必修五余弦定理

1、必修五第一章余弦定理一选择题（共16小题）1在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B的值是（）ABC或D或2在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则c的值为（）ABCD63ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=acosAccosB+，且b=2，则a的最小值为（）ABCD4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示ABC的面积，若S=，则A=（）A90°B60°C45°D30°5如图，在ABC中，D是AB边上的点，且满足AD=3BD，AD+AC=BD+BC=2，CD=

2、，则cosA=（）ABCD06如图，圆O是ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于D，CD=2，AB=BC=3，则（）ABD=4，AC=3BBD=4，AC=CBD=3，BD=DBD=，AC=47如图在ABC中，D是AC边上的点且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD则cosC的值（）ABCD8在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2=c2+acbc，则=（）ABCD9ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若=，则角B的大小为（）ABCD10如图，三角形ABC中，AB=1，以C为直角顶点向外作等腰直角三角形ACD，当ABC变化时，线段BD的长

3、度最大值为（）ABCD11在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a2=3b2+3c22bcsinA，则C的值为（）ABCD12已知在ABC中，b2+a2c20，且ba，sinA+cosA=，则tanA=（）A或BCD或13在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足1，则角B的取值范围是（）A（0，B（0，C）D）14在ABC中，S为ABC的面积，且，则tanB+tanC2tanBtanC=（）A1B1C2D215在ABC中，若sinAsinBsin2A+sin2Bsin2CsinAsinB，则ABC的形状是（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D不能确定16如图，

4、在ABC中，已知点D在BC边上，且=0，sinBAC=，AB=3，BD=，则cosC=（）ABCD二填空题（共4小题）17已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，b=6，且，O为ABC内一点，且满足，则= 18在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S=b2sinA，角A的平分线AD交BC于D，则b= 19锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2=a（a+c），则取值范围是 20在ABC中，4a+2b+3c=，其中a，b，c分别为角A，B，C所对应的三角形的边长，则cosB= 三解答题（共6小题）21如图，在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a

5、，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，BAE=CAE（1）求线段AD的长；（2）求ADE的面积22如图，在锐角ABC中，BC=6，点D在边BC上，且BD=2DC，点E在边AC上，且BEAC，BE交AD于点F（）求AC的长；（）求cosDAC及AF的长23ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2R（sin2Bsin2A）=（bc）sinC，c=3（）求角A的大小；（）若AD是BC边上的中线，求ABC的面积24在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：ABC的外心在三角形内部（不包括边）；（b2a2c2）si

6、n（B+C）=（1）求A的大小；（2）求代数式的取值范围25ABC的内角为A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求sin（A+B）+sinAcosA+cos（AB）的最大值；（2）若，当ABC的面积最大时，ABC的周长；26四边形ABCD如图所示，已知AB=BC=CD=2，AD=2（1）求cosAcosC的值；（2）记ABD与BCD的面积分别是S1与S2，求S12+S22的最大值2018年05月07日必修五第一章余弦定理参考答案与试题解析一选择题（共16小题）1在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B的值是（）ABC或D或【分析】由余弦定

7、理化简条件得2accosBtanB=ac，再根据同角三角函数的基本关系得 sinB=，从而求得角B的值【解答】解：在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，（a2+c2b2）tanB=ac，2accosBtanB=ac，sinB=，B= 或 B=，故选：D【点评】本题考查余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，以及根据三角函数值及角的范围求角的大小2在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则c的值为（）ABCD6【分析】根据题意，由三角恒等变形公式分析：2cos2cos2C=12cos2C+cosC1=0，解可得cosC的值，又由4sinB=3sinA以及ab=1，计算可得a、

8、b的值，由余弦定理计算可得答案【解答】解：根据题意，ABC中，2cos2cos2C=1，变形可得2cos21=cos2C，则有cos2C+cosC=0，即2cos2C+cosC1=0，解可得cosC=或cosC=1（舍），又由4sinB=3sinA，则有4b=3a，又由ab=1，则a=4，b=3，则c2=a2+b22abcosC=16+912=13，则c=，故选：A【点评】本题考查三角形中的几何计算，关键是求出cosC的值3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=acosAccosB+，且b=2，则a的最小值为（）ABCD【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等

9、式可得sinA=5sinAcosA，结合sinA0，可得：cosA=，由余弦定理可得：a=，利用二次函数的性质可求其最小值【解答】解：=acosAccosB+，且b=2，=acosAccosB+，可得：2cosC=5acosAccosB，即：bcosC=5acosAccosB，sinBcosC+sinCcosB=5sinAcosA，可得：sin（B+C）=sinA=5sinAcosA，A为三角形内角，sinA0，可得：cosA=，由余弦定理可得：a=，可得：当c=时，a的最小值为故选：A【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，二次函数的性质在解三角形中的应用，考查了计

10、算能力和转化思想，属于中档题4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示ABC的面积，若S=，则A=（）A90°B60°C45°D30°【分析】根据三角形的面积公式可得S=bcsinA=（b2+c2a2），利用此关系式表示出sinA，根据余弦定理表示出cosA，发现两关系式相等，得到tanA，根据A的范围利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数【解答】解：由已知得：S=bcsinA=（b2+c2a2）可得：sinA=，由余弦定理可得：cosA=，所以tanA=1，又A（0°，180°），则A=45°故选：C【点评

11、】此题考查学生灵活运用三角形的面积公式及余弦定理化简求值，是一道基础题5如图，在ABC中，D是AB边上的点，且满足AD=3BD，AD+AC=BD+BC=2，CD=，则cosA=（）ABCD0【分析】设BD=x，可求AD=3x，AC=23x，BC=2x，由cosADC=cosBDC，利用余弦定理可得x的值，进而可求AD，AC的值，由余弦定理可求cosA的值【解答】解：设BD=x，则AD=3x，AC=23x，BC=2x，易知：cosADC=cosBDC，由余弦定理可得：=，解得：x=，故：AD=1，AC=1，cosA=0故选：D【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，

12、属于基础题6如图，圆O是ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于D，CD=2，AB=BC=3，则（）ABD=4，AC=3BBD=4，AC=CBD=3，BD=DBD=，AC=4【分析】由题意利用切割线定理求得BD，利用余弦定理求得cosA的值，再利用直角三角形中的边角关系，求得AC的值【解答】解：由切割线定理可得CD2=DABD，又CD=2，AB=3，可求得BD=4在BCD中，由余弦定理求得cosBCD=又BCD=A，cosA=，AC=2ABcosA=，故选：B【点评】本题主要考查切割线定理、直角三角形中的边角关系，余弦定理的应用，属于中档题7如图在ABC中，D是AC边上的点且AB=AD，2

13、AB=BD，BC=2BD则cosC的值（）ABCD【分析】不妨设BD=2，则BC=4，AB=AD=3在ABD中，由余弦定理可得：cosA=，可得sinA=在ABC中，由正弦定理可得：=，即可得出【解答】解：不妨设BD=2，则BC=4，AB=AD=3在ABD中，由余弦定理可得：cosA=，B（0，），sinA=在ABC中，由正弦定理可得：=，可得：sinC=，C为锐角，cosC=故选：C【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2=c2+acbc，则=（）ABCD【

14、分析】由等比数列的性质可得b2=ac，由余弦定理可得cosA=，结合A（0，），可得：A=，由正弦定理可得sinB=，即可计算得解【解答】解：a，b，c成等比数列，b2=ac，a2=c2+acbc=c2+b2bc，可得：b2+c2a2=bc，由余弦定理可得：cosA=，由A（0，），可得：A=，由正弦定理可得：=，可得：sinB=，=故选：A【点评】本题主要考查了等比数列的性质，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题9ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若=，则角B的大小为（）ABCD【分析】利用正弦定理化简已知可得c2+a2b2=ac，由

15、余弦定理可得cosB=，结合范围B（0，），即可解得B的值【解答】解：在ABC中，由正弦定理，可得：sinB=，sinA=，sinC=，=，可得：=，整理可得：c2+a2b2=ac，由余弦定理可得：cosB=，B（0，），B=故选：B【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题10如图，三角形ABC中，AB=1，以C为直角顶点向外作等腰直角三角形ACD，当ABC变化时，线段BD的长度最大值为（） 1ABCD【分析】设ABC=，ACB=，求出AC，sin，利用余弦定理，即可求出对角线BD的最大值【解答】解：设ABC=，ACB=，则AC2=42c

16、os，（在ABC中余弦定理）由正弦定理可得sin=，在BCD中BD2=3+42cos2×××cos（90°+）=72cos+2sin=7+2sin（45°），=135°时，BD取得最大值+1故选：C【点评】本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查辅助角公式的运用，考查学生的计算能力，有难度11在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a2=3b2+3c22bcsinA，则C的值为（）ABCD（用均值不等式了）【分析】利用余弦定理与不等式结合的思想求解a，b，c的关系即可求解C的值【解答】解：根据a2=3b2+3c22bcsin

17、A，余弦定理a2=b2+c22bccosA，由可得：2b2+2c2=2bcsinA2bccosA化简：b2+c2=bcsinAbccosAb2+c2=2bcsin（A），b2+c22bc，2bcsin（A）2bc sin（A）1sin（A）=1，A=，此时b2+c2=2bc，故得b=c，即B=C，C=故选：B【点评】本题主要考查了存在性思想，余弦定理与不等式结合的思想，界限的利用属于中档题12已知在ABC中，b2+a2c20，且ba，sinA+cosA=，则tanA=（）A或BCD或【分析】b2+a2c20，可得cosC=0，C（0，）C为钝角又ba，可得A又sinA+cosA=，sin2A+

18、cos2A=1联立解出即可得出【解答】解：b2+a2c20，cosC=0，C（0，）C为钝角又ba，A又sinA+cosA=，sin2A+cos2A=1解得：sinA=，cosA=则tanA=故选：B【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、方程思想、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足1，则角B的取值范围是（）A（0，B（0，C）D）【分析】由正弦定理化简已知，整理可得：a2+c2b2ac，由余弦定理可解得cosB，结合B为三角形内角即可解得B的取值范围【解答】解：1，由正弦定理可得：，整理可得：a2+c2b2a

19、c，由余弦定理可得：cosB=，由B为三角形内角可得：B（0，故选：B【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，由正弦定理进行边角互化是解题的关键，属于基本知识的考查14在ABC中，S为ABC的面积，且，则tanB+tanC2tanBtanC=（）A1B1C2D2【分析】由已知利用三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式化简可求tanA=2，进而利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式化简整理即可得解【解答】解：，bcsinA=×2bccosA，解得：tanA=2，tanA=tan（B+C）=2，整理可得：tanB+tanC2tanBtanC=2，故选

20、：D【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正切函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题15在ABC中，若sinAsinBsin2A+sin2Bsin2CsinAsinB，则ABC的形状是（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D不能确定【分析】已知不等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理化简，求出cosC的范围，进而确定出C为钝角，即可做出判断【解答】解：将sinAsinBsin2A+sin2Bsin2CsinAsinB，利用正弦定理化简得：aba2+b2c2ab，由余弦定理得：cosC=，即a2+b2c2=2abcosC

21、，可得：ab2abcosCab，ab0，2cosC1，即cosC，C为钝角，则ABC为钝角三角形，故选：A【点评】此题考查了余弦定理，余弦函数的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键16如图，在ABC中，已知点D在BC边上，且=0，sinBAC=，AB=3，BD=，则cosC=（）ABCD【分析】由BAC=BAD+DAC，DAC=90°，得到BAC=BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sinBAC，能求出cosBAD的值，在三角形ABD中，由AB，BD及cosBAD的值，利用余弦定理即可求出AD的长，由正弦定理求出sinC，再由正弦定理得：，由此能求

22、出BC求得sinC，再由同角三角函数基本关系式即可计算得解cosC【解答】解：=0，可得：ADAC，DAC=90°，BAC=BAD+DAC=BAD+90°，sinBAC=sin（BAD+90°）=cosBAD=，cosBAD=在ABD中，AB=3，BD=，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD22ABADcosBAD=18+AD28AD=3，解得AD=3，或AD=5，当AD=5时，ADAB，不成立，故舍去AD=5，（ADAB则B>ADC与ADC为钝角矛盾（补角为锐角）在ABC中，由正弦定理得：，sinC=，在ADC中，由正弦定理得：，即，解得BC=4sinC=

23、，cosC=故选：A【点评】本题考查角余弦值的求法，考查边长的求法，考查余弦定理、正弦定理、同角三角函数恒等式、诱导公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题二填空题（共4小题）17已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，b=6，且，O为ABC内一点，且满足，则=3【分析】运用余弦定理可得cosA，由同角平方关系可得sinA，再由题意可得O为ABC的重心，SABO=SABC，由三角形的面积公式，解方程可得所求值【解答】解：由余弦定理可得b2=a2+c22accosB，b=6，且，2a22b2+bc=a2+c2b2，a2=b2+c2

24、2bc，cosA=，sinA=，满足，可得O为ABC的重心，且SABO=SABC，即为c|AO|sin30°=×cbsinBAC，则|AO|=×6××2=3，故答案为：3【点评】本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查三角形的重心的向量表示，以及重心的性质，考查运算能力，属于中档题18在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S=b2sinA，角A的平分线AD交BC于D，则b=1【分析】根据三角形的面积公式可得c=2b，由角分线定理可知，分别根据余弦定理，列出方程，即可求出b的值【解答】解：，可知c=2b，即由角分线定理可

25、知，在ABC中，在ABD中，即，解得b=1故答案为：1【点评】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积定理，余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2=a（a+c），则取值范围是（1，2）【分析】由题意利用余弦定理可得c=a+2acosB ，即cosB=0，得到1再利用正弦定理可得B=2A，求出A的范围，可得取值范围【解答】解：锐角ABC中，b2=a（a+c），故由余弦定理可得b2=a2+c22accosB，a（a+c）=a2+c22accosB，c2=ac+2accosB，即c=a+2acosB ，cosB=0，ca，1由利用

26、正弦定理可得：sinC=sinA+2sinAcosB，即sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=sinA+2sinAcosB，sinBcosA=sinA+sinAcosB，可得：sin（BA）=sinA，可得：BA=A，或BA+A=（舍去），B=2A，又A+B+C=，A，B，C均为锐角，由于：3A+C=，02A，0A再根据3A，可得A，A，=2，综上可得，12，故答案为：（1，2）【点评】此题主要考查了余弦定理、正弦定理，三角形内角公式，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题20在ABC中，4a+2b+3c=，其中a，b，c分别为角A，B，C所对应的三角形的边长，则cosB=【分

27、析】由已知及向量减法的平行四边形法则可得4a+2b+3c=，即（4a3c）+（2b3c）=，根据向量的基本定理可得a，b，c之间的关系，然后利用余弦定理即可求cosB的值【解答】解：4a+2b+3c=，4a+2b+3c（）=，（4a3c）+（2b3c）=，（因为向量BC+向量CA+向量AB=向量0，所以4a=2b=3c），不共线，即a=，b=，则cosB=，故答案为：【点评】本题主要考查了向量减法的四边形法则，平面向量的基本定理及余弦定理的综合应用，解题的关键是把已知变形为（4a3c）+（2b3c）=，属于中档题三解答题（共6小题）21如图，在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已

28、知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，BAE=CAE（1）求线段AD的长；（2）求ADE的面积【分析】（1）在ABC中，利用余弦定理计算BC，再在ACD中利用余弦定理计算AD；（2）根据角平分线的性质得出CE，于是SADE=SACDSACE【解答】解：（1）根据题意，b=2，c=4，2ccosC=b，则cosC=；又由cosC=，解可得a=4，即BC=4，则CD=2，在ACD中，由余弦定理得：AD2=AC2+CD22ACCDcosC=6，则AD=；（2）根据题意，AE平分BAC，则=，变形可得：CE=BC=，cosC=，则sinC=，SADE=SACDS

29、ACE=×2×2××2××=【点评】本题考查应用余弦定理解三角形，涉及角平分线的性质，关键是掌握余弦定理的形式和变形应用22如图，在锐角ABC中，BC=6，点D在边BC上，且BD=2DC，点E在边AC上，且BEAC，BE交AD于点F（）求AC的长；（）求cosDAC及AF的长【分析】（）利用已知条件结合正弦定理，求AC的长；（）通过余弦定理利用两角和与差的三角函数，求解cosDAC及AF的长【解答】解：（）在锐角ABC中，BC=6，由正弦定理可得，所以（）由，可得，所以 cosC=cos（BAC+ABC）=cosBACcosABC+s

30、inBACsinABC=，因为BEAC，所以，在ACD中，AC=5，由余弦定理可得=，所以cosDAC=由BEAC，得AFcosDAC=AE，所以【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力23ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2R（sin2Bsin2A）=（bc）sinC，c=3（）求角A的大小；（）若AD是BC边上的中线，求ABC的面积【分析】（）利用已知条件通过正弦定理以及余弦定理转化求解即可得到A；（）以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，在ABE中，在ABE中，由余弦定理得AE2=AB2+BE22ABBEcos120°求出AC，然后求解三角形的面积【解答】解：（）由正弦定理得，2R（sin2Bsin2A）=（bc）sinC可化为bsinBasinA=bsinCcsinC 即b2a2=bcc2 （）以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，在ABE中，在ABE中，由余弦定理得AE2=AB2+BE22ABBEcos120°即：，解得，AC=2故【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力24在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：ABC的外心在三角形内部（不包括边）；（b2a2c2