必修五解三角形例题

1、必修五 第一章 解三角形一、考点列举1、正弦定理的理解与应用2、余弦定理的理解与应用二、常考题型1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单三角形例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。解：（

2、1）应用S=acsinB，得 S=14.823.5sin148.590.9(cm)(2)根据正弦定理， = c = S = bcsinA = bA = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5 S = 3.164.0(cm)(3)根据余弦定理的推论，得cosB = = 0.7697sinB = 0.6384应用S=acsinB，得S 41.438.70.6384511.4(cm)例2、在ABC中，求证：（1）（2）+=2（bccosA+cacosB+abcosC）分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明证明：（

3、1）根据正弦定理，可设 = = = k显然 k0，所以 左边= =右边（2）根据余弦定理的推论， 右边=2(bc+ca+ab) =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左边2、利用正余弦定理测量和几何计算有关的实际问题.例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile)解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理

4、，AC= = 113.15根据正弦定理, = sinCAB = = 0.3255,所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 。 因为 sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin

5、60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 两式相减，得x=5,h=15在 RtACE中,tan2=2=30,=15 答：所求角为15，建筑物高度为15m第二章 数列一、考点列举1、数列的概念和简单表示法2、等差数列的概念及其表示3、等比数列的概念及其表示4、简单数列求和二、常考题型1、等差数列、等比数列的概念.例1 已知数列的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要

6、看（n2）是不是一个与n无关的常数。解：当n2时, （取数列中的任意相邻两项与（n2）为常数是等差数列，首项，公差为p。例2 在等差数列中，若+=9, =7, 求 , .分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手解： an 是等差数列 +=+ =9=9=97=2 d=72=5 =+(94)d=7+5*5=32   =2, =32例3.已知依次成等差数列，求证：依次成等差数列.分析：要证三个数成等差数列，只需

7、证明等式：，即证成立.证明： 成等差数列，（设其公差为），又， 成等差数列.例4、 等差数列中：（1）如果，求数列的通项公式（2）如果求分析：（1）求等差数列的通项公式只要求两个量即可解：（法1）由题意故数列的通项公式为（法2），故分析：（2）显然不能通过已知条件求出数列的通项公式，只有寻找已知条件和所求问题的关系解：而例5、等比数列中，求等比数列的通项公式分析：求等比数列的首项为，两个参数即可解：（法1）设等比数列的道项为，公比为，由题意以下求解，不易找到思路转换思路，利用等和列的性质，不难得以下解法（法2）设等比数列的首项为,公比为，由题意故为方程的两个根解得或或所以数列通项公式为或例6、

8、在等比数列中，已知，求该数列的第11项分析：首先根据已知条件求出等比数列的通项解：设首项为，公比为，则得：，将代入（1），得，所以，2、等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.例1、在等差数列中，已知，求前20项之和分析：本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求，求解；也可以用等差数列的性质求解解：法一由.由法二由，而，所以，所以例2、等差数列和的前项和分别为和，若对一切正整数都有，求的值.分析： 由、的通项公式可求得、的通项公式，利用等差数列前n项和公式的特点先假设公式的形式.解法一：令，则当时，有，所以解法二：例3、设为等差数列，为数列的前项和，已知，为数列的前项和，求分析：由题设条件

9、，不难求出和，从而可得，再进一步探求，看能否与等差或等比数列沟通解：设等差数列的公差为，则由，得即解得，.数列是首项为，公差为的等差数列，故3、具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.例1、有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需用24小时；但它们是每隔相同的时间顺序投入工作的，每台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕，如果第一台收割时间是最后一台的5倍，求用这种方法收割完这片土地上的小麦需用多少时间分析：这些联合收割机投入工作的时间组成一个等差数列，按所规定的方法收割，所需要的时间等于第一台收割机所需的时间，即求数列的首

10、项解：设从每台投入工作起，这台收割机工作的时间依次为，小时依题意，是一个等差数列，且每台收割机每小时的工作效率为，则有由（2），得，即，亦即（3）由（1），（3）得故用这种方法收割完这片土地上的全部小麦共需40小时例2、从盛满升（）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去问第次操作后溶液的浓度是多少？若，至少应倒几次后才能使酒精浓度低于？分析：这是一道数学应用题解决应用问题的关键是建立数学模型，使实际问题数学化注意到开始浓度为1，操作一次后溶液浓度是.操作二次后溶液浓度是，操作次后溶液浓度是.则不难发现，每次操作后溶液浓度构成等比数列，由此便建立了数列模

11、型解决数列问题，便可能达到解决实际问题之目的解：设每次操作后溶液浓度为数列，则问题即为求数列的通项依题意，知原浓度为1，构成以首项，公比的等比数列，所以，故第次操作后酒精浓度是当时，由，得.因此，至少应操作4次后，才能使酒精浓度低于第二章 不等式及其解法一、考点列举1、不等式的关系及其性质2、一元二次不等式的解法3、二元一次不等式组与简单线性规划4、基本不等式二、常考题型1、了解现实世界和日常生活中的不等关系，会利用不等式的性质证明不等式例1  已知a，b，cR+，求证：a3+b3+c33abc【分析】  用求差比较法证明证明：a3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3

12、-3a2b-3ab2-3abc=(a+b+c)(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)a2+b2+c2-ab-bc-caa，b，cR+，a+b+c0(c-a)20即  a3+b3+c3-3abc0，a3+b3+c33abc例2  已知a，bR+，求证aabbabba【分析】  采用求商比较法证明证明：a，bR+，abba0例3 已知a、b、c是不全等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc【分析】  采用综合法证明，利用性质a2+b22ab证明：b2+c22bc，a0，a(b2+c2)2ab

13、c同理b(c2+a2)2abcc(a2+b2)2abca，b，c不全相等，中至少有一个式子不能取“=”号+，得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc综上所述，当a0，b0，必有aabbabba2、通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系例1不等式的解集为,求实数的取值范围 解：当时，并不恒成立；当时，则得 例2、若函数的值域为，求实数的取值范围 解：令，则须取遍所有的正实数，即，而例3、解不等式：解： 当时，； 当时， 3、会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决例1（1）求的最大值，使式中的、满足约束条件（2）求的最大值，使

14、式中的、满足约束条件解：（1）作出可行域 ；（2）令，则，当直线和圆相切时，例2、制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元？才能使可能的盈利最大？解：设分别向甲、乙两项目投资万元，y万元，由题意知（0,18）xO（6,0）（10,0）M（4,6）（0,10）目标函数作出可行域，作直线，并作平行于直线的一组直线，与可行域相交，其

15、中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线的距离最大，这里M点是直线和0.3x+0.1y=1.8的交点，解方程组解得x=4,y=6，此时z=1×4+0.5×6=7（万元） 7>0 当x=4、y=6时z取得最大值。答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大。4、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题例1设，则函数在=_时，有最小值_ 解： 例2下列各函数中，最小值为的是 ( )A B ，C D 解： D 对于A：不能保证，对于B：不能保证，对于C：不能保证，对于D：例3 如果,则的最大值是 ( )A B C

16、D 解：D 设例4、一批货物随17列货车从A市以v km/h的速度匀速直达B市。已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列货车的间距不得小于 （货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要多少小时？解：这批货物从A市全部运到B市的时间为必修五 知识点总结第一章：解三角形知识要点一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理：在中，、分别为角、的对边，则有(为的外接圆的半径)2、正弦定理的变形公式：，；，；3、三角形面积公式：4、余弦定理：在中，有，推论： ，推论： ，推论：二、解三角形处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，

17、正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解1、三角形中的边角关系（1）三角形内角和等于180°；（2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；（3）三角形中大边对大角，小边对小角；（4）正弦定理中,a=2R·sinA, b=2R·sinB, c=2R·sinC，其中R是ABC外接圆半径.（5）在余弦定理中:2bccosA=.（6）三角形的面积公式有:S=ah, S=absinC=bcsinA=acsinB , S=其中，h是BC边上高，P是半周长.2、利用正

18、、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形（1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理.（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理.（3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理.（5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理.3、利用正、余弦定理判断三角形的形状常用方法是：化边为角；化角为边.4、三角形中的三角变换（1）角的变换因为在ABC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦

19、定理，余弦定理。r为三角形内切圆半径，p为周长之半（3）在ABC中，熟记并会证明：A，B，C成等差数列的充分必要条件是B=60°；ABC是正三角形的充分必要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列.三、解三角形的应用1.坡角和坡度：坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度，用表示，根据定义可知：坡度是坡角的正切，即.2.俯角和仰角：如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.3. 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为.注：仰角、俯角、方位

20、角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。4. 方向角：相对于某一正方向的水平角.5.视角：由物体两端射出的两条光线，在眼球内交叉而成的角叫做视角.第二章：数列知识要点一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成，简记为数列，其中第一项也成为首项；是数列的第项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即

21、项数有限；（2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列的第项与项数之间的函数关系可以用一个式子表示成，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即，那么这个数列叫做递增数列;如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即，那么这个数列叫做递减数列;如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一

22、个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列的首项为，公差为，则通项公式为：.3、等差中项：（1）若成等差数列，则叫做与的等差中项，且;（2）若数列为等差数列，则成等差数列，即是与的等差中项，且；反之若数列满足，则数列是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列中，若则，若则；（2）若数列和均为等差数列，则数列也为等差数列；（3）等差数列的公差为，则为递增数列，为递减数列，为常数列.5、等差数列的前n项和：（1）数列的前n项和=；（2）数列的通项与前n项和的关系：（3）设等差数列的

23、首项为公差为，则前n项和6、等差数列前n和的性质：（1）等差数列中，连续m项的和仍组成等差数列，即,仍为等差数列（即成等差数列）；（2）等差数列的前n项和当时，可看作关于n的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列共有2n+1（奇数）项，则若等差数列共有2n（偶数）项，则7、等差数列前n项和的最值问题：设等差数列的首项为公差为，则（1）（即首正递减）时，有最大值且的最大值为所有非负数项之和；（2）（即首负递增）时，有最小值且的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列

24、的公比，公比通常用字母表示（）.即，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：.3、等比中项：（1）若成等比数列，则叫做与的等比中项，且;（2）若数列为等比数列，则成等比数列，即是与的等比中项，且；反之若数列满足，则数列是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列中，若则，若则；（2）若数列和均为等比数列，则数列也为等比数列；（3）等比数列的首项为，公比为，则为递增数列，为递减数列，为常数列.5、等比数列的前n项和：（1）数列的前n项和=；（2）数列的通项与前n项和的关系：（3）设等比数列的首项为，公比为，则由等比数列的通

25、项公式及前n项和公式可知，已知中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n项和性质：设等比数列中，首项为，公比为，则（1）连续m项的和仍组成等比数列，即,仍为等比数列（即成等差数列）；（2）当时，设，则.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列恒有：（1）（2）3、递推数列的类型以及求通项方法总结：类型一（公式法）：已知（即）求，用作差法：类型二（累加法）：已知：数列的首项,且，求.给递推公式中的n依次取1,2,

26、3，n-1,可得到下面n-1个式子：利用公式可得：类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且，求.给递推公式中的n一次取1,2,3，n-1,可得到下面n-1个式子：利用公式可得：类型四（构造法）：形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。解法：该类型较要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用的方法解决。类型五（倒数法）：已知：数列的首项,且，求.设，若则，即数列是以为公差的等差数列.若则（转换成类型四）.五、数列常用求和方法1.公式法 直接应用等差数列、等

27、比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式，立方和公式等公式求解.2.分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减.3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项和就变成了首尾少数项之和.4.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的，此时可把式子的两边同乘以公比，得到，两式错位相减整理即可求出.5、常用公式：1、平方和公式：2、立方和公式：3、裂项公式：六、数列的应用1、零存整取模型：银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零

28、存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.注：单利的计算是仅在原本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为:利息=本金×利率×存期.以符号p代表本金,n代表存期,r代表利率,s代表本金和利息和(即本利和),则有s=p(1+nr).零存整取是等差数列求和在经济方面的应用.2、定期自动转存模型：银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.注：复利是把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利

29、的计算公式是:s=p(1+r)n.定期自动转存（复利）是等比数列求和在经济方面的应用.3、分期付款模型：分期付款要求每次付款金额相同外,各次付款的时间间隔也相同.分期付款总额要大于一次性付款总额,二者的差额与分多少次付款有关,且付款的次数越少,差额越大.分期付款是等比数列的模型.采用分期付款的方法，购买售价为a元的商品（或贷款a元），每期付款数相同，购买后1个月（或1年）付款一次，如此下去，到第n次付款后全部付清，如果月利率（或年利率）为b，按复利计算，那么每期付款x元满足下列关系：设第n次还款后，本利欠款数为，则由知，数列是以为首项，为公比的等比数列.令得：，第三章：不等式知识要点一、不等式

30、的解法1、不等式的同解原理：原理1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；原理2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；原理3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等式改变方向后所得不等式与原不等式是同解不等式。2、一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程的根，是对应二次函数的图像与x轴交点的横坐标。二次函数（）的图象有两相异实根有两相等实根无实根注意：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；（

31、2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二 次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集。3、一元高次不等式的解法： 解高次不等式的基本思路是通过因式分解，将它转化成一次或二次因式的乘积的形式，然后利用数轴标根法或列表法解之。数轴标根法原则：（1）“右、上”（2）“奇过，偶不过”4、分式不等式的解法：（1）若能判定分母（子）的符号，则可直接化为整式不等式。（2）若不能判定分母（子）的符号，则可等价转化：5、指数、对数不等式的解法：（1）（2）6、含绝对值不等式的解法：对于含有多个绝对值的不等式，利用绝对值的意义

32、，脱去绝对值符号。二、基本不等式1、基本不等式： 若，则，当且仅当时，等号成立称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数 变形应用：，当且仅当时，等号成立2、基本不等式推广形式：如果，则，当且仅当时，等号成立3、基本不等式的应用：设、都为正数，则有：若（和为定值），则当时，积取得最大值若（积为定值），则当时，和取得最小值注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三相等”三个条件同时成立。4、常用不等式：三、简单的线性规划问题1、二元一次不等式表示平面区域: 在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）B0时，Ax0+By0+C0，则点P（x0，y0）在直线的上方；Ax0+By0+C0，则点P（x0，y0）在直线的下方对于任意的二元一次不等式Ax+By+C0（或0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数当B0时，Ax+By+C0表示直