平面图形的认识一

1、6.1线段、射线、直线知识点一1.直线和射线、线段是整体与部分的关系。射线和线段都是直线的一部分。在射线上取一点可得线段。在直线上取一点可得两条射线，取两点可得一条线段。2.相同点：它们都是由无数个点构成的，都是直的，都没有粗细。3.不同点：从端点上看：线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点；线段不能延伸，可度量；射线向一方无限延伸，直线向两个方向无限延伸，都不可度量。具体情况如下表：线段射线直线图例端点2个端点1个端点0个端点字母表示位置两个端点一个端点和射线上任一点直线上任意两点读法线段AB或线段BA或线段a射线AB（从端点开始读）直线AB或直线BA或直线l长度可度量长度无限长无限长

2、例1 图中有几条直线？有几条射线？有几条线段？并把能用字母表示的表示出来。知识点二 直线的基本性质两点确定一条直线例2 把一根木条固定在墙上，至少要钉几个钉子？为什么？知识点三 线段的基本性质及两点之间的距离1.线段的基本性质两点之间的所有连线中，线段最短。（简称：两点之间线段最短）2.两点之间的距离两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离。例3 如图所示，从公园甲到公园乙有、三条线路，假如你现在在公园甲，打算去公园乙，为了节省时间，你会选择哪条路线？为什么？知识点四 线段大小的比较和线段的画法1.比较线段大小的两种方法度量法：先分别用刻度尺度量出每条线段的长度，然后按它们长度的大小进行比较。

3、叠合法：如图所示，可先把两条线段移到同一条直线上，使它们一端点重合，另一点在这一重合点同一侧。如图甲，点A和点C重合，另一端点B和点D也重合，则说明这两条线段相等，可表示为AB=CD。如图乙，点A和点C重合，另一端点D在线段AB上（不与点B重合），就说线段AB大于CD，可表示为AB>CD。如图丙，点D在线段AB的外侧，就说线段AB小于CD，可表示为ABCD。特别提醒线段大小的比较，实际上就是两点间距离长短的比较。2.画一条线段等于已知线段截取法：用圆规截取的方法是画一条线段等于已知线段的常用方法，如图所示，把圆规的两脚分开，使一脚与线段a的一个端点重合，另一脚与线段a的另一个端点重合，这

4、样可以用圆规量出线段a的长度，然后画出一条射线AB，在射线AB上以A为圆心，以a为半径画弧，交射线AB于点C，那么就有AC=a。度量法：用刻度尺先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段。例4 如图，用圆规比较大小：AB_AC,AB_BC。知识点五 线段的中点定义：把一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点。线段中点的特征：如图，点M是线段AB的中点，则有AM=MB=12AB，AB=2AM=2MB。例5 已知如图所示，B、C两点把线段AD分成2:3:4的三部分，M是AD的中点，CD=6，求线段MC的长。知识点六 线段的和与差如图所示，点B在线段AC上，若AB=a，BC=b，AC=c，

5、则线段AC可表示为线段AB与BC的和，即AC=AB+BC(或c=a+b)；BC可表示为线段AC与BC的差，即AB=AC-BC（或a=c-b）。例6 如图，AB=CD，那么AC与BD的大小关系是（ ）A.AC=BD B.ACBD C.AC>BD D.无法确定典型例题分类讨论1.已知平面内有四个点A、B、C、D，过其中两点画直线，可以画出几条？与线段中点有关的计算题例2 如图，已知AB=24cm，M为AB的中点，N为PB的中点，且NB=8cm，求PA的长。用图形的性质解决实际问题例3 如图，设A、B、C、D为4个居民小区，现要在四个居民小区中间建造一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能

6、使4个居民小区到购物中心的距离之和最小？说明理由。易错点求线段长度时考虑不周全，出现漏解例4 已知线段AB=10cm，直线AB上有一点C，且BC=4cm，M是线段AC的中点，求线段MB的长度。6.2 角知识点一 角的定义及表示方法角是两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫做这个角的顶点，两条射线叫做角的边。角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。角用符号“”表示，通常有以下三种表示方法：用三个大写的英文字母表示，如图，记作AOB或BOA，其中O是角的顶点，写在中间，A、B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置。用一个大写的英文字母表示，如图，可记作O，用这种表示方

7、法的前提是以O为顶点的角只有一个，否则不能用这种表示方法；如图所示的AOC就不能记作O，因为此时以O为顶点的角不止一个，容易引起混淆。用数字或希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写的希腊字母、等。如图中，AOB记作1，BOC记作2；如图，AOB记作，BOC记作。例1 下列说法正确的是（ ）A.角的两边可以度量B.一条直线可以看成是一个平角C.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角D.两条射线组成的图形是角知识点二 角的大小比较1.度量法：如下图所示，用量角器量得1=40°，2=30°，所以1>2.2.叠合法：如图所示，比较ABC

8、与DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边BC和EF落在BA的同侧，如果EF和BC也重合，如图所示，那么DEF等于ABC，记作DEF=ABC；如果EF落在ABC的外部，如图所示，那么DEF大于ABC，记作DEF>ABC；如果EF落在ABC的内部，如图所示，那么DEF小于ABC，记作DEFABC。例2 已知=50.4°，=50°4，则与的大小关系是（ ）A.> B. C. = D.以上都不对知识点三 角的和差运算如图所示，ABC=1+2；中，GEF=DEG-1.例3 根据下图回答问题：AOC是哪两个角的和？AOB是哪两个角的差？如图，AO

9、B=COD，那么AOC与DOB的大小关系如何？试说明理由。知识点四 角的度量单位及换算角的度量单位是度、分、秒，把一个圆周平均分成360份，每一份就是1度的角；把1度的角平均分成60份，每一份的角就是1分的角，记作1°=60'；把1分的角平均分成60份，每一份就是1秒的角，记作1'=60。特别提醒角的度、分、秒的换算和时间中小时、分钟、秒的换算类似。例4 用度、分、秒表示47.53°.用度表示54°4'12。知识点五 角的画法1.用量角器可以画出0°到180°之间的任意度数的角。2.还可以用一副三角尺画出一些特殊的角，如

10、30°，,45°，,60°，,75°，,15°，,90°等。3.可以用圆规和直尺作一个角等于已知角。如图，已知AOB，画一个角等于这个角。作法：以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交0A,0B于点C,D；画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧l，交O'A'于点C'；以点C'为圆心，CD长为半径画弧，交弧l于点D'；过点D'画射线O'B'，则A'O'B'就是与AOB相等的角。例5 如图，已知AOB，请你用直尺和圆

11、规作A'O'B'，使A'O'B'=2AOB.（要求保留作图痕迹）知识点六 角平分线从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。如图所示，OC是AOB的平分线，则AOC=BOC，AOC=12AOB，BOC=12AOB，AOB=2AOC，AOB=2BOC。注意：可以利用量角器画角平分线，也可以利用对折的方法画角平分线。典型例题方向角问题如图，从A看B的方向是北偏东，那么从B看A的方向是（ ）A.南偏东60° B.南偏西60° C.南偏东30° D.南偏西30°钟面角的问题钟

12、表在整点时，时针与分针的夹角会出现5种度数相等的情况，请你分别写出它们的度数_。有关角平分线的探究题如图，AOB是直角，BOC=30°，OM平分AOC，ON平分BOC，求MON的度数；若中的AOB=，其他条件不变，求MON的度数；你从、的结果中能发现什么规律？易错点在解没有图形的问题时，分析要全面，以免造成漏解。已知：AOB=2BOC，是判断OC是否为AOB的平分线。6.3 余角、补角、对顶角知识点一 互为余角和互为补角1.互余：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中的一个角叫做另一个角的余角。2.互补：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补

13、。其中的一个角叫做另一个角的补角。拓展延伸若+=90°，则与互余；反之，若与互余，则+=90°，或=90°-，或=90°-。若+=180°,则与互补：反之，若与互补，则+=180°，或=180°-，或=180°-。互余、互补均指的是两个角之间的关系，不存在“是余角”之类的说法；互余、互补是指两角之间在数量（度数）上的特殊关系，与它们之间的位置无关。例1 如果一个角是36°，那么（ ）A.它的余角是64° B.它的补角是64° C.它的余角是144° D.它的补角是144

14、76;知识点二 互余、互补的性质互为余角和互为补角的性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等。例2 如图，AB、CD相交于点O，OEAB,那么下列结论错误的是（ ）A.AOC与COE互为余角 B.BOD与COE互为余角C.COE与BOE互为补角 D.AOC与BOD互为补角知识点三 对顶角1.对顶角的概念如图，直线AB、CD相交于点O，我们把其中的1和2叫做对顶角，3与4也是对顶角。对顶角是由两条直线相交所得，属于隐含条件，只要已知两条直线相交，就等于告诉存在对顶角。注意：对顶角是具有特殊位置关系的两个角，必然是成对出现的；互为对顶角的两个角有公共顶点，一个角的两边是另一个角两边的反

15、向延长线。2.对顶角的性质：对顶角相等。对顶角性质的证明：如图所示，直线AB、CD相交于点O，试说明：1=2.证明：因为1+3=180°，2+3=180°，所以1、/2都是3的补角，所以1=2（同角的补角相等）例3 如图所示，OC平分AOB，反向延长OC到D，反向延长OA到E，3=25°，求BOE的度数。典型例题题型一 互余、互补性质的综合运用一个角的补角比它的余角的32还多60°，求这个角。题型二 图形中对顶角、互余的角、互补的角的识别如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，指出图中所有的对顶角，并指出其中有哪些角相等，哪些角互补。题型三 计算与图形

16、有关的角度问题如图，已知直线AB、DE相交于点O，AOC=160°，OC平分EOB，求AOD的度数。易错点 互余、互补的概念理解不清互余、互补是针对两个角而言的，而不是三个或更多的角之间的关系，有的学生误认为多个角也可以互余、互补。若1+2+3=90°，则1、2、3互为余角。这种说法正确吗？为什么？6.4 平行知识点一 平行线的概念1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。2.平行线的表示：下图中的两条直线互相平行，记作ab，也可以记作ABCD（或CDAB）。注意：对平行线概念的理解注意以下三个方面：“在同一平面内”是定义的前提条件，是相对于空间而言的；“

17、不相交”是平行线的特征；平行线是指两条直线平行，而不是射线或线段，两条射线或两条线段平行，是指它们所在的直线平行。两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交、平行。例1 下列说法正确的是（ ）A.在同一平面内，两条不平行的线段必相交B.在同一平面内，两条不相交的射线必平行C.两条直线不平行就相交D.两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行知识点二 平行线的性质平行线的基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。补充：“有且只有”的含义：“有”表示存在性；“只有”表示唯一性。例2 如图，ab,a与c相交于点O，那么b与c相交吗？为什么？知识点三 平行线的画法1.

18、用三角板画平行线过直线外一点画已知直线的平行线，可按“落、靠、推、画”四步操作：一落：用三角板的一边落在已知直线上，如图；二靠：用直尺靠紧三角板的另一边，如图；三移：沿直尺移动三角板，使三角板中与已知直线重合的边过已知点，如图；四画：沿过已知点的三角板的边画直线，如图；2.利用方格纸画平行线在方格纸中，所有横线互相平行，所有竖线也互相平行，可用“描线法”来画；也可以连接长方形的对角线斜着画。如图，AB,EFGH，试着在上面画几组互相平行的线。例3 如图，方格纸中仅用直尺过点P画线段PQ，使PQAB。典型例题题型一 平行线的概念下列说法正确的是（ ）A.没有公共点的两直线一定平行B.一条直线的平

19、行线只有一条C.在同一平面内，没有公共点的线段必平行D.在同一平面内，不平行的两条直线必相交题型二 动手操作，探索结论画一画：在图中，以P为顶点画P，（P为锐角），使P的两边分别和1的两边平行；再在图中，以P为顶点画P（P为钝角），使P的两边分别和1的两边平行；量一量：量出1和P的度数，它们之间的关系是_；猜一猜：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角的关系是_;做一做：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且这个角为30°，求另一个角的度数。易错点 忽略平行线定义中的条件两条不相交的直线平行的前提条件是在同一平面内。判断正误：永不相交的两条直线是平行线。（ ）6

20、.5 垂直知识点一 垂直的概念1.如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂直，它们的交点叫做垂足。2.图中的两条直线互相垂直，记作ab或ABCS，其中点O是垂足。3.根据垂直的定义，如果直线AB、CD相交于点O，AOC=90°（或其他3个角中的任一个角等于），那么ABCD.推理过程：因为AOC=90°，所以ABCD.反之，如果ABCD，那么相交所得的4个角中的任意一个角都是直角，推理过程可以写成：因为ABCD，所以AOC=90°（或其他3个角中的任一个角等于90°）.整理归纳：两线段垂直、两射

21、线垂直、线段与射线垂直、线段或射线与直线垂直，其中的线段、射线都是指它们所在的直线。垂直用符号“”表示，如ab读作“a垂直于b”，ABCD读作“AB垂直于CD”。垂直于垂线是两个不同的概念，垂直是指两条直线的一种特殊位置关系；而垂线是这种特殊位置关系下的一条直线，它是指图形本身。例1 如图，1=53°，2=37°，则CD与CE的位置关系是_。知识点二 垂线的画法1.量角器画法经过直线上一点画已知直线的垂线先让量角器的底线落在已知直线上，并使量角器底线的中心点与直线上已知的点O重合，再在量角器90度所对的位置处标出一点C，拿走量角器，过O、C两点作直线OC即可。经过直线外一点

22、画已知直线的垂线先让量角器的底线落在已知直线上，并使量角器90度所对的直线经过直线外的点P，再在量角器90度所对的位置处标出一点C，过P、C两点作直线PC即可。2.三角板画法落：使三角板的一条直角边落在已知直线上；过：移动三角板，使三角板的另一直角边经过已知点；画：沿过已知点的直角边画直线。例2 如图，为钝角，过点C画AB的垂线；过点A画BC的垂线；过点B画AC的垂线。知识点三 垂线的性质1.垂线的基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。注意：“有且只有”包含两层含义：“有”表示存在性；“只有”表示唯一性；“过一点”的点可以是直线外的点，也可以是直线上的点。2.垂线段的重要性质：直线外

23、一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，也可以简单的说成：垂线段最短。如图，点P是直线l外一点，POl于点O。因为过点P只能有一条直线与已知直线垂直，所以直线PA、PB、PC都与直线l不垂直，我们把线段PO叫做点P到直线l的垂线段，线段PA、PB、PC叫做点P到直线l的斜线段。显然，垂线段最短，即POPA（或PB PC、）例3 如图，位于公路l旁的一个小村庄A，想修一条路与公路相连，问怎样修路程最短？请画出示意图，并说明理由。知识点四 点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。如图，POl于点O，垂线段PO的长度就是点P到直线l的距离。若PO=3cm，则可以说点

24、P到直线l的距离是3cm。注意：点到直线的距离是指“垂线段的长度”，是指一个数量，而垂线或垂线段是一个图形，故不能说“垂线段是点到直线的距离”。点到直线的距离实质上是直线外一点与垂足之间的距离，可以理解成两点间的距离。点到线段或点到射线的距离，是指点到线段或射线所在直线的距离，有时要将线段延长或将射线反向延长。例4 已知，如图，ODBC,D是垂足，连接OB，下列说法中：线段OB是O、B两点间的距离；线段OB的长度是O、B两点间的距离；线段OD是O点到直线BC的距离；线段OD的长度是O点到直线BC的距离。正确的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4典型例题题型一 利用垂线段最短解决生活问题如

25、图，某人在公路的左侧A处，要到公路的右侧，怎样走最近？为什么？若他要到公路对面的B处，怎样走最近？为什么？题型二 利用垂直定义判断两条直线垂直如图，已知A，O，B三点在同一条直线上，OC为任意一条射线，OD平分BOC，OE平分AOC，试判断OD和OE的位置关系，并说明理由。题型三 利用垂直定义求角的度数如图，已知AB与CD相交于点O，OMCD，OA平分MOE，且BOD=30°，求AOM、COE、BOE的度数。易错点 点到直线的距离的概念与垂线段的概念相混淆点到直线的距离的概念与垂线段的概念相混淆点到直线的距离是指垂线段的长度，而不是指垂线段，垂线段是一个几何图形，而距离是一个数值。把

26、握好“点到直线的距离”这个概念，一要看是否为垂线段，二要看是否为垂线段的长度。如图，CDOB于点D，EFOA于点F，那么O到CD的距离是_，O到EF的距离是_，C到OB的距离是_，E到OA的距离是_。6.1 线段、射线、直线知识点一 线段、射线、直线的概念1.下列语句正确的是（ ）A.画直线AB=10cmB.画射线OB=3cmC.延长射线OAD.延长线段AB到点C，使得BC=AB2.对于直线AB，线段CD，射线EF,在下列各图中能相交的是（ ）3.某条直线上有4个点，那么（ ）A.有3条线段，2条射线B.有6条线段，8条射线C.有3条线段，8条射线D.有4条线段，2条射线4.如图，水平的直线可

27、以表示为_，也可以表示为_；竖直的直线可以表示为_，也可以表示为_。5.如图，射线有_条，线段有_条。知识点二 直线的基本性质6.建筑工人在砌墙时，总是在墙角的地方立两根标志杆，并在两根杆之间拉一根准线，这样做的道理是_。知识点三 线段的基本性质及两点之间的距离7.下列说法中错误的是（ ）A.A、B两点间的距离为5kmB.A、B两点间的距离是线段AB的长度C.A、B两点间的距离就是线段ABD.线段AB的中点M到A、B的距离相等8.下列四个生活、生产现象：用两个钉子就可以把木条固定在墙上；植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；

28、把弯曲的公路改直，就能缩短路程。其中可用“两点之间线段最短”来解释的现象有（ ）A. B. C. D.知识点四 线段大小的比较和线段的画法画直线9.下列关于作图的语句：AB=10厘米；画射线OB=10厘米；已知A、B、C三点，过这三点画一条直线；画线段OB=10厘米。其中正确的是_。（填序号）知识点五 线段的中点10.已知线段AB=8cm，点C在线段AB上，点M、N分别为AC和BC的中点，则线段MN的长为_。11.已知点B在直线AC上，线段AB=8cm，AC=18cm,P、Q分别是线段AB、AC的中点，则线段PQ=_。知识点六 线段的和与差12.如图，长度为12cm的线段AB的中点为M，且MC：CB=1:2，则线段AC的长度为_cm。能力提高1