函数与导数中任意性和存在性问题探究

1、函数与导数中任意性和存在性问题探究命题人：闫霄 审题人：冯昀山 一、相关结论：结论1：；结论2：；结论3：；结论4：；结论5：；【如图一】结论6：；【如图二】结论7：；【如图三】结论8：；【如图四】结论9：的值域和的值域交集不为空；结论10：的值域是的值域的子集【例题1】：已知两个函数;(1) 若对,都有成立，求实数的取值范围；(2) 若,使得成立，求实数的取值范围；(3) 若对,都有成立，求实数的取值范围；解：（1）设,（1）中的问题可转化为：时，恒成立，即。；当变化时，的变化情况列表如下：-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3(x)+00+h(x)k-45增函数极大值减函数极小值

2、增函数k-9因为,所以，由上表可知，故k-450，得k45,即k45,+).小结：对于闭区间I，不等式f(x)<k对xI时恒成立f(x)max<k, xI;不等式f(x)>k对xI时恒成立f(x)min>k, xI. 此题常见的错误解法：由f(x)maxg(x)min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“f(x)maxg(x)min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价.（2）根据题意可知，（2）中的问题等价于h(x)= g(x)f(x) 0在x-3,3时有解,故h(x)max0.由（1）可知h(x)max= k+7，因此k+70，即k-7,+).(3)

3、根据题意可知，（3）中的问题等价于f(x)maxg(x)min，x-3,3.由二次函数的图像和性质可得, x-3,3时, f(x)max=120k.仿照（1），利用导数的方法可求得x-3,3时, g(x)min=21.由120k21得k141,即k141,+).说明：这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量.从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“x”恒成立，还是“x”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜.【例题2】：(2010年山东理科22) 已知函数;(1) 当时，讨论的单调

4、性；（2）设，当时，若对，,使，求实数的取值范围；解：（1）（解答过程略去，只给出结论）当a0时，函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；当a=时，函数f(x)在（0，+）上单调递减；当0<a<时，函数递增区间为，递减区间为（0,1），；（2）函数的定义域为（0，+），（x）=a+=，a=时，由（x）=0可得x1=1,x2=3.因为a=（0,），x2=3（0,2）,结合（1）可知函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（1,2）上单调递增，所以f(x) 在（0,2）上的最小值为f(1)= .由于“对x1（0,2），x21,2,使f(x1) g(x2)”等价于“g(

5、x)在1,2上的最小值不大于f(x) 在（0,2）上的最小值f(1)= ”. （）又g(x)=(xb)2+4b2, x1,2,所以 当b<1时，因为g(x)min=g(1)=52b>0,此时与（）矛盾； 当b1,2时, 因为g(x)min=4b20，同样与（）矛盾； 当b（2，+）时，因为g(x)min=g(2)=84b.解不等式84b，可得b.综上，b的取值范围是,+).二、相关类型题：类型一：直接求最值（往往需带参讨论）例3：类题：例4：类题：类型二：分离常数法求最值例5：类题：例6： 类题：类型三：先进行变形简化，再求最值例7：类题：类型四：分离常数法+罗比达法则洛必达法则简

6、介：法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； (2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)0； (3)，那么 =。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； (2)，f(x) 和g(x)在与上可导，且g'(x)0； (3)，那么 =。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； (2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)0； (3)，那么 =。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 将上面公式中的xa，x换成x+，x-，洛必达法则也成立。洛必达

7、法则可处理，型。在着手求极限以前，首先要检查是否满足，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。例8：(2010年全国新课标理)设函数。（1） 若，求的单调区间；（2） 若当时，求的取值范围原解：（1）时，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，.由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（II）当时，对任意实数a,均在；当时，等价于令(x>0),则，令，则，知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。由洛必达法则知，00，故综上，知a的取值范围为。类题1：例4及其类题，例7及其类题，以下示范例7解法解法二：原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：（II）由题设可得，当时，k<恒成立。令g (x)= (),则，再令()，则，易知在上