少个奇数的问题如果N是1, 2, 3,，1998, 1999, 2000的最小公倍数，那么 N等于多少 个2与1个奇数的积？解：13 2A10=1024, 2A11=2048>2000,每个不大于2000的自然数表示为质因 数相乘，其中2的个数不多于10个，而1024=2A10,所以，N等于10个2与某个奇 数的积。二

38、十四，直线分圆的图形数设直线的条数为N则总数=1+N（1+N）/2将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50 个小纸片，至少要画多少条直线？请说明.解我们来一条一条地画直线。画第一条直线将圆形纸片划分成2块.画第 二条直线，如果与第一条直线在圆内相交，则将圆形纸片划分成4块（增加了 2块）， 否则只能划分成3块.类似地，画第三条直线，如果与前两条直线都在圆内相交， 且交点互不相同（即没有3条直线交于一点），则将圆形纸片划分成7块（增加了 3 块），否则划分的块数少于7块.下图是画3条直线的各种情形由此可见，若希望将纸片划分成尽可能多的块数，应该使新画出的直线与原有的直

39、线都在圆内相交，且交点互不相同.这时增加的块数等于直线的条数。（为 什么？）这样划分出的块数，我们列个表来观察：直线条数纸片最多划分成的块数1 1+121+1+231+1+2+341+1+2+3+45 1+1+2+3+4+5不难看出，表中每行右边的数等于1加上从1到行数的所有整数的和。（为什 么?）我们把问题化为：自第几行起右边的数不小于 50?我们知道1+1+2+3+ +10=56, 1+1+2+3+ +9=46,可见9行右边还不到50,而第10行右边已经超过50了。答：至少要画10条直线。二十五，公交车超骑车人和行人的问题一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人的速度是步行人的3倍

40、，每个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人。每个隔20分钟有一辆公交车超过 一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发 一辆公交车？此类题通解公式:a=超行人时间，b=®自行车时间，m6速, B自行车速则每隔 t 分钟发车;t=(abn-abm)/(bn-am),令 M=1 N=3 解得 T=8。二十六，公交车前后超行人问题小明放学后，沿某公交路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速 度不停的运行，每隔9分钟就有一辆公共汽车从后面超过他 ，每隔7分钟就遇到迎 面开来的一辆公共汽车，问该路公共汽车每隔多少分钟发一辆车？此类题有个通解公式：如果a分钟追上，

41、b分钟相遇，则是2ab/(a+b)分钟发一次车二十七，象棋比赛人数问题象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局胜者记2分，负者记0分，和棋各记1分，四位观众统计了比赛中全部选手得分总数分别是：1979,1980, 1984, 1985,经核实只有一位观众统计正确，则这次比赛的选手共有多少 名？A.44 B.45 C.46 D.47解析：44*43=1892, 45*44=1980 , 46*45=2070 所以选 B二十八，频率和单次频度都不同问题猎犬发现在离它9米远的前方有一只奔跑着的兔子，立刻追赶，猎犬的步子 大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子动作快，猎犬跑2步的时间，兔子跑

42、3 步。猎犬至少跑多少米才能追上兔子？()A. 67B. 54C. 49D. 34 答案 b分析：猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子动作快，猎犬跑 2步的时间，兔子跑3步.可知猎犬和兔子的速度比是6:5, s/(s-9)=6/5 , s=54二十九，上楼梯问题一般来说上电梯有 a1=1 a2=2 a3=4 a4=a1+a2+a3所以一般公式是 an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)三十，牛吃草公式核心公式：草场草量=(牛数-每天长草量)*天数例如:10牛可吃20天,15牛可吃10天，则25牛可吃多少天解：可用公式,设每天恰可供X头牛吃一天，25牛可吃N天则(10-X)*2

43、0=(15-X)*10=(25-X)*N,可得 X=5,Y=5三十一，十字相乘法十字相乘法使用时要注意几点：第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。(2007年国考)某班男生比女生人数多80% 一次考试后，全班平均成级为 75分，而女生的平均分比男生的平均分高 20%,则此班女生的平均分是：A .84分B . 85 分C . 86 分D . 87 分答案：A分析：假设女生的平均成绩为X,男生的平均Y。男生与女生的比例是9: 5。男生：Y 975女生：X 5根据十字相乘法原理可以知道X=846)

44、(2007年国考).某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2 % . 其中本科毕业生比上年度减少2% .而研究生毕业数量比上年度增加10 % ,那 么，这所高校今年毕业的本科生有：A .3920 人 B .4410 人 C .4900 人 D .5490 人答案：C分析：去年毕业生一共7500人。7650/(1+2%)=7500人。本科生：-2% 8%2%研究生：10% 4%本科生：研究生=8% 4%=2 1。7500*(2/3)=50005000*0.98=4900三十二，兔子问题An=A(n-1)An(n-2)已知一对幼兔能在一月内长成一对成年兔子，一对成年兔子能在一月内生出一

45、对幼兔。如果现在给你一对幼兔，问一年后共有多少对兔子？析：1月：1对幼兔2月:1对成兔3月;1对成兔.1对幼兔4;2对成兔.1对幼兔5;3对成兔.2对幼兔6;5对成兔.3对幼兔可看出规律：1,1,2,3,5,8(第三数是前两数之和)，可求出第12项为:13,21,34,55,89,144,答：有144只兔三十三，称重量整码最少的问题例题：要用天平称出1克、2克、3克40克这些不同的整数克重量，至少 要用多少个整码？这些整码的重量分别是多少？分析与解：一般天平两边都可放整码，我们从最简单的情形开始研究。(1)称重1克，只能用一个1克的整码，故1克的一个整码是必须的。(2)称重2克，有3种方案：增

46、加一个1克的整码；用一个2克的整码；用一个3克的整码，称重时，把一个1克的整码放在称重盘内，把3克的整 码放在整码盘内。从数学角度看，就是利用 3-1=2。（3）称重3克，用上面的两个方案，不用再增加整码，因此方案淘汰。（4）称重4克，用上面的方案，不用再增加整码，因此方案也被淘汰。总 之，用1克、3克两个整码就可以称出（3+1）克以内的任意整数克重。（5）接着思索可以进行一次飞跃，称重5克时可以利用9-（3+1）=5 ,即用一个9克重的整码放在整码盘内，1克、3克两个整码放在称 重盘内。这样，可以依次称到1+3+9=13（克）以内的任意整数克重。而要称14克时，按上述规律增加一个整码，其重为

47、14+13=27（克）,可以称到1+3+9+27=40a）以内的任意整数克重。总之，整码重量为1, 3, 32, 33克时，所用整码最少，称重最大，这也是本 题的答案三十三，文示图红圈： 球赛。 蓝圈： 电影 绿圈：戏剧。X表示只喜欢球赛的人；Y表示只喜欢电影的人；Z表示只喜欢戏剧的人a表示喜欢球赛和电影的人。仅此2项。不喜欢戏剧b表示喜欢电影和戏剧的人。仅此2项。不喜欢球赛c表示喜欢球赛和戏剧的人。仅此2项 不喜欢电影。中间的阴影部分则表示三者都喜欢的。我们用 T表示。回顾上面的7个部分。X, y,z,a,b,c,T都是相互独立。互不重复的部 分现在开始对这些部分规类。X+y+z=1只喜欢一

48、项的人我们叫做Aa+b+c=#N喜欢2项的人我们叫做BT就是我们所说的三项都喜欢的人x+a+c+T=!喜欢球赛的人数构成一个红圈y+a+b+T=!喜欢电影的人数 构成一个蓝圈z+b+c+T=!喜欢戏剧的人数构成一个绿圈三个公式。A+B+T=总人数(2)人+28+3丁=至少喜欢1个的人数和7) ) B+3T=至少喜欢2个的人数和例题：学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人 喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧 (但 不喜欢看电影)的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧(但不喜欢看球赛)的有4人, 三种都喜欢的有12人。通过这个题目我们看 因

49、为每个人都至少喜欢三项中的一项。则我们用三个 圈红，绿，蓝代表球赛。戏剧、和电影。A+B+T=100 A+2B+3T=148 T=12则可以直接计算只喜欢一项的和只喜欢两项的A=64 B=24典型例题：甲，乙，丙三个人共解出20道数学题，每人都解出了其中的12道题, 每道题都有人解出.只有一人解出的题叫做难题，只有两人解出的题叫做中等题 三人解出的题叫做容易题，难题比容易题多()题？A、6 B、5 C、4 D、3【解析】第三题需要结合文氏图来理解了，画图会很清楚的我们设a表示简单题目，b表示中档题目c表示难题a+b+c=20c+2b+3a=12x 3这个式子式文氏图中必须要记住和理解的将a+b

50、+c=2渡成2a+2b+2c=40减去上面的第2个式子得到：c-a=4答案出来了可能很多人都说这个方法太耗时了，的确。在开始使用这样方法的时候费时 不少。当当完全了解熟练运用a+2b+3c这个公式时，你会发现再难的题目也不会 超过1分钟。三十四，九宫图问题此公式只限于奇数行列步骤1:按照斜线的顺序把数字按照从小到大的顺序，依次斜线填写 ！步骤2:然后将3 X璐以外格子的数字折翻过来，最左边的放到最右边，最右边的放到最左边最上边的放到最下边，最下边的放到最上边这样你再看中间3X璐子的数字是否已经满足题目的要求了呵呵！三十五，用比例法解行程问题行程问题一直是国家考试中比较重要的一环，其应用之广恐无

51、及其右者。行程问题的计算量按照基础做法不得不说非常大。所以掌握简单的方法尤为重要。当然简单的方法需要对题目的基础知识的全面了掌握和理解。在细说之前我们先来了解如下几个关系：路程为So速度为V时间为TS=VT V=S/T T=S/VS相同的情况下：V跟T成反比V相同的情况下：S跟T成正比T相同的情况下：S跟V成正比注：比例点数差也是实际差值对应的比例！理解基本概念后，具体题目来分 析例一、甲乙2人分别从相距20仃米的AB两地开车同时往对方的方向行驶。到达对方始发点后返回行驶，按照这样的情况，2人第4次相遇时甲比乙多行了 280 千米 已知甲的速度为60千米每小时。则乙的速度为多少？分析：这个题目

52、算是一个相遇问题的入门级的题目。 我们先从基础的方法入 手，要多给自己提问 求乙的速度 即要知道乙的行驶路程S乙，乙所花的时间T 乙。这2个变量都没有告诉我们，需要我们去根据条件来求出：乙的行驶路程非常简单可以求出来。因为甲乙共经过 4次相遇。希望大家不 要嫌我罗嗦。我希望能够更透彻的把这类型的题目通过图形更清晰的展现给大 家。第一次相遇情况00000000000000000000（甲）C（乙）0000000000000000000000B（乙）AC即为第一次相遇 甲行驶的路程。BC即为乙行驶的路程则看出AC+BC=AB®者行驶品&程之和=S第2次相遇的情况A.。（乙）D（甲

53、）。C。在这个图形中，我们从第一次相遇到第2次相遇来看甲从C点开始行驶的路 线是C-B-D,其路程是BC+BD乙行驶的路线则是C-A-D其行驶的路程是AC+AD可以看出第2次相遇两者的行驶路程之和是 BC+BD+AC+AD=（BC+AC）+（BD+AD）=2s理第 3, 4次相遇都是这样。则我们发现 整个过程中，除第一次相遇是一个 S外。其余3次相遇都是2S。 总路程是2X3S+S=7S根据题目,我们得到了行驶路程之和为 7X 200=1400因为甲比乙多行驶了 28仃米 则可以得到 乙是（1400- 280）+2=560则甲是 560+280=840好，现在就剩下乙的行驶时间的问题了。因为两

54、个人的行驶时间相同则通过计算甲的时间得到乙的时间 即840+ 60=14、时。所以T乙=14小时。那么我就可以求出乙的速度 V乙=$乙+ 丁乙=560+ 14=40说道这里我需要强调的是，在行程问题中，可以通过比例来迅速解答题目。比例求解法：我们假设乙的速度是V则根据时间相同，路程比等于速度比，S甲：$乙=丫甲：V乙 衍生出如下比例：(S甲+S乙)：(S甲-S乙)=(V甲+V 乙)：(V甲-V乙)得出 1400: 280=(60+V): (60-V)解得 V=40例二、甲车以每小时16仃米的速度，乙车以每小时2仃米的速度，在长为 210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次

55、，甲车减 速1/3 ,而乙车则增速1/3。问：在两车的速度刚好相等的时刻，它们共行驶了 多少千米？A. 1250 B. 940 C. 760 D. 1310【解析】 我们先来看 需要多少次相遇才能速度相等160X (2/3)的N次方=20X (4/3)的N次方N代表了次数 解得N=3说明第三 次相遇即达到速度相等第一次相遇前：开始时速度是160: 20=8: 1用时都一样，则路程之比=速度之比我们设乙行驶了 a千米 则(a+210 ): a = 8:1解得a=30第二次相遇前：速度比是 甲：乙=4: 1用时都一样，则路程之比=速度之比我们设乙从第1次相遇到第2次相遇行驶了 b千米则(b+210 ) : b = 4： 1 解得a=70第三次相遇前：速度比是 甲：乙=2: 1用时都一样，则路程之比=速度之比我们设乙从第2次相遇到第3次相遇行驶了 c千米 则(c+210 ) : c = 2: 1 解得c=210则三次乙行驶了 210+70+30=31肝米而甲比乙多出3圈则甲是210X 3+310=940则 两人总和是940+310=1250例三、一辆汽车以每小时40千米的速度从甲城