数学建模---教室用电

1、教室用电的优化设计专业：电气工程及其自动化班级：电气 14-8 班学号： 2014022319（27）姓名：吕刚摘 要学校教室的资源优化配置问题， 是现如今各大学比较普遍的管理问题， 教室开放座位数与上自习的学生人数之间始终难以得到协调统一。 一方面，学校希望节约用电，提高基本资源的利用率；另一方面，学生希望能在环境较好，人数不多的教室上自习，即学生上自习的满意度要求较高。本文提出了 0-1 整数规划，多目标规划等两种方法来对教室用电等相关问题进行求解。针对问题一，求解安排开放教室的方案。 即以各教室用电的总功率最小为目标函数，建立一个整数规划模型（ 0-1 整数规划，利用 LINGO 软件进

2、行求解）得到问题一的（教室）开放方案，结果见表 1。针对问题二，以节约用电和提高学生的满意程度为目的，重新求解安排开放教室的方案，给出合理的满意程度的度量。 即考虑节约用电和提高学生的满意程度，建立了一个多目标整数规划模型。利用“极差标准化法”对教室用电的总功率和学生的满意程度指标进行了标准化处理，最后进行综合加权将多目标转化成单目标。以教室容量，上自习人数，学生满足率，教室满座率和开放的教室集中程度为约束条件， 引入分散度， 对开放的教室集中程度进行衡量，使决策更具有有效性。运用 LINGO 软件进行求解，得到了问题二新的（教室）开放方案结果见表 6。关键字： 资源优化配置整数规划分散度极差

3、标准化法LINGO 软件一、问题背景近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室内的灯却全部打开， 第二种情况是晚上上自习的总人数比较少， 但是开放的教室比较多， 即要求提供一种最节约、 最合理的管理方法。1.3 需要解决的问题1、假如学校有 8000 名同学，每个同学是否上自习相互独立， 上自习的可能性为 0.7.要使需要上自习的同学满足程度不低于 95%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过 90%。问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的 .2、假设这 8000 名同学分别住在 10 个宿舍区，现有的 45 个教室分为

4、9 个自习区，按顺序 5 个教室为 1 个区，即 1,2,3,4,5 为第 1 区， 41,42,43,44,45为第 9 区。学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系， 距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。 假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。 请给出合理的满意程度的度量， 并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的， 又能提高学生的满意程度。 另外尽量安排开放同区的教室。二、问题分析考虑问题的题设条件和要求，要解决的是学校自习教室的资源优化配置问题，在满足每题要求的前提情况下， 设计出教室开放的最节约， 最合理的优化方案，从而达到节约用电并且满足

5、同学们需求度， 资源优化配置问题是一类典型的规划问题，对于规划问题的求解步骤基本是：第一步，建立目标函数；第二步，搜索约束条件；第三步，对规划函数进行求解。2.1对问题一的分析问题问该安排哪些教室开放， 能达到节约用电的目的， 即以节约用电为目标，通过安排是否开放教室， 设计出一个最优化的合理方案。 因此可以引入 0-1 变量，运用整数规划模型建立目标函数， 再以题目中需要上自习的同学满足程度即满座率要求得出约束条件，最后用 LINGO编程求解出教室管理安排的最优方案。2.2对问题二的分析问题要求给出合理的满意程度的度量， 并重新考虑如何安排教室， 既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。

6、 即首先考虑第一区的教室数是否满足学生上自习的人数，然后建立目标函数，求出最优解，并且考虑两个方面，一是对学校来讲，节约用电是最优目的，即所使用电的总功率最小；二对于学生来说，应该尽可能的提高学生的满意度， 达到学生的需求。 对于学生的满意度的度量问题，我们以宿舍区和自习区的距离来度量满意度， 对于开放同区的教室， 引入分散度的概念来进行规划， 将用电量与学生满意度加权之差最小作为目标函数， 建立 0-1 规划模型，利用 Lingo 软件对其求解。三、模型假设1、全校学生是否上自习是相互独立事件；2、假设教室所有的座位完好， 且环境相同， 不存在同学愿不愿去坐的状况，每位同学仅占一个座位；3、

7、假设教室的灯管都完好，如果一个教室被使用，即将教室内所有灯管全部打开；4、假设学生去上自习概率不受外界客观因素的影响，如天气，病假等；5、假设学生到各个教室的意愿相同，无不想去的教室；6、假设学生上晚自习的时间相同，不存在早退晚回的情况；7、需搭建教室时，忽略不同型号教室之间搭建费用的差异；8、假设仅考虑正常上课的情况，不考虑假期教室空闲、临近考试阶段紧张复习等因素；9、所有同学都有一个相同的满足的标准，即在满座率低于一定水平时认为得到满足。四、符号定义符号定义与说明Ci第 i 个教室是否开放（ 0 表示不开放， 1 则表示为开放）Si开放的第 i 个教室的座位数Ni开放的第 i 个教室的灯管

8、数pi开放的第 i 个教室每只灯管的功率M jk从 j 宿舍区到 k 自习区的学生人数jk从 j 宿舍区到 k 自习区的学生满意度Q总体学生满意度i第 i 个教室的满座率i第 i 个教室的用电量五、模型的建立和求解5.1 问题一模型建立和求解模型建立学校有 8000 名同学，每个同学是否上自习相互独立， 上自习的可能性为 0.7. 要使需要上自习的同学满足程度不低于 95%，开放的教室满座率不低于 4/5，同时尽量不超过 90%，问该安排哪些教室开放， 能达到节约用电的目的。 设 表示学生满足率、i 表示第 i 个教室的满座率， P 代表所有开放的教室消耗的电功率，考虑到用电的总功率与开放教室

9、的方案有关， 同时用 0-1 规划模型来确定教室开放的方案，所以建立如下模型的目标函数：45首先，目标是达到节约用电的目的，即目标函数应该为min PCiNipi 。i1然后，需要上自习的同学满足程度不低于95%，即上自习的人数至少为80000.795%5320 人。最后，需要满足的限制条件为开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过 90%，即458000 0.7iC i Sii 195%190%i 80%即整数规划模型为：目标函数：45min PCi Ni pii 1约束条件：Ci1 orCi04580000.7iCi Sis.ti 195%190%i80%模型求解根据题目中建立的整数规

10、划模型，运用LINGO 软件进行编程求解，可以得到 45 个教室的开放情况及教室的满座率如下表1 所示：表 1各个教室的开放情况及教室的满座率情况教开放满座教开放满座教开放满座教开放满座教开放满座室情况率室情况率室情况率室情况率室情况率100.901010.901910.902810.903710.90200.851100.852010.902910.903810.90310.901210.902110.903010.903910.90410.901310.902210.903110.894010.90510.901410.902310.893210.904100.87610.901500.8

11、52410.903300.854200.90710.901600.852510.883410.904310.90810.901710.902610.903510.904400.80910.901810.902710.903610.904500.80其中，开放情况中 0 表示对应教室关闭， 1 表示教室开放。 总共开放教室 35 个，占教室总数的 77.78%，其中第 1， 2， 11，15， 16，33，41， 42，44， 45 教室关闭，开放的教室消耗的最少电功率为 74093.0W。5.2 问题二模型建立和求解模型建立首先，对满意度做一个合理的规定。 如果纯粹用路程的倒数来作为满意度的衡

12、量未免有失偏颇，所以假设在每个宿舍区的学生到各个自习区都有一个最大满意度，并把这个度量规定为1，即表示每个同学都有一个最满意的自习区，当满意度的量值为 1 的时候学生们最满意。 如果学生不是最满意，则满意度将小于 1。则依据以上对学生上自习满意度的度量标准可得各个宿舍区到各个自习区的学生满意度。如下图图一所示，对应的学生满意度表如表2 所示。表 2 从 A 宿舍区到 B 自习区的学生满意度表B1B2B3B4B5B6B7B8B9A10.85921.00000.466350.80260.72790.53980.73670.62500.9356A20.56120.73170.83160.77080.

13、89860.82451.00000.73310.6457A30.75000.69061.00000.84960.62640.67130.79340.72870.6214A40.98770.59151.00000.68670.75830.49231.00000.52720.4651A50.55460.62660.81260.77351.00000.69300.90190.56430.6531A60.82800.64380.94590.80880.57210.67191.00000.60530.6975A70.87850.81200.57270.56340.69420.58680.64660.97

14、801.0000A80.71761.00000.67180.53230.90500.97130.55960.56170.9967A91.00000.81650.57380.95050.68680.55520.52300.53210.9192A100.74900.75680.81861.00000.63330.62240.61080.73520.6916下来对满意度作如下规定：M jk 表示从第 j 宿舍区到 k 自习区的学生人数；jk 表示从 j 宿舍区到 k 自习区的学生满意度；设满意度的函数指标为Q ，每个学生从j 宿舍区到 k 自习区的满意jk ，其中jk 可由从 A 宿舍区到 B 自习

15、区的学生满意度表表三查得。 最后，再设 M jk 为从 j 宿舍区到 k 自习区的学生人数。规定满意度的指标函数等于所有上自习学生的满意度之和，即：109max QM jkjkj 1 k1用电量指标的目标函数与模型一相同。而模型二考虑了两个目标， 为了同时使用电功率 P 和满意度 Q 达到最优，定义一个综合指数T 作为 P和Q的衡量标准，这里使用的是线性权值法。但是由于不同的指标性质不同，量纲不同，之间不具有可比性和可加性。为了得到一个实用性更强的资源配置模型， 将各指标抽象成同质的统一标准化指标进行加权处理，得到单一目标。先对用电量指标进行标准化，采用的是极差标准化法：iwimin(wi )

16、max(wi) min( wi )wi 是各教室的用电量，i 表示标准化后的各教室的用电量。再对学生满意度指标进行标准化：q jkjkmin(jk)max(jk ) min()jkjk表示从 j 宿舍区到 k 自习区的学生满意度； q jk 表示标准化后的学生的满意度，如下表表3 所示。表 3学生满意度标准化 q jkB1B2B3B4B5B6B7B8B9A10.74610.0330.6440.5090.1710.5250.3240.883A20.2090.5160.6960.5870.8170.68310.5190.361A30.5490.44210.7290.3270.4080.6270.5

17、110.318A40.8990.2170.9210.3810.5040.04610.1060A50.1970.3270.6620.59210.4470.8230.2150.375A60.6900.3580.9020.6550.2290.40910.2890.455A70.7810.6610.2300.2130.4490.2550.3630.9601A80.49110.4080.1570.8280.9480.2060.2100.994A910.6690.2320.9100.4350.1980.1400.1570.854A100.5470.5620.67310.3390.3190.2990.523

18、0.444现在定义1 和 2 分别为用电功率 P 和学生满意度 Q 的权值，有如下目标函数关系式：min : T1P2 Q即：45109T1Cii2M jkq jki 1j 1 k 1下来我们找出相应的约束条件：1、若 Ci1 表示这个教室开放；反之 Ci0表示这个教室不开放2、因为从每个宿舍区到各个不同的自习区上自习的人数等于现在所有开放109的教室所容纳的人数，所以有如下关系： 8000 0.7M jkj1k 13、用表示学生能上自习的满足率，根据已知条件有：95%14、用i 表示第 i 个教室的满座率，根据已知条件有：90%i80%5 、假设每个宿舍区人数相等均为 800 人，而上自习的

19、可能性为 0.7 ，则每个宿舍区需要上自习的学生为560 人；且有到各个自习区的第j 宿舍的9人数之和为M jk，应等于第j 宿舍区上自习的人数。即满足关系：k 19Mjk8000.7k 16、去每个自习区的人数不能超过其最大容量与满座率的乘积。去每个自习10区的人数为Mjk，第 k 个自习区的最大容量与满座率的乘积j15* kSii，则对于第k 个自习区来说，它满足的关系为：i5 (k1)1105* kj 1Mjki5 ( kSi1) 1iCi7 、另外题目要求尽量安排开放同区的教室，据此定义U 为自习区教室的分散度，然后定义Rk 为第 k 个自习区的教室开放比例，因为每个区有 5 个教室，

20、所以 Rk 的取值只有5 个，即Rk1/ 5,2 / 5,3 / 5,4 / 5,1下面说明 Rk 的值怎么确定：5k第 k 自习区开放的教室数量为Ci ，那么第 k 自习区的开放比例为i 5 ( k 1) 115 kCi 由此，可以确定所有开放教室的分散度为：Rk5i 5 ( k 1) 19Uk 115 kCi5i 5 ( k 1) 19由于当开放教室的数量一定，即Rk 是定值。因为所有 Rk 之和 U 为定值，k 1所以 Rk 之积越大，则说明Rk 之间的差异越小，也就是说教室的开放越分散；反之，之积越小，分散度 U 越小，说明 Rk 之间的差异越大，表示开放的教室越集中。即建立如下数学模

21、型：45109min :T1C ii2M jkq jki 1j 1 k 1Ci1orCi0195%90%i80%109M jk80000.7j1k 1s.t 105 kM jkSiiCij1i5 (k1) 19M jk8000.7k1915 kUCi5k 1i 5(k 1)1这里的表示可以承受的最大分散度，计算的时候可以给它赋予一定的值，以此来求出教室开放的方案。求解时，学校安排教室最主要的目的是节约用电，所以教室的用电量占的权重较大，分配1 为 0.6，其次考虑学生满意度的问题，分配权重2 为 0.4。模型求解对以上模型利用Lingo 软件求解，由于本题中的分散度没有指定要求，先指定当分散度

22、为 0.1 的时候，教室的开放情况及各个教室的满座率方案如下表 4 所示：表 4 教室的开放情况及各个教室的满座率教开放满座教开放满座教开放满座教开放满座教开放满座室情况率室情况率室情况率室情况率室情况率110.8910001910.902810.903710.90210.9011002010.902910.893810.90310.901210.902110.903010.903910.90410.901310.892210.903110.904010.90510.901410.902310.903210.904110.9060015002410.903310.894210.90700161

23、0.902510.903410.904310.90810.901710.902610.903510.9044009001810.902710.903610.904510.90各个宿舍区 A 到各个自习区 B 的学生人数如下表5 所示：表 5 各个宿舍区 A 到各个自习区 B 的学生人数B1B2B3B4B5B6B7B8B9A10104001111446A21111035311961A30040341101460A4224017301115510A5111051635001A600041154810A711010005511A811110551000A93710188111191A10001549

24、11120合计599108581648521945707899540综合表 4，表 5 可得，共开放教室38 个，与模型一求解的结果相比多增加开放了 3 个教室，在 45 个教室中，第 6,7,9,10,11,15,44教室关闭，可以看出6，7，9，10 属于第 2 自习区，即符合题中的尽量安排开放同区的教室。每个自习区在满足自习人数的条件下， B1 自习区有 599 名学生上自习； B2 自习区有 108 名学生上自习； B3 有 581 名学生上自习； B4 有 648 名学生上自习； B5 有 521 名学生上自习； B6 有 945 名学生上自习； B7 有 707 名学生上自习； B

25、8 有 899 名学生上自习； B9 有 540 名学生上自习。六、模型评价及推广6.1模型优点1、引入了“分散度”的概念，很好的衡量了教室的集中性问题；2、合理的将宿舍区和教室之间的距离问题转换为学生的满意度来衡量；3、运用极差标准化将用电量与学生满意度进行了统一，简化了问题的求解过程；4、以用电总功率最小为目标函数建立优化模型，采用 0-1 整数规划模型进行求解，并且利用 LINGO软件编程得到比较合理的教室开放方案， 此方法计算复杂度低，合理性强，并能够达到优化目的；而且模型比较简洁。6.2模型缺点1、将多目标优化问题加权规划成单目标优化问题，确定各目标的权值时人为的对各因素条件赋予不同权值，即主观性比较强。2、对问题没有考虑周全，缺乏严谨性。七、参考文献1 母丽华，周永芳 . 数学模型 . 北京：科学出版社 ,2011.2 王兵团 . 数学建模基础 . 北京：清华大学出版社；北京交通大学出版社,2004.3 谢金星 , 薛毅 . 优化建模与 LINGO/LINGO软件 . 北京：清华大学出版社，2004.4 张兴永 . 数学建模简明教程 . 江苏徐州 : 中国矿业大学出版社 ,2001.八、附录表 1 教室相关数据教室座位数灯管数开关数一个开关控灯管的功率制的灯管数/ 每只1644231440w2884231440w31934841250w41