数学专业毕业论文

1、数学专业毕业论文作者:日期:数学专业毕业论文摘要I1绪论21.1课题的研究意义2.1. 2国内外研究现状2.1. 3研究目标3.2关于独立分布的中心极限定理的探讨 4.2. 1中心极限定理的提法 4.2. 2独立同分布情形的两个定理. 42. 2. 1林德伯格-勒维中心极限定理 52.2. 2莫弗拉普拉斯定理 6.2. 3独立不同分布情形下的中心极限定理 72. 3. 1林德贝格中心极限定理 7.2. 3. 2李雅普诺夫中心极限定理 122. 4本章小结133中心极限定理在商业管理中的应用 153. 1水房拥挤问题1.54. 2设座问题175. 3盈利问题183. 4抽样检验问题1.93.5供

2、应问题23结语24.参考文献25.附录26.中心极限定理探讨及应用摘 要：本文从随机变量序列的各种收敛与它们间的关系谈起，通过对概率论的经典 定理一中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐 述，揭示了随机现象最根本的性质一平均结果的稳定性.经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示的理论依据.同样中心极限定理的内容也从独立同分布与独立不同分布两个角度来进行讨论；最后给出了一些中心极限定理在数理统计、管理决策、近似计算、以及保险业等方面的应用，来进一步地 阐明了中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值.关键词：弱收敛;独立随机变量；

3、特征函数；中心极限定理.1绪论1 . 1课题的研究意义 1 一 .、 概率统计学是一门研究随机现象统计规律性 的数学学科，它的应用十分广泛，涉及自然科学、社会经济学科、工程技术及军事科学、农医学科、企业管理部门等.而 大数定律和中心极限定理是概率论中最重要的内容之一，甚至可以说概率论的真正历史开始于极限定理的研究，在这以前概率论还仅局限于古典概率的直接计算，而且主 要是赌博中的概率计算.极限定理最早的成果有：伯努利大数定律，棣莫佛一拉普拉斯定理和泊松定理，这些定理开辟了概率论中的重要研究方向一大数定律、中心极限 定理及以正态分布和泊松分布为代表的无穷可分分布的研究.概率论中讨论随机变量序列部分

4、和的分布渐近于正态分布的一类定理是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景.在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响， 如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的.中心 极限定理就是从数学上证明了这一现象. 最早的中心极限定理是讨论n重伯努利试验 中，某事件A出现的次数渐近于正态分布的问题 .1716年前后，棣莫佛对n重伯努 利试验中每次试验事件 A出现的概率为1/2的情况进行了讨论，随后，拉普拉斯和李 亚普诺夫等进行了推广和改进.自莱维在1919-1925年系统地建立了特征函数理论起， 中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定

5、理和局部极限定理 等.无论是在概率论的发展史上还是在现代概率论中，极限定理的研究都占特别重要 的地位，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美.长期以来，对于极限 定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展.同时新的极限理论问题 也在实际中不断产生.这样中心极限定理在概率论中占有重要的地位，同时极限定理 的研究引起了现代概律论的发展，并且在统计分析和近似计算等方面具有一定的应 用，所以中心极限定理的研究具有一定的理论和实际意义.1 . 2国内外研究现状中心极限定理作为概率论的重要内容，其理论成果相对比较完善.这方面的文 章较多，它们的结果也比较完美.但是他们注重于研究单一的方向

6、，而几个定律之间 的关系和应用方面的较少.出于这种现状本文通过对独立条件下的中心极限定理做系 统的分析，主要研究和讨论几个中心极限定理之间的关系以及中心极限定理所揭示的理论意义和他们的应用.同时对文中出现的定理和结论做系统的分析和证明，所以对 教学和科研方面具有一定的参考价值.1. . 3研究目标通过对独立随机序列的中心极限定理做系统的分析，阐明中心极限定理它们之 问的关系以及举例说明中心极限定理在实际问题中的应用为教学和科研供参考.2关于独立分布的中心极限定理的探讨凡是在一定条件下断定随机变量之和的极限分布是正态分布的定理，在概率论中统称中心极限定理.具体一点说，中心极限定理回答的是 （独立

7、或弱相依）随机变量之 和的极限分布在什么条件下是正态的.中心极限定理是揭示产生正态分布的源泉，是 应用正态分布来解决各种实际问题的理论基础.2. 1中心极限定理的提法直观上，如果一随机变量决定于大量（乃至无穷多个）随机.因素的总合，其中每 个随机因素的单独作用微不足道，而且各因素的作用相对均匀，那么它就服从（或近似地服从）正态分布，下面我们将按严格的数学形式来表述这一直观.在许多情形下，一随机变量X可以表示为或近似地表示为大量独立随机变量(a)之和，X这里，每个i直观上表示一种随机因素的效应，假如式（a）包含了决定X的充分多 的随机因素的效应（即n充分大），则 i的分布就近似于X的分布.中心极

8、限定理就是要说明，在什么条件下大量独立随机变量之和近似地服从正态分布，即，在什么条件下，当n 时，独立随机变量之和的极限分布是正态分布的.中心极限定理的名称最早是由仆里耶（1920年）提出来的，中心极限定理的一般形 式最早是由切比雪夫（1821年一1894年）提出来的下面我们介绍四个主要定理：1）林德 伯格勒维定理2）棣莫弗一拉普拉斯定理2）林德伯格定理3）李雅普诺夫定理.其中林 德伯格定理是最一般的，其它情形可以看作它的推论.3. 2独立同分布情形的两个定理.中心极限定理有多种不同的形式，它们的结论相同，区别仅在于加在各被加项1, 2,上的条件不同.独立同分布随机变量列的中心极限定理，是中心

9、极限定理最简单又最常用（特别在数理统计中）的一种形式，通常称做林德伯格-勒维定理.历史 上最早的中心极限定理一棣莫弗一拉普拉斯 （积分）定理是它的特殊情形.设k（k 1,2,）的方差D ，大于0,令(D如果关于 x Ri均匀的有t2 x _e 2dt.(2)nak E k,b2 Dk,B：4k 1我们说，随机变数列k服从中心极限定理, c 1 n ,、1lim P ( k aj x n Bn k 1 21 n(2)表示：随机变量数 一 (k a。的分布函数关于x均匀的趋于正态分布Bn k1N(0,1)的分布函数.独立同分布的两个定理：2. 2. 1林德伯格-勒维中心极限定理设x1,x2, ,x

10、n,相互独立，服从同一分布，具有数学期望和方差：X1 X2 . Xn nE(x) ,Var(x) 2 0.记工则对任意实数y ,有1 y T,、nlim p(Yny) (y) 亚= e 2dt.(3)证明 为证(1)式，只须证 工 的分布函数列若收敛于标准正态分布.又由定 理4. 3. 4 ,只须证K 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数.为此设Xn的特征函数为(t),则Yn的特征函数为n 丫；，)又因为E(Xn)0,Var(Xn )2,所以有2(0) 0,(0)于是特征函数(t)有展开式(0)t2(0)t万(t2)(t2)从而有lim 丫*代) lim nYnn2nt2(2 )nt2t2

11、而e正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证.例1某汽车销售点每天出售的汽车辆数服从参数为 大都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的 的概率.2的泊松分布.若一年365，求一年中售出700辆以上汽车解:设x某汽车销售点每天出售的汽车辆数，则Yxix2*365，为一年的总销量.由 E(xi) Var(xi) 2 ,知 E(Y) Var(Y) 3652 730 .利用林德贝格-勒维中心极限定理可得,P(Y 700) 1 P(Y 700) 1(77m1( m o.8665这表明一年中售出700辆以上汽车的概率为0. 86652. 2. 2-莫弗一一拉普拉斯定理在n重贝努里试验中，事件 A在每

12、次试验中出现的概率为 p(0<p<1),。为口次试验中事件A出现的次数，且记Ynn np且对任意实数y ,有limnP(Yny)(y) ,re 2 dt.此定理由定理1马上就得出，也就是说定理 2是定理的推论.例2某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%,以x表示在 随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.(1)写出X的分布列；(2)求被盗户不少于14户且不多于30户的概率近似值.解：(1) x服从n 100, p 0.2的二项分布b(100,2)，即p(x k) n 0.2k0.8100 k,k 1,2, ,n k(13.5 100 0.2 )10

13、0 0.2 0.8(2)利用隶莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有30.5 100 0.2p(14 x 30) p(13.5 x 30.5)( ),100 0.2 0.8(2.625)( 1.625)(2.625) 1(1.625) 0.99565 1 0.948 0.9437 这表明被盗户不少于14户且不多于30户的概率近似值为0. 9437.2. 3独立不同分布情形下的中心极限定理对于独立同分布随机变量序列 1, 2,只要它们的方差有穷，中心极限定理就成立.而在实际问题中说诸i具有独立性是常见的，但是很难说诸 i是“同分布”的随机变量，正如前面提到的测量误差Yn的产生是由大量“微小的”相互独立的

14、随机因素n叠加而成的，即Yni则i间具有独立性，但不一定同分布，所以我们有必要讨论i 1独立不同分布随机变量和的极限分布问题，目的是给出极限分布为正态分布的条 件.林德伯格(Lidebe于1922年找到了独立随机变量服从中心极限定理的最一般的 条件，通常称做林德伯格条件.2. 3. 1林德贝格中心极限定理设独立随机变量序列Xn满足林德贝格条件，则对任意的x,有1 n1 x -lim P (Xi i) xe 2dt.nBn i 1,.2为证此，先证下列三个不等式：对任意实数a,有eia 1 a ;2eia1 ia (5)2!iae 1 ia3!(6)实际上，对a 0上三式明显.设a 0,则.一a

15、 .ia /ix e 1 e dx a ;03a ivae1ia ° (e1)dx ° xdx2eia1ia(eix1 ix) dx202!，ix e1 ixdx2 a x dx0 2!3!利用eacos a isin a ,可见(4) (5) (6)方都是a的偶函数，故他们对a 0也成立.定理三的证明，先把记号简化.令k3knk以 fnk(t)、Fnk(x)分别表nk的特征函数与分布函数，因而F nk(x)P( k Bnx ak)Fk(Bnx aj(8)E nkxdFnk(x)0,DnkD kBn(9)nkx2dFnk(x)1Bn(10)在这些记号下，由6)1B2nx a

16、JBn(x2ak) dFnk(x)x akBnx i(_B2 ak -)dFk(X)|y Bny2dFnk(y)故林德贝格条件可化为:对任意0,nlimn k 1x2dFnk(x)0；(11)而(2)式化为：对均匀的有lim Pnnnk k 1112一t2e 2dt.(12)如果在条件(11)下，能够证明n nk的特征函数 k 1nn(t)fnk(t)k 1t2e 2 (n)亦即t2(13)(12)中收敛对x R成立则问题得证(14)实际上，由(9)中前一式fnk(t)1(eitx 1 itx)dFnk(x)nlog n(t) log fnk(t)k 1.4. 一 .、一那么根据定理3. 2.

17、 3 , (12)成立；再由定理3. 1. 3,还是均匀的，于是定理3得以证明.现在也就是只要证出(13) 为了证明(13),分两步.(甲)先证log n(t)可展开为nlog n(t)( fnk(t) 1) R(t),k 1其中函数Rn(t)在任意有穷t区间内趋于0(15)根据(5)fnk(t)x2dFnk(X)|x|dFnk(x)x X%其中0任意.k(1 klxX2dFnk(x)由(11),对一切充分大的n 有,x2dFnk(x)n)及任何有限区间T,T中的t,同时有fnk(t)12.2.max. fnk (t)1(16)2(1 k n);从而2因而对任意tT,T ,均匀的有特别，当（1

18、7）T,T时，对一切充分大的n,fnk(t)因此，在T,T中，有展开式nlog n(t) logk 1fnk(t)n(fnk(t)1)k 1其中Q(t)由（18）R(t)fnk(t)但由（16）中第一个不等式及fnk(t)10)t2 nRn(t)t2max2 1 k nlim maxn 1 k nfnk(t) 1(18)log 1(fnk(t)1Rn(t)o2(f1)s(I nk(t) 1fnk(t)1 n2ki1fnk(t)fnk(t)fnk(t)1)12(19)max1 k nfnk(t)fnk(t)x2dFnk(x)由（17）可见当n 时，关于任意有穷区间T,T中的t均匀的有Rn(t)0

19、(乙)令(20)t2 n(t)-nitx一(e 1 itx)dFnk(x)k 1由（15）得n(fnk(t)k 1n(t) .(21)如果能够证明：对任意有穷区间T,T中的t均匀的有lim n(t) 0.n(22)那么以（21）代入（14）并联合（甲）中的结论即得证（13），而且（13）中的收敛对任意有穷区间内的t均匀,从而定理得以完全证明.今证（22）,由(10)2nk(x)n(t)lxitx eitx蚓2dFnk(x)lxitx,2 2t x itx 2dFnk(x)由（4） （5）得n(t)jn6 k1lxlxx3dFnk(x)x2dFnk(x)n t2ix k 1 1 1x2dFnk(

20、x)nt2k 1x2dFnk(x)由（10）可见:n(t)I：6T2x2dFnk(x)(23)对任意 0,可选I：6又由（11）,存在正整数N N（T,）,使对此及n N ,有ix x dFnk(x)T72k 12 I(24)于是当n N时，对一切t T,T ,有n(t)如对独立随机变数列k ,存在常数0 ,使当n 时有17B n k12ak(25)2. 3. 2李雅普诺夫中心极限定理则（2）对x均匀的成立.证.只要验证林德贝格条件满足，由（25）2 _ak) dFk(x)1 nB2n( B) k1akBnx ak2dFk(x)1，nEB2 n k12k ak0,(n)例3 一份考卷由99个题

21、目组成，并按由易到难顺序排列.某学生答对第1题的概 率为0 . 99;答对第2题的概率为0 . 98; 一般地，他答对第i题的概率为1 i/100, i 1,2,L .加入该学生回答各题目是相互独立的，并且要正确回答其中60个题目以上（包括60个）才算通过考试.试计算该学生通过考试的可能性多大? 解设X.1,若学生答对第啊i 0,若学生答错第i题.于是Xi相互独立，且服从不同的二点分布:p(Xi1) Pi 1 i100, p(Xi0) 1 Pi i100, i 1,2,U,99而我们要求的是99p( Xi 60) . i 1为使用中心极限定理，我们可以设想从X100开始的随机变量都与X99同分

22、布.且相互独立.下面我们用1来验证随机变量序列Xn满足李雅普诺夫条件(25),因为Bn , n Var(Xi)： r(1 pD,(n),于是E(Xi p)Pi3(1 Pi)Pi(1Pi)3Pi(1Pi),I3于 E(Xi Pi| )Bn i 10 (n),即Xn满足李雅普诺夫条件Pi(1P )i 125),所以可以使用中心极限定理.又因为9999E( Xi) Pii 1i 19911(1 嵩)49.599B99Var(Xi)i 199(1i 1)()16.665100 100所以该学生通过考试的可能性为99P( Xi 160)99Xi 49.5p二16.66560 49.5 、16.6651(

23、2.5735) 0.005 .由此看出：此学生通过考试的可能性很小，大约只有千分之五.这一章从独随机变量之和的极限分布为正态分布的定理引入了中心极限定理的 内容，可分为分独立同分布和不同分布两种情况下讨论随机变量的分布趋于正态分布 的情况.由于极限定理的研究直接联系到大 n场合的二项分布的计算，所以我们也通过一些例子来讨论二项分别的近似计算问题.最后通过举出反例，以及在相同条件下 比较大数定律与中心极限定理，说明了中心极限定理在近似计算中更精确.至于中心 极限定理名称的得来是由于随机变量和的分布收敛于正态分布的极限定理的研究在 长达两个世纪的时间内成了概率论研究的中心课题，因此也得到了中心极限

24、定理的名称.3中心极限定理在商业管理中的应用3. 1水房拥挤问题假设某高校有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向学校后勤集团公司提议增设水龙头.假设后勤集团公司经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1 %的时间要占用一个(D(2)水龙头，现有水龙头数量为45个，现在总务处遇到的问题是： 未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？需至少要装多少个水龙头，才能以 95%以上的概率保证不拥挤?解:(D设同一时刻,5000个学生中占用水龙头的人数为 X ,则X B (5000, 0. 01)拥挤的概率是45p( 45) 1p(045) 1kk500

25、0 kC5000 0.010."0直接计算相当麻烦,我们利用隶莫佛-拉普拉斯定理.已知n=5000,p=0. 01 ,q=0. 99,np50, . npq 7.04.P(045)45-07.040 507.040.717.10.2389.从而p(45) 1 0.23890.7611 .怪不得同学们有不少的抱怨.拥挤的概率竟达到76. 11%.(2)欲求m,使得m 507.04P(045) 0.950 50 0.95 7.040 507.047.090查标准正态分布表，得故需要装62个水龙头. 问题的变形：m 500.957.04m 50 1.645 7.0461.6(3)需至少安装

26、多少个水龙头，才能以 解：欲求m,使得99%以上的概率保证不拥挤?P(045) 0.99m 507.040 500.997.040 507.047.090. 76500.997.04查标准正态分布表，得m 507.042.325m 66.4故需要装67个水龙头.(4)若条件中已有水龙头数量改为55个，其余的条件不变，1,2两问题结果如何?55 50解：(1) p( 55) 1() 1(0.71) 0.2389 .7.04(2)同上.(5)若条件中的每个学生占用由1%提高到1. 5%,其余的条件不变，则(1),(2)两问题结果如何？解：(1)设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为 X ,

27、则X B (5000, 0. 015),已知 n=5000,p=0. 015, q=0.985, np 75,、npq 8.60.拥挤的概率是P( 45) 145 7518.603.491.拥挤的概率竟达到100%.(2)欲求m,使得P(045) 0.95即由于m 758.600 758.600.95:08.60即m-50.958.60查标准正态分布表，得口5 1.6458.60即m 89.14故需要装90个水龙头.3. 2设座问题甲、乙两戏院在竞争500名观众，假设每个观众完全随意地选择一个戏院，且观 众之间选择戏院是彼此独立的，问每个戏院至少应该设多少个座位才能保证观众因缺 少座位而离开的

28、概率小于5%.解:位，设Xi由于两个戏院的情况相同，故只需考虑甲戏院即可.设甲戏院需设m个座1,第i个观众选择甲电影院0,否则1,2,3,5000.则P(Xi 1) P(Xi 0) 0.5,i 1,1, ,5000.若用X表示选择甲戏院的观众总数，则5000X Xi i 1问题化为求m使P(X m) 0.05即P(X m) 0.95.因为E(Xi)/D(Xi) 0.5由隶莫佛-拉普拉斯中心极限定理 m 250P(X m) 0.955.5查标准正态分布表知m 250 1.645 ,5,5从而解得m 269, 即每个戏院至少应该设269个座位.3. 3盈利问题、一 5. .*盈禾I问题 ：假设一家

29、保险公司有10000个人参加保险，每人每年付 12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为 0. 006,死亡时，家属可向保险公司领得1000元, 问(1)保险公司亏本的概率有多少？(2)保险公司一年的利润不少于 40000元,60000元,80000元的概率各为多少？解： 设X为一年内死亡的人数，则 XB(10000,1.06),即巴犬=6=皈毗000689%广网* A = 0.1,-10000由德莫佛一拉普拉斯中心极限定理F保险金亏本 = PX > 1冽=1 -产 N工1201 Jf-lOOOOxO 06120-10000x0 06 1=1 一巴 L:niQQQ”Q.Q6，69946“。

30、,9州-1(7.77) 0.7809(2)设A3A2,4分别表示一年的利润不少于 40000元，60000元，80000元的事件，则p(A) pX 80P X 10000 0.06.10000 0.06 0.99480 10000 0.06,10000 0.06 0.994(2.59) 0.9952p(A2) pX 60P X 10000 0.0660 10000 0.06100000.06 0.99410000 0.06-0.994(0) 0.5P(A3) pX 40p X 10000 0.0640 10000 0.0610000 0.06 0.99410000 0.06 0.9941 (2

31、.59) 0.00483. 4抽样检验问题,、6、一-抽样检验问题：某药厂断言，该厂生产的某药品对医治一种疑难的血液病治愈率为0. 8.医院检验员任取100个服用此药的病人，如果其中多于 75个治愈，就接 受这一断言，否则就拒绝这一断言.（1）若实际上此药对这种病的治愈是 0. 8,问接 受这一断言的概率是多少？ （ 2）若实际上此药对这种病的治愈率是 0. 7,问接受这 一断言的概率是多少？解：引入随机变量表示抽查的100个人中被治愈的人数,则(1) P X75 P100Xi 100 0.8.100 0.8 0.275 100 0.8.100 0.8 0.275 100 0.8 1000.8

32、0.21.250.8944实际治愈率为(2)0. 8时，接受这一断言的概率为0. 8944.Xi 75i 1实际治愈率为0. 7时，接受这一断言的概率为0. 1379.3. 5供应问题假设某车间有200台车床独立地工作着，开工率各为0.6,开工时耗电各为1000 瓦，问供电所至少要给该车间多少电力，才能使 99. 9%的概率保证这个车间不会因 供电不足而影响生产？解：设任一时刻工作着的机床数为 X,则X服从参数为n 200, p 0.6,的二项分布，该时刻的耗电量为X千瓦，如果用k表示供电所给该车间的最少电力，则此 题所求即为：k取何值时，有k 200 0.60 200 0.60.999,20

33、0 0.6 0.4.200 0.6 0.4查表得解之得即只要给该车间141千瓦的电力，就能以99. 9%的概率保证该车间不会因电力 不足而影响生产.结语概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理.概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景.在自然界与生产中，一些现象受到许多 相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以 看作是服从正态分布的.中心极限定理就是从数学上证明了这一现象.本文主要问题 和研究方向，即系统的阐明两种分布的极限定理及进行详尽的证明，及对中心极限定 理的简单应用，可以使读者轻松牢固的掌握中心极限定理.中心极限定理，是概率论 中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理.这