初中数学竞赛试题及答案

1、中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）（甲）.如果实数a, b, c在数轴上的位置如图所示，那么代数式，7-1“ + 1+而二芯+l + cl可以化简为（A） 2c-a).(B) 2a-2b(C) 一(D) a（乙）.如果"=-2 +五，那么1 + 一 J 的值为2 +3 +。).(A)(B) V2(C) 2(D) 2立b（甲）.如果正比例函数y = or 壬0）与反比例函数=一 x（#0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（-3, -2）,那么另一个交点的坐标为（).(A) (2, 3)(B) (3, -2)(C)

2、 (一2, 3)(D) (3, 2)2（乙）.在平面直角坐标系xOy中，满足不等式9+.vV2x+2y的整数点坐标（x, y）的个数为（）.(A) 10(B) 9(C) 7(D) 5（甲）.如果4, b为给定的实数,且m,那么L4 + 1,+ 1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）.(A) 1(D)- 4（乙）.如图，四边形A8CO中，AC, 8。是对角线,ABC 是等边三角形.ZADC = 30° , AO = 3, BD = 5,则CD的长为（).(A) 35/2(B) 4(C) 2、底(D)（甲）.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2元

3、，我的钱数将是你的倍”；小玲对小倩说:“你若给我元，我的钱数将是你的2倍”，其中为正整数,则的可能值的个数是（）.(A) 1(B) 2(C) 3(D) 44（乙）.如果关于；v的方程Y 一 工一4 = 0 （，g是正整数）的正根小于3,那么这样的方程的个数是（）.（A） 5（B） 6（C） 7（D） 85 （甲）.一枚质地均匀的正方体骰子的六个而上的数字分别是1, 2, 3, 4, 5, 6,掷两次骰子，设其朝上的而上的两个数字之和除以4的余数分别是0, 1, 2, 3的概率为/%, P1，小，则0，2，P3中最大的是（）.(A) Po(B) P5 (乙).黑板上写有1, 1,-2 3(C)

4、p2(D) 3，共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数 100a b,然后删去。b,并在黑板上写上数+/?+",则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）.(A) 2012(B) 101(C) 100(D) 99二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）单人目-叵HHHZ画盘困6 （甲）.按如图的程序进行操作，规定：程序运行 从“输入一个值X”到“结果是否>487”为一次操 作.如果操作进行四次才停止，那么X的取值范围是.6(乙).如果“，c是正数，且满足 + Z? + C = 9,11110 w . a b c Md+=，那么+的值 a + h b + c c +

5、 a 9 b + c c + a a + b为.7(甲).如图，正方形ABC。的边长为2 A ,E, F分别是A8, 8c的中点，AF与OE, DB分别交于点M，M则DWN的而积是.（乙）.如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条 作矩形OBAC,设直线BC交圆O于D、E两点，若。=12, 段CE、BD的长度差是,39（甲）,如果关于x的方程F+云十二公一3女十一 二 0的两个实数42.2011为X 占，那么二丁的值为.1-2U128 （乙）.设为整数，且l<n<2012.若（/一+ 3）（/+ + 3）能被5整除,则所有的个数为.9 （甲）.2位八年级同学和机位九年级同学

6、一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此 恰好比赛一场.记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得。分；平局各得1分.比赛结束后， 所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则?的值为.9（乙）.如果正数x, y, z可以是一个三角形的三边长，那么称（x, y, z）是三角形数.若（。b, c）和均为三角形数，且值二c,则色的取值范围是.a b cc10 （甲）如图，四边形ABC。内接于。0, AB是直径，AD = DC.分别延长8A, CD, 交点为E 作8FJ_EC,并与EC的延长线 交于点F.若AE = AO, BC = 6,则CE的 长为.10（乙）.已知是偶数

7、，且1口口00.若有唯一的正整数对（4,。）使得/=+成立，则这样的的个数为.三、解答题（共4题，每题15分，共60分）11 （甲）,已知二次函数丁 =厂+（? + 3） x + ? + 2,当一1CXV3时，恒有y<0；关于x的方程9V+（? + 3） x + m + 2 = 0的两个实数根的倒数和小于一一.求出的取值范围.1011 （乙）.如图所示，在直角坐标系 xOy中，点A在y轴负半轴上，点 B、C分别在x轴正、负半轴上，4 AO = 8, A8 = AC,sin ZABC =二。点D在线段AB上，连结CD交 y轴于点E,且S'COE = S*DE。试 求图像经过B、C、

8、E三点的二次 函数的解析式。12 （甲）.如图，。0的直径为A8,过点0,且与。内切于点8.C为。上的点，。与交于点。，且OD>CD.点石在。上，且= 8E的延长线与交于点F,求证：4BOCs4DOF .12 （乙）.如图，。0的内接四边形A8CO中，AC, 8。是它的对角线，AC的中点/是A3。的内 心.求证:（1）0/是/8。的外接圆的切线；（2） AB+AD = 2BD.13 （甲）.已知整数”，满足：”一6是素数，且"是完全平 方数.当之2012时，求”的最小值.13（乙）.给定一个正整数，凸边形中最多有多少个内角等于150。并说明理由.满足凡占 < 与012，

9、且14 （甲）,求所有正整数，使得存在正整数122012F F += n .X X2X2O1214（乙）.将2, 3,，（乂）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b, c （可 以相同），使得a"=c,求的最小值.参考解答一、选择题1（甲）.C解：由实数a，b, c在数轴上的位置可知b<a<0<c,且»|>c,所以a + b +yj（ca）2 + b + c= -a + （«4-b） + （c a） （b + c） = a .1 （乙）.B解：+ 二一二1 +二一 =1 + =1 + -J = l + y/2-l = y/2 .2

10、 + -L-2 +2 +应-1应+ 13 + 6/1 + V22 （甲）.D解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一 个交点的坐标为（3, 2）.3 （乙）.B解：由题设/+产必+2），得Q<（x -+ （y - 1尸<2.因为X, y均为整数，所以有解得以上共计9对（x, y）.解：由题设知，所以这四个数据的平均数为中位数为于是1 + （。+ 1） + （。+ +1） + （2。+%） 3 + 4。+ 2844（。+ 1） + （。+ 1） 4+ 4。+ 27?=,244 + 4n + 2/?_3 + 4a + 2A_l4-4= 44解：

11、如图，以CD为边作等边ACDE,连接AE由于AC=5C, CD = CE,ZBCD=ZBCA+ZACD=ZDCE+ZACD =NACE,所以 ABCD 且 AACE, BD = AE.又因为 NADC = 30°,所以 NAQE = 90。.在 RtAO石中，AE = 5, 40 = 3,于是DE=Ja6-心=4,所以CQ = OE = 4.4 （甲）.D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,X，），均为非负整数.由题设可得消去x得（2y7加=y+4,_（2），- 7） + 15 15 2y-7.2y-7因为上一为正整数，所以2y7的值分别为1, 3, 5, 15,所以）

12、的值只能为4, 5, 6, 11.从 2y - 7而的值分别为8, 3, 2, 1： x的值分别为14, 7, 6, 7.4 （乙）.C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为-,0,故方程的根为一正一负.由二次 函数），=/一工一9的图象知，当x = 3时，0,所以3?-3 90,即3 + qv9.由于2q 都是正整数,所以 = 1,10/4：或 =2 JWg2,此时都有A = p2+4q。,于是共有7组（p, q） 符合题意.5 （甲）.D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0, 1, 2, 3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所

13、以98910 m u0=宝，1=/，3=歹，因此3取大.303030305 （乙）.C解：因为“ +。+ 。+ 1 =（4 + 1）3+ 1）,所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变.设经过99次操作后黑板上剩下的数为X,则X+1 = (1 +1)(1 +1)(-+ 1).(23100+ 1)，解得x+l = 10L x = 100.二、填空题6 （甲）.7V烂 19解：前四次操作的结果分别为3%2, 3(3x2)2 = 9x8, 3(9x8)2 = 27x26, 3(27x26)2 = 8b80.由己知得27a-26<487,81x-80>487.解得 7<

14、a<19.容易验证，当7岸19时，3x-2<487 9x-8*87,故x的取值范围是7<a<19.6 (乙).7解：在十!_ +_ = !£两边乘以。+。=9得 a+h b+c c+a 9-C a bca b 3 += 10 即+= 7a+ b b + c c + a a + b b + c c + a7 (甲).8解：连接QF,记正方形ABC。的边长为2”.由题设易知BEVs4/mN,所以AD AN DN 2而一而一曲一 T'2 由此得4V = 2NF，所以AN = AF.3在 RtZkABF 中，因为 A3 = 2z, BF = a,所以AF =

15、>JAB2+BF2 =y/5a ,于是/i A8 2邪 cos ZBAF =-AF 5由题设可知AOEg/BAF,所以NAED = NAFB,ZAME = 1800 - ZBAF - ZAED = 180° - ZBAF - ZAFB = 90 .于是AM = AE cos NBAF = a，5MN = AN-AM / AF-AM =型“，315S" _MN _4Sfd AP 15又工诬=（勿）（勿）= 2",所以8 ，Q-15因为。=衣，所以又抽°=8.7 （乙）.空 5解：如图，设。石的中点为M,连接OW,则。因为。8 =，2。2122 =16

16、,所以八"OBOC 16x12 48OM =,BC20CM =yl0C2-0M2 = , BM=. 5564CE-BD = (EM -CM)-(DM BM) = BM CM = 536 =28T-T28 （甲）.一一3解：根据题意，关于x的方程有3QA=_4(_2-3 + -)>0,由此得伏- 3)V0.93又伏一3）2对，所以伏-B）&）,从而L3.此时方程为r+31+ =0,解得xi=X2=_ 42柏七仙1 _2 以一而T-丁一-与 x2 /38 （乙）.1610解：(7?2 -n + 3/r +/z + 3)=(n2 +3)-n2 =4 +5n2 +9因此51(1

17、+9),所以4 三 i(mod5),因此 = 5A±1,或5k ±2所以共有2012-102=1610个数解：设平局数为，胜(负)局数为。，由题设知2 +勖= 130,由此得0W店43.又 + ="" + 2),所以2。+=(1 + 1)。 + 2)于是20</? = 130-(/n +1)(机 + 2) <43,87<(m + l)(wi + 2)<130,由此得m=8,或? = 9.当机=8时，。=40,。= 5：当机=9时，8 = 20,。= 35, «> = ,不合题设.22故/ = 8.a + b>

18、c()解：依题意得：1 1 1,所以Z?>c n,代入(2)得7 + - > (2)kb c aL<l + l<_L + lt两边乘以a得“ b c c 一。 c1<- + - 即二iv_ 化简得2-3ac + c2 <0,两边除以得-3(-) + ! <0 c) Cuu 3 - y5 Cl所以<-<3 +、52另一方面：“WAWc,所以c另解：可令g =由(1)得>(1 一外c,代入(2)化简得小一3攵+ 1V。，解得c三£<攵< 上正 另一方面：“WbWc,所以攵K1, 综合得三22,210 (甲).372解

19、：如图，连接AC BD, OD.由AB是。O的直径知N8CA =/BDA = 90°.依题设N8FC = 90。，四边形A8CQ是。O的内接四边形，所以/BCF=/BAD,RA 所以 RtABCFRtABAD ,因此一-=. CF AD因为。是。的半径，AD = CD.所以0。垂直平分AC, 0D/BC,于是匹="=2.因此DC OBDE = 2CD = 2AD, CE = 3AD.P43由知DEEC = AEBE.因为AE =，BE =BA,22da 3所以 2Ao34。=一,二A4, BA=2y12AD ,故2 2rr AD Rr BC 3& BA 25/221

20、0 (乙).12解：依题意得 =，/ =(" + )(4一)由于是偶数，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数，即 =4，当1WW1OO时，4的倍数共有25个，但要满足题中条件的唯一正整数对(。b),贝IJ：攵=或Z =其中p是素数，因此，k只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25,从而这样的n有12个。三、解答题11 (甲).解：因为当一1</<3时，恒有yvO,所以 = ("? + 3> 4(z + 2)>0,即(m+ 1)2 >0,所以?。一1.(3 分)当上=一1时，y<0：当x = 3时，y

21、<0,即(-1)2 +(m + 3)(-1) + m + 2<0 ,且32 +3。 + 3) + 机 + 240,解得Y5.(8 分)设方程W+(?+3)x+(m + 2) = 0的两个实数根分别为内，公，由一元二次方程根与系数的关系得X+& =一(6+3), xx2 =m+2 .因为_L+_L<2,所以匚2 = x, x2 10 xx2/ + 39m + 210解得-12,或? 一2.因此加一12.11 (乙)解：因为 sinNA8C = "» = 士，AO = 8, AB 5所以AB=10.由勾股定理，得BONaBJAO? =6.易知AABOg

22、AACO,因此 CO = BO = 6.于是4。，-8), 8(6,0), C(-6,0).设点。的坐标为(?，).由 SfCOE = SDE，得 SCDB = S.所以 BC-n = AO- BO |xl2(-) = ；x8x6 .解得 = _4.因此。为A8的中点，点。的坐标为（3,4）.因此CO, AO分别为A8, 8C的两条中线，点E为ABC的重心，Q所以点E的坐标为（0，-）.（也可由直线CD交y轴于点E来求得.）设经过8, C, E三点的二次函数的解析式为y = a（x - 6）（x + 6）.2将点E的坐标代入，解得“=二.277 Q故经过B, C, E三点的二次函数的解析式为，

23、=行/一院12 （甲）.证明：连接BD,因为。8为OO的直径，所以ZODB = 90° .又因为QC = QE,所以CBE是等腰三角形. （5 分）设与。1交于点连接OM,则NOM8 = 90。.又因为OC = O3,所以（10 分）又因为NBOC, NOO尸分别是等腰BOC,等腰OO尸的顶角，所以LBOCsADO'F .（15 分）ABOC = 2ADOM = 2ZDBC = 2/DBF = /DO、F .12 （乙）,证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等因为(a+b)2-4ab = (a-b)2,的性质知：/CID = ZIAD+ZIDA，ZCDI =

24、 ZCDB + ABDI = ZBAC+Z1DA = Z/AD+Z/DA.所以NC/£）= NC。/ , CI = CD.同理，Cl = CB.故点C是/&）的外心.连接。4, 0C,因为/是月C的中点，且OA = OC,所以 O/_LAC,即 OI±CI .故01是小。外接圆的切线.（2）如图，过点/作/E_LA。于点E,设0C与BD交于点F.由 8C = C£),知 0C_L3D.因为NCBF=NIAE, BC = CI = AL 所以 Ri4BCF 咨 RfLAIE .所以 8E = A£又因为/是AAB。的内心，所以 AB + AD-BD

25、 = 2AE + BDBD = 2BF = BD.故 AB + AD = 28£>.也可由托勒密定理得：AB CD + AD BC = AC BD,再将AC = 23C = 2CD代入即得结论 AB+AD = 2BD°13 (甲).解：设，i = m (帆是素数)，"=/ (是自然数).所以(2a- m)2-4rt2 = 5,(2a-m+2n)(2a-m - 2n) = nr.（5 分）（1）当21时，因为2“一?+2,与“一?一2都是正整数，且2a?+2>2。一机一2（机为素 数），所以 2cim+2n = m29 2ani 2n= 1.解得于是b

26、= a-m =(10 分)又应2012,即“” 十 “ 之2012.4（89 +1）2 又因为，是素数，解得吟89.此时，启- =2025.4当。= 2025时，加= 89,。= 1936, = 1980.此时，”的最小值为2025.（2）当 =0时，因为。之2012,所以b = 0,从而得的最小值为2017 （素数）。综上所述，所求的”的最小值为2017。（15分）13 （乙）,解：设凸n边形最多有k个内角等于150。，则每个150°内角的外角都等于30° ,而凸n边形的n个外角和为360° ,所以上工图 = 12,只有当 =12时,30k才有最大值12 （5分）下面我们讨论 W12时的情况：（1）当”>12时，显然，k的值是11；（2）当 =3,4,5,6,7时，k 的值分别为 1, 2, 3, 4, 5；（3）当 =8,90,11时，k的值分别为7, 8, 9, 10 （10分）综上所述，当3工工7时，凸n边形最多有一2个内角等于150。；当8工工11时，凸n边 形最多有一1个内角等于150° ：当 =12时，